在這一部分，筆者將利用傾向值匹配的方法分析中國(guó)綜合社會(huì)調(diào)查2005 年城市問(wèn)卷( CGSS2005) 的相關(guān)變量，并由此來(lái)估計(jì)中國(guó)城市 居民大學(xué)教育的收入回報(bào)。其中因變量是收入水平( 2004年全年總收入，包括工資、各種獎(jiǎng)金、補(bǔ)貼、分紅、股息、保險(xiǎn)、退休金、經(jīng)營(yíng)性純收 入、銀行利息、饋贈(zèng)等所有收入) ，這里將其取自然對(duì)數(shù)。我們關(guān)心的自變量是被訪者教育水平( 1 = 大學(xué)本科教育及以上; 0 = 大學(xué)本科教 育以下) 。我們需要控制的混淆變量包括: 性別( 1 = 女性; 0 = 男性) 、 年齡、政治身份( 1 =黨員;0 =非黨員) 、父親教育水平( 1 = 高中教育及 以上;0 =高中教育以下) 、戶口類型( 1 = 城市戶口; 0 = 非城市戶口) 、 被訪者的單位性質(zhì)及父親的單位性質(zhì)( 1 = 黨政機(jī)關(guān); 2 = 國(guó)有企業(yè); 3 =國(guó)有事業(yè);4 =集體企事業(yè);5 = 其他) 。此處選取這些變量是因?yàn)橐?有研究表明這些變量會(huì)混淆教育水平和收入之間的關(guān)系

步驟一:預(yù)測(cè)傾向值。這一步是利用已知的混淆變量使用 Logistic 或 Probit 模型來(lái)預(yù)測(cè)個(gè)體進(jìn)入大學(xué)讀書(shū)的概率?；谏厦孀兞?，得到 的結(jié)果見(jiàn)表1。

通過(guò)表1 我們可以發(fā)現(xiàn)，這些混淆變量加在一起對(duì)是否進(jìn)入大學(xué) 學(xué)習(xí)有比較強(qiáng)的解釋力，這一點(diǎn)可以從虛擬 R2( Pseudo R2)的數(shù)值( 超 過(guò)17%) 看出來(lái)。對(duì)社會(huì)學(xué)研究而言，這個(gè)虛擬 R2 值并不低，由此可 以看出該模型中的混淆變量能夠比較顯著地預(yù)測(cè)個(gè)體能否進(jìn)入大學(xué)讀書(shū)。

步驟二:基于傾向值進(jìn)行匹配。有了上面的 Probit 模型，我們就能 夠預(yù)測(cè)每個(gè)研究個(gè)體的傾向值。需要指出的是，雖然每個(gè)個(gè)體都有傾 向值得分，但有些人的傾向值太高或太低，因此無(wú)法找到相匹配的個(gè)體。這些傾向值取值非?！皹O端”的人因?yàn)闆](méi)有與之匹配的個(gè)體存在 往往無(wú)法為我們提供有用的信息，所以在隨后的分析中也就沒(méi)有被考 慮進(jìn)去，這就使得最后我們?cè)诜治龈叩冉逃氖杖牖貓?bào)時(shí)所采用的樣 本量可能要比一開(kāi)始的樣本量小。在這個(gè)最后使用的“匹配樣本”中， 我們能夠確保受過(guò)高等教育的個(gè)體和沒(méi)有受過(guò)高等教育的個(gè)體匹配起 來(lái)?！捌ヅ錁颖尽敝袃A向值的取值范圍被稱為“共同區(qū)間”( common support) 。本研究中共同區(qū)間內(nèi)的樣本量為3164( 其中上過(guò)大學(xué)的為 229 人) 。在這個(gè)共同區(qū)間內(nèi)，我們有不同的匹配方法將受過(guò)大學(xué)教育 的229 人和沒(méi)受過(guò)大學(xué)教育的 2935 人配對(duì)。對(duì)某個(gè)上過(guò)大學(xué)的個(gè)體 A，比較常用的方法包括鄰近匹配( 找與 A 的傾向值得分最接近的未上 大學(xué)的個(gè)體 B 匹配) ，半徑匹配( 以個(gè)體 A 的傾向值為中心，以某個(gè)數(shù) 值為半徑，在這個(gè)范圍內(nèi)的所有沒(méi)上過(guò)大學(xué)的個(gè)體與 A 匹配) 以及核 心匹配。

