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撰文 | 丁玖（南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

責(zé)編 | 黃俊如

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這個月是華人數(shù)學(xué)家李天巖的74周歲華誕，也是他自密歇根州立大學(xué)以 “全校級杰出教授” (University Distinguished Professor) 身份正式退休后所度的第一個生日。2005年，為了慶祝他的60周歲生日，他的母校臺灣新竹的清華大學(xué)舉辦了 “數(shù)值分析與動力系統(tǒng)國際研討會”。那年也是愛因斯坦 “奇跡年” 的100年紀(jì)念。研討會上，李天巖的博士論文導(dǎo)師、馬里蘭大學(xué)的 “杰出全校級數(shù)學(xué)與物理研究教授” (Distinguished University Research Professor of Mathematics and Physics) 約克 (James Yorke) 的開場白引人入勝：“一百年前，愛因斯坦發(fā)表了劃時代的四篇論文。而三十年前，李天巖完成了三個杰出的工作；它們分別是：混沌概念、烏拉姆猜想、同倫算法?！?nbsp;

李天巖教授。 圖片來源：University of Silesia

約克如此絕妙的比較，正是對他的杰出弟子三十歲前三大學(xué)術(shù)成就的巧妙概括。其實，那天凌晨剛從美國飛到臺北的約克，疲倦得一時想不出弟子第四篇重要論文的名字，好與愛因斯坦的那四篇一一對應(yīng)，只好以三篇 “湊數(shù)”。事后他馬上把李天巖拉到一邊詢問，方知那篇大作是關(guān)于抽象空間的柯西問題。李天巖1975年給出的巴拿赫空間微分方程初值問題解之存在的條件迄今無人能夠改進。

李天巖祖籍湖南，1945年6月出生于福建省沙縣。父親李鼎勛早年留學(xué)日本，在東京帝國大學(xué)醫(yī)學(xué)院獲得醫(yī)學(xué)博士，1934年回國任教湖南湘雅醫(yī)學(xué)院，1939年起任福建省省立醫(yī)院院長。李天巖三歲時隨父母及全家定居臺灣，在那里接受教育直至大學(xué)畢業(yè)。1969年，他赴美國馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系攻讀，1974年獲博士學(xué)位，其論文指導(dǎo)老師就是約克。

李天巖1976年起在密歇根州立大學(xué)數(shù)學(xué)系任教，1983年晉升為正教授，直至去年退休。1998年起，他被賦予 “全校級杰出教授” 頭銜。1995年他榮獲美國著名的古根海姆 (Guggenheim) 獎，2012年被臺灣新竹清華大學(xué)頒發(fā)杰出校友獎。

李天巖在應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)幾個領(lǐng)域中作出了開創(chuàng)性的工作，成就非凡。他與約克在數(shù)學(xué)中第一次引人了“混沌”的概念；他對 “烏拉姆 (Stanislaw Ulam) 猜想” 的證明是動力系統(tǒng)不變測度計算理論與算法研究之奠基性工作；他與凱洛格 (R. B. Kellogg) 及約克關(guān)于計算布勞威爾(L. E. Brouwer) 不動點的思想和數(shù)值方法，開辟了現(xiàn)代同倫延拓算法研究的新天地；他和他的合作者及學(xué)生們關(guān)于代數(shù)特征值問題以及一般多變量多項式系統(tǒng)的同倫方法之廣泛和深入研究，幾十年來為他贏得此領(lǐng)域世界領(lǐng)袖人物之一的稱號。

美國普林斯頓高等研究院的戴森 (Freeman Dyson) 教授曾在他的著名文章《鳥與蛙》(Birds and Frogs) 中寫道：“在混沌領(lǐng)域里，我僅知道一條有嚴(yán)格證明的定理，是由李天巖和約克在發(fā)表于1975年、名為《周期三則意味著混沌》的一篇短文中證明的。李-約克論文是數(shù)學(xué)文獻中不朽的珍品之一?！?這是一位杰出的數(shù)學(xué)物理學(xué)家對一篇僅僅8頁長數(shù)學(xué)論文的極高評價。

在自然科學(xué)領(lǐng)域，混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)與相對論、量子力學(xué)一起被許多科學(xué)家譽為二十世紀(jì)物理學(xué)的三大發(fā)現(xiàn)。約克對“混沌”概念有過形象的說明：“生命中充滿著小改變導(dǎo)致大變化的情形。例如說車禍，假如人們早個或晚個十秒鐘出門，或許就可避免一場車禍。所以小小的改變可以導(dǎo)致很大的變化。” 這也是中國成語 “差之毫厘謬以千里” 之奧秘所在。

現(xiàn)今世界上稍微對動力系統(tǒng)有一點了解的人，幾乎無人不知李天巖和約克的上述論文，它首創(chuàng)了 “混沌” 的數(shù)學(xué)定義，開拓了整個數(shù)學(xué)界、科學(xué)界對混沌動力系統(tǒng)理論和應(yīng)用研究的新紀(jì)元。

1975年12月《美國數(shù)學(xué)月刊》封面，第三篇為李天巖和約克合作的《周期三則意味著混沌》。

1973年3月的一天下午，不知何故心情有點不爽的李天巖來到約克教授的辦公室時，約克不理會他的“不爽”，馬上對他說，“I have a good idea for you!” 這個想法已在約克頭腦中直觀地凸現(xiàn)，但他未能予以證明。那時李天巖正在做微分方程方面的研究，以為他所謂的 “good idea” 是關(guān)于那方面的 “高深想法”，就半開玩笑地打趣道：“Is your idea good enough for the Monthly?” “Monthly” 指的就是《美國數(shù)學(xué)月刊》( American Mathematical Monthly )這個一般學(xué)生都能看懂的淺近雜志。然而，當(dāng)李天巖得知這個 “idea” 之后，馬上感慨地說，“It would be a perfect work for the Monthly!”——因為它所牽涉的語言非?；尽?/span>