步驟三:基于匹配樣本進(jìn)行因果系數(shù)估計(jì)。在這個(gè)匹配好的樣本 中，我們只需比較那些上過(guò)大學(xué)和沒(méi)上大學(xué)的個(gè)體的平均收入差值就 可以估計(jì)出大學(xué)教育本身對(duì)收入的影響。由于配對(duì)樣本的傾向值近 似，配對(duì)個(gè)體在混淆變量上的取值極為近似，這樣也就控制了混淆變量 的影響。換句話說(shuō)，我們得到的組間( 上大學(xué)和沒(méi)上大學(xué)) 差異就只能 歸因于大學(xué)教育的有無(wú)。我們最后的結(jié)果如表2 所示。

通過(guò)表2 可以發(fā)現(xiàn)，不同匹配方法下我們得到的因果關(guān)系系數(shù)不 完全相等，這是因?yàn)槭苓^(guò)大學(xué)教育的個(gè)體在不同的匹配方式下可能和不同的未受大學(xué)教育的個(gè)體進(jìn)行了匹配。然而這些不同的匹配方法得出的結(jié)論基本一致( 系數(shù)在0. 73 到0. 77 之間) 。這些系數(shù)就是大學(xué)教育的收入回報(bào)。其可以解釋為與沒(méi)有受過(guò)大學(xué)教育的人相比，大學(xué)教育帶來(lái) log( 年收入) 的變化。

傾向值匹配后的結(jié)果不僅僅指出了變量之間有聯(lián)系，還進(jìn)一步確 立了二者之間的因果性。這種方法論上的優(yōu)勢(shì)可以從科技哲學(xué)和統(tǒng)計(jì) 學(xué)兩個(gè)方面予以闡釋。

傾向值匹配對(duì)因果性結(jié)論的支持首先依據(jù)的是科技哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)對(duì) 因果關(guān)系的理論探討。當(dāng)我們談及因果性的時(shí)候，我們往往會(huì)回歸到 密爾對(duì)求同法( method of agreement) 及求異法 ( method of differences) 的討論( 彭玉生， 2011; Mill， 2002/1984; Sobel， 1995， 1996) 。求同法是 指在一個(gè)群體中所有人都在兩個(gè)變量上取值相同( 例如所有人都上了 大學(xué)，同時(shí)所有人都是高智商) 而在其他變量上取值不同( 他們不全是 女性，不全是農(nóng)村居民，等等) ，那么這兩個(gè)變量之間( 大學(xué)教育和智力 水平) 就具有因果關(guān)系。求異法是指兩個(gè)個(gè)體在因變量上的取值不 同，而在某個(gè)自變量之外的其他自變量上的取值相同，則那個(gè)取值不同 的自變量和因變量之間存在因果關(guān)系。正如彭玉生所論述的那樣，密 爾的這兩種探索因果關(guān)系的方法對(duì)后來(lái)的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)有著巨大影響 ( 彭玉生， 2011) 。無(wú)論是求同法還是求異法，二者都要求對(duì)關(guān)鍵自變 量之外的其他自變量進(jìn)行考察。只有其他自變量滿足特定的條件時(shí) ( 求同法要求其他自變量的取值都不一樣，而求異法要求其他自變量 的取值都一樣) 我們才能夠確定某種因果關(guān)系。這實(shí)際上是引入了 “控制”的思想，即只有“控制”了其他變量，我們才能夠真正確定我們關(guān)心的兩個(gè)變量之間存在因果關(guān)系。

從“控制”的角度出發(fā)，傾向值匹配十分巧妙地完成了對(duì)多個(gè)混淆 變量的控制。我們可以從一個(gè)混淆變量的情況談起: 假定只有個(gè)人智 力水平混淆了大學(xué)教育和收入之間的關(guān)系。一個(gè)比較直觀的控制個(gè)人 智力的辦法是將個(gè)人智力這一變量細(xì)分( sub-classification) 成不同層次 以保證每一個(gè)層次中的人的個(gè)人智力水平近似。然后我們?cè)诟鱾€(gè)層次 內(nèi)部觀察大學(xué)教育和收入的關(guān)系，最后將這些關(guān)系綜合起來(lái)( Rubin， 1997) 。如果存在兩個(gè)混淆變量( 例如家庭經(jīng)濟(jì)背景好壞和個(gè)人智力 高低) ，我們可以將這兩個(gè)變量交互分成 2x2 個(gè)小組，組內(nèi)個(gè)體在這兩 個(gè)變量上的取值都是一樣的( 家庭背景好且智力高、家庭背景好且智 力低、家庭背景不好且智力高，以及家庭背景不好且智力低) ，在每組 內(nèi)部觀察大學(xué)教育和收入的關(guān)系然后綜合起來(lái)。至此，通過(guò)細(xì)分的方 法，我們完成了“控制”混淆變量的工作。但隨著混淆變量越來(lái)越多， 這種細(xì)分法就變得十分不方便了。例如，如果我們要控制5 個(gè)混淆變 量，每個(gè)變量有5 個(gè)取值水平，我們就需要?jiǎng)澐?5 = 3125 個(gè)小組。很 快我們的數(shù)據(jù)樣本量就不夠保證每一組都有個(gè)體。傾向值匹配的辦法 巧妙地解決了這個(gè)多混淆變量下的“多維” ( multiple dimensional) 問(wèn) 題:它不再關(guān)注每個(gè)需要控制的混淆變量的具體取值，而是轉(zhuǎn)而關(guān)注將 這些變量納入 Logistic 回歸方程后預(yù)測(cè)出來(lái)的傾向值取值。只要保證 傾向值匹配，這些所有需要控制的混淆變量就都考慮到了( Rosenbaum ＆ Rubin， 1983) 。這樣做實(shí)際上是將對(duì)多個(gè)混淆變量的控制轉(zhuǎn)為對(duì)傾 向值的控制從而達(dá)到“降維” ( dimension reduction) 的目的。換句話說(shuō)， 無(wú)論有多少需要控制的混淆變量，我們都能夠通過(guò)傾向值匹配的方法 將它們控制，從而幫助我們得出因果性結(jié)論。因此，從“控制”的角度 出發(fā)，傾向值匹配法很好地解決了多混淆變量時(shí)的控制問(wèn)題，從而支持 了因果推論。

2、統(tǒng)計(jì)學(xué)角度的闡釋 

傾向值匹配的因果推論功能也能通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)視角進(jìn)行闡釋。這里我們需要引入反事實(shí)框架( counterfactual framework) 這一統(tǒng)計(jì)學(xué)理論。 反事實(shí)( counter facts) 是指相反情境下的某種狀態(tài)。例如，一群病人在 一個(gè)實(shí)驗(yàn)中被分到實(shí)驗(yàn)組接受新藥物治療。這些人癥狀的減輕或加重 是我們能夠觀察到的“事實(shí)”。而“反事實(shí)”則是指“假設(shè)”這同一群病 人當(dāng)時(shí)不是被分到實(shí)驗(yàn)組而是對(duì)照組，即沒(méi)有接受新藥物治療，那么他 們的癥狀會(huì)是什么樣子。自變量( 新藥) 對(duì)于癥狀的因果性效果在統(tǒng) 計(jì)學(xué)意義上就是指這“同一群人”在實(shí)驗(yàn)組時(shí)的癥狀和在對(duì)照組時(shí)的 癥狀之間的差異。換句話說(shuō)，統(tǒng)計(jì)學(xué)上的因果關(guān)系是可觀察到的“事 實(shí)”與其“反事實(shí)”之間的差異。從反事實(shí)的框架出發(fā)，因果性的關(guān)系 可以表示為: 

在這個(gè)公式里， Τ 是指因果關(guān)系; π 是指所有調(diào)查對(duì)象中在實(shí)驗(yàn)組 中的比例，而1 － π 也就表示了所有調(diào)查對(duì)象中在對(duì)照組的比例( 例如 1/3 是大學(xué)生，那么 π = 1/3，而沒(méi)上大學(xué)的人的比例就是1 － π = 2/ 3) ; w 是一個(gè)二分變量，其中1 代表個(gè)體在實(shí)驗(yàn)組而0 代表個(gè)體在對(duì)照 組; Y1 和 Y0 分別指代實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組的成員在因變量上的取值。E 則是取平均值的意思。在上述公式中， E ( Y1 | w =1) 或 E ( Y0 | w = 0) 是可觀測(cè)到的事實(shí)，而 E( Y1 |w =0) 和 E( Y0 |w =1) 則是反事實(shí)。 ① 因 果關(guān)系 T 就表示為實(shí)驗(yàn)組中的個(gè)體其“事實(shí)”與“反事實(shí)”之間的差 異———即 E( Y1 |w = 1) － E( Y0 | w = 1) ———與對(duì)照組中的個(gè)體其“事實(shí)”與“反事實(shí)”之間的差異———即 E( Y1 |w =0) － E( Y0 |w =0) ———的 加權(quán)平均值( 權(quán)重分別為 π 和1 － π) 。

但問(wèn)題在于，我們永遠(yuǎn)也不可能觀測(cè)到反事實(shí)是什么，因?yàn)樵谀稠?xiàng) 特定的研究中，某一群人只可能在實(shí)驗(yàn)組或?qū)φ战M，而不能同時(shí)在兩組 中出現(xiàn)。這被稱為“因果推論的基本問(wèn)題” ( Holland， 1986) 。為了做出因果推論，我們需要用可觀測(cè)到的 E( Y1 | w =1) 和 E( Y0 | w = 0) 來(lái)簡(jiǎn) 化上面的因果推論公式。具體而言，我們希望能夠滿足以下條件，這在 統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為“非混淆假設(shè)” ( unconfoundedness assumption) :

不難看出，如果滿足非混淆假設(shè)，反事實(shí)框架下的因果推論公式就 簡(jiǎn)化為: 

如果簡(jiǎn)化因果推論公式右邊的兩項(xiàng)均能觀測(cè)到，我們就能做出因 果性結(jié)論，因此，從反事實(shí)框架出發(fā)，能否做出因果推論主要取決于非 混淆假設(shè)是否滿足。 ① 隨機(jī)化是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的辦法，由于實(shí)驗(yàn)個(gè)體 是通過(guò)隨機(jī)方式分配到實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組中的，w 本身就和最后的實(shí)驗(yàn) 結(jié)果 Y1 或 Y0 沒(méi)有關(guān)系了。 ② 換句話說(shuō)，無(wú)論 w =0 還是 w =1， E( Y1) 或 E( Y0) 的值都是固定的，進(jìn)而 E( Y1 |w =0) = E( Y1 |w =1) 且 E( Y0 |w =0) = E( Y0 |w =1) 。但是，對(duì)基于調(diào)查資料的社會(huì)學(xué)研究來(lái)講，我 們做不到隨機(jī)化。為了滿足非混淆假設(shè)，我們能做的是盡可能控制混 淆變量，并保證這些變量一旦被控制起來(lái)， w 就能夠近似地和 Y1 或Y0 保持獨(dú)立，換句話說(shuō)，我們希望做到: 

上式表明，只要能夠找到并控制混淆變量 X，我們就能夠近似地做 到 w 獨(dú)立于 Y。在傾向值匹配中，所有的這些 X 通過(guò)Logistic 回歸總 結(jié)成為一個(gè)特定的傾向值 P，而非混淆假設(shè)就是通過(guò)控制傾向值 P 來(lái) 滿足的。即:

至此，通過(guò)控制傾向值，我們可以“近似地”滿足統(tǒng)計(jì)學(xué)反事實(shí)框架下的非混淆假設(shè)從而做出因果推論。之所以說(shuō)“近似”，是因?yàn)榭刂?傾向值的效果畢竟不是真正的隨機(jī)化。很多時(shí)候我們很難知道是否已 經(jīng)控制了需要控制的“所有”混淆變量。正因?yàn)槿绱耍谕瓿蓛A向值匹 配以后我們通常需要進(jìn)行敏感性分析。在這個(gè)意義上說(shuō)，傾向值匹配 只是努力地滿足反事實(shí)框架下的因果推論條件，但即使如此，我們也已 經(jīng)從統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上理解了傾向值匹配為什么能夠幫助我們得出因果性結(jié)論。

在教育學(xué)中應(yīng)用比較廣泛的因果推論方法是“回歸中斷設(shè)計(jì)” ( regression discontinuity design) 。該方法最先由兩位美國(guó)學(xué)者在 1960 ( Thistlethwaite ＆ Campbell， 1960) 提出。在他們的研究中，兩位學(xué)者關(guān) 心的是學(xué)習(xí)上的榮譽(yù)獎(jiǎng)勵(lì)( 原因) 是否能夠提升學(xué)生未來(lái)的學(xué)術(shù)成就 ( 結(jié)果) 。這里的榮譽(yù)獎(jiǎng)勵(lì)是根據(jù)考試成績(jī)而定的: 當(dāng)考試成績(jī) x 超過(guò) 一定分?jǐn)?shù) c，則給予獎(jiǎng)勵(lì)( D =1) ，否則( x ＜ c 時(shí)) 則沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì)( D =0) 。通過(guò)這種操作，我們就在我們所關(guān)心的自變量那里建立了一種“中斷” ( c 之上和之下) 。隨后如果學(xué)生的學(xué)術(shù)成就也發(fā)生了類似的中斷( 例 如考試成績(jī)?cè)?c 以下學(xué)生的學(xué)術(shù)成就低于考試成績(jī)?cè)?c 以上的學(xué)生的 學(xué)術(shù)成就) ，則可以認(rèn)為獎(jiǎng)勵(lì)和學(xué)術(shù)成就之間有因果關(guān)系。圖 1 用圖 示的方式表達(dá)了這種關(guān)系。

在圖1 中， x 在 c 處的中斷對(duì)應(yīng)于因變量 Y 的中斷，這種中斷 τ 代 表了 x 對(duì)于 Y 的效果。從反事實(shí)框架來(lái)看，回歸中斷設(shè)計(jì)滿足了非混 淆假設(shè)。在上面的榮譽(yù)獎(jiǎng)勵(lì)例子中，一個(gè)人得到榮譽(yù)獎(jiǎng)勵(lì)可以理解為 一個(gè)人進(jìn)入了實(shí)驗(yàn)組，而這“完全”取決于學(xué)生的考試分?jǐn)?shù) x( 分?jǐn)?shù)高就有獎(jiǎng)勵(lì)而分?jǐn)?shù)低則沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì)) 。因此，只要我們控制了分?jǐn)?shù) x， w( 是否 得到獎(jiǎng)勵(lì)) 就和因變量 Y1( 得到獎(jiǎng)勵(lì)的學(xué)生的學(xué)術(shù)成就) 以及 Y0( 沒(méi)有 得到獎(jiǎng)勵(lì)的學(xué)生的學(xué)術(shù)成就) 獨(dú)立了。用公式可以表述如下: 

這里我們可以將回歸中斷設(shè)計(jì)與傾向值匹配進(jìn)行一下比較。傾向 值匹配將對(duì)多個(gè)混淆變量的控制轉(zhuǎn)化為對(duì)“單一傾向值”的控制，以此 滿足非混淆假設(shè)。而回歸中斷設(shè)計(jì)則是通過(guò)控制一個(gè)變量( 如上例中 的考試成績(jī)) 就能完成這一點(diǎn)?；貧w中斷設(shè)計(jì)之所以不需要考慮多個(gè) 混淆變量就在于一個(gè)個(gè)體是否能夠接受某個(gè)自變量的影響( 即能否得 到獎(jiǎng)勵(lì)) 完全取決于單一變量 x( 考試成績(jī)) 。換句話說(shuō)，回歸中斷設(shè)計(jì) 中只有一個(gè)混淆變量 x。然而，在社會(huì)學(xué)的調(diào)查研究中很難找到這種 “單一混淆變量”的情況。正因?yàn)槿绱?，回歸中斷設(shè)計(jì)在社會(huì)學(xué)中的應(yīng) 用遠(yuǎn)不及在教育學(xué)中普遍( Angrist ＆ Lavy， 1999; Black， 1999) 。此外， 回歸中斷設(shè)計(jì)的另一個(gè)缺陷在于: 如果存在其他自變量也出現(xiàn)某種 “中斷”的情況，我們就很難知道什么原因造成了因變量取值的中斷。假設(shè)一個(gè)人是否獲獎(jiǎng)不僅僅與考試成績(jī)?cè)谂R界點(diǎn)上下有關(guān)( x ＞ c 或x ＜ c) ，也和年齡有關(guān)( 例如年齡大的人容易獲獎(jiǎng)，而年齡小的人很難 獲獎(jiǎng)) ，則回歸中斷設(shè)計(jì)就無(wú)法探究榮譽(yù)獎(jiǎng)勵(lì)本身對(duì)未來(lái)學(xué)術(shù)成就的 影響( 因?yàn)閷W(xué)術(shù)成就的中斷也有可能是因?yàn)槟挲g不同) ( Hahn et al． ， 2001) 。在社會(huì)學(xué)研究中，類似的多重中斷并不少見(jiàn)，這也使得回歸中 斷設(shè)計(jì)的應(yīng)用范圍受到限制。

除了回歸中斷設(shè)計(jì)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)及傳染病學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛的另 外一個(gè)方法是工具變量( instrumental variable) ( Angrist et al． ， 1996; Angrist ＆ Krueger， 2001; Greenland， 2000; Martens et al． ， 2006; Newhouse ＆ McClellan， 1998) 。假定我們希望探索變量 X 對(duì) Y 的因果關(guān)系，混淆變量U的存在會(huì)影響我們的研究。這時(shí)我們尋找到一個(gè)工具變量 Z，該 變量的特點(diǎn)在于和 X 相關(guān)，但不和 Y 直接相關(guān)( 除非是通過(guò) X) ，同時(shí) Z 也不與混淆變量U 相關(guān)。這樣，我們就不直接考察X 是否能影響 Y， 而是轉(zhuǎn)而考察 Z 對(duì) Y 的影響。如果 Z 很明顯地影響了 Y，我們就能得 出 X 影響了 Y 的結(jié)論。工具變量的基本邏輯表示如圖2。

通過(guò)圖2 我們很容易理解工具變量的基本邏輯，由于混淆變量 U 和 X 互相影響，我們很難直接探索 X 對(duì) Y 的“純”作用。所以我們找 到工具變量 Z。Z 和 Y 的關(guān)系只能通過(guò) X，因此如果我們能夠發(fā)現(xiàn) Z 對(duì) Y 有作用，我們就能間接得出結(jié)論說(shuō) X 對(duì) Y 有作用，從而確定了一 種因果關(guān)系。

從嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上來(lái)說(shuō)，利用工具變量進(jìn)行因果推論需要滿 足很多假設(shè)條件( Imbens ＆ Angrist， 1994) 。這里可以通過(guò)一個(gè)經(jīng)典實(shí)例來(lái)展示這些假設(shè)。安格里斯特等人( Angrist et al． ， 1996) 使用工具變 量分析了服兵役( X) 是否會(huì)對(duì)士兵在退伍后的健康狀況( Y) 產(chǎn)生因果 性影響。這里，服兵役的工具變量是抽簽的結(jié)果( Z) 。當(dāng)抽到的數(shù)字 低于某個(gè)值則服兵役，而高于這個(gè)值則不需服兵役。在這個(gè)例子中，安 格里斯特及其同事闡述了使用工具變量進(jìn)行因果推論的幾個(gè)關(guān)鍵假 設(shè)。第一個(gè)假設(shè)稱為“單位實(shí)驗(yàn)效果值穩(wěn)定假設(shè)” ( stable unit treatment value assumption) 。這意味著每個(gè)人的抽簽結(jié)果不會(huì)對(duì)他人是否服兵 役產(chǎn)生影響。第二個(gè)假設(shè)就是上面提到的非混淆假設(shè)，即抽簽的結(jié) 果和個(gè)體的健康之間相互獨(dú)立。由于這里是隨機(jī)抽簽，因此這一條件 得到滿足。第三個(gè)假設(shè)是“排除性假設(shè)” ( exclusion restriction) 。這一 假設(shè)意味著在因果推論中排除兩類人。第一類人是無(wú)論抽簽結(jié)果如何 都會(huì)服兵役( 總是服兵役的人) ，而第二類人是無(wú)論抽簽結(jié)果如何都不 會(huì)服兵役( 總是不服兵役的人) 。第四個(gè)假設(shè)是“平均因果效果非 零” ( nonzero average causal effect) ，即保證如果抽中的號(hào)碼小，則服兵 役的概率就高。最后一個(gè)假設(shè)是“單調(diào)性” ( monotonicity) ，意味著抽 中小數(shù)字的人去服兵役的概率要比抽中大數(shù)字的人去服兵役的概率高。根據(jù)這一假設(shè)，那些“低數(shù)字偏偏不服兵役”而“高數(shù)字偏偏服兵 役”的“叛逆者”就被排除在外了。

根據(jù)這些假設(shè)，我們回到反事實(shí)框架下的因果推論公式，即:

這里由于我們有抽簽的機(jī)制， π( 即服兵役的比例) 就等于 X( Z =1) ， 而沒(méi)有服兵役的比例1 － π 則等于 X( Z =0) ，而w = X。其中， X 表示是否 服兵役，它是 Z 的函數(shù)，而 Z 表示抽簽結(jié)果( Z = 1 表示抽中小號(hào)，而 Z =0 表示抽中大號(hào)) 。將它們代入反事實(shí)框架下的因果推論公式，我們得到: 

由于叛逆者被排除出去，可以假定 E( Y0 | X = 1) = E( Y0 | X = 0) =0，這進(jìn)一步將因果關(guān)系簡(jiǎn)化成為:

上述公式右端的各項(xiàng)都是可觀測(cè)到的，從而使得因果推論得以完 成。然而，使用工具變量方法存在諸多限制。首先，我們所推論出的因 果關(guān)系被稱為“局部平均治療效果” ( local average treatment effect) ( Wooldridge， 2002) 。這是因?yàn)槲覀冏罱K能夠推算出的因果關(guān)系僅僅 適用于那些遵循“拿到小號(hào)服兵役，拿到大號(hào)不服兵役”原則的“服從 者” ( complier) ( Imbens ＆ Angrist，1994) ，但我們不能考察總是服兵役 的人、總是不服兵役的人或叛逆者。其次，工具變量方法能否帶來(lái)因果 推論很大程度上取決于我們能否找到好的工具變量。如果工具變量本 身不夠好( 比如工具變量和我們關(guān)心的自變量的聯(lián)系很弱，或者和某 些混淆變量有關(guān)系) ，那么我們的結(jié)論就站不住腳了( Bound et al． ， 1995) 。最后，工具變量的實(shí)施需要滿足一定的隨機(jī)性以滿足非混淆 假設(shè)。但在社會(huì)學(xué)研究中，類似于隨機(jī)抽簽這樣“完美”的工具變量幾 乎很少見(jiàn)到。