兩周后，運用自己得心應(yīng)手的微積分技巧——巧妙不斷地運用微分學(xué)中關(guān)于連續(xù)函數(shù)的“介值定理”，李天巖完全證明了這個后來出了名的李-約克定理：

帽子函數(shù)的周期三軌道

當(dāng)文章寫好后，盡管李天巖心里想到的是投給令人尊敬的高等研究雜志，比如說今日中國數(shù)學(xué)界最推崇的 “四大期刊”——美國的《數(shù)學(xué)年刊》、《美國數(shù)學(xué)會雜志》、瑞典的《數(shù)學(xué)學(xué)報》及德國的《數(shù)學(xué)發(fā)明》，卻按照約克的堅持，把文章寄給了全世界讀者人數(shù)最多的數(shù)學(xué)期刊——《美國數(shù)學(xué)月刊》。但不久文章被退回，理由是該文研究性過強，不太適合期刊所重點面向的大學(xué)生讀者群。但編輯同意，若作者能改寫文章到一般學(xué)生都能看懂的地步，可以重新投稿。但是當(dāng)時李天巖忙于博士論文研究，沒功夫改它，這篇文章就這樣被束之高閣將近一年。

1974年5月，馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)系請來了普林斯頓大學(xué)生物學(xué)教授羅伯特·梅 (Robert M. May)演講一周。在最后一天的演講中，梅教授講了邏輯斯蒂模型rx(1-x)的迭代：當(dāng)參數(shù)r從小到大變化時其迭代點序列之性態(tài)將變得愈來愈復(fù)雜。他十分困惑于對這一現(xiàn)象的解釋，想著也許只是計算上的誤差所造成的吧。約克聽完梅的演講后，在送他上飛機時，把李天巖桌上躺了將近一年的那篇關(guān)于李-約克定理的文章給他看。梅看了文章的結(jié)果之后，極為吃驚，并認(rèn)定此定理大大解釋了他的疑問。約克從機場回來后立即找到李天巖說，“我們應(yīng)該馬上改寫這篇文章?！?文章在兩個星期內(nèi)改寫完畢，三個月后被《美國數(shù)學(xué)月刊》接受，并刊登在1975年12月份的那一期上。

1985年夏，李天巖第一次來祖國大陸學(xué)術(shù)訪問，南至中山大學(xué)、北至吉林大學(xué)，東到杭州、西臨西安，中達北京中科院理論物理研究所，馬不停蹄地講解 “混沌” 與 “同倫”。我那時剛獲碩士學(xué)位不久，留校教書，由系領(lǐng)導(dǎo)特批，飛往他講學(xué)第一站廣州，首次聆聽他極富魅力的講座。在中國的演講中，李-約克論文的題目 “Period Three Implies Chaos” 被他形象地翻譯成 “周期三則亂七八糟”。這篇令他一舉成名、篇幅不長的論文，第一次在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地引入了 “混沌” 的概念。盡管早在1964年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家沙可夫斯基（A. N. Sharkovsky）證明了較李-約克定理第一部分更為一般的結(jié)果，但只有李-約克定理之第二部分才深刻地揭示了混沌現(xiàn)象的本質(zhì)特征：混沌動力系統(tǒng)關(guān)于初始條件的敏感性以及由此產(chǎn)生的解的最終性態(tài)的不可預(yù)測性。

根據(jù)統(tǒng)計，該文可能是數(shù)學(xué)界及物理學(xué)界被引述次數(shù)最多的當(dāng)代重要論文之一，已被引用了超過4500次?！吨芷谌齽t意味著混沌》這篇備受戴森教授青睞的數(shù)學(xué)短文，是從“混沌之祖”龐加萊開始的“百年混沌思想進化史”中的幾大里程碑工作之一。對這一歷史想進一步了解的讀者，可讀美國著名科普作家 James Gleick 的英文名著Chaos: A New Science或中文拙作《智者的困惑：混沌分形漫談》。

概率的問題到處可見。波蘭科學(xué)院院士洛速達（Andrzej Lasota）這樣講概率：“當(dāng)你準(zhǔn)備離開一間屋子時，出門的時間有可能前后相差一分鐘。隨著時間的推移，又有不同的概率及可能發(fā)生的事要去考慮：比如，有百分之十的可能，你會發(fā)生車禍，而被送往醫(yī)院；或許，有百分之十的機會，你會遇見從未謀面的漂亮女子，而深深為之傾倒，一切皆是偶然。所以事情會演變得愈來愈復(fù)雜，所有的事都牽涉到概率。”故有人曾經(jīng)略微夸張地宣稱：數(shù)學(xué)是概率的一部分。

遍歷理論是研究確定性動力系統(tǒng)諸多概率統(tǒng)計性質(zhì)的一門數(shù)學(xué)分支，是集測度論、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、近世代數(shù)等于一身的綜合性學(xué)科，在物理和工程中應(yīng)用廣泛，如統(tǒng)計物理、電子線路、藥物設(shè)計和無線通訊。遍歷理論的一個重要論題是關(guān)于非線性映射的絕對連續(xù)不變測度的存在及計算問題。這一問題又歸結(jié)為相應(yīng)的 Frobenius-Perron 算子的不變密度函數(shù)的存在性與計算問題。對于混沌動力系統(tǒng)，這樣的不變測度給出了迭代點的混沌軌道在其相空間中的統(tǒng)計分布。

1960年，被譽為美國 “氫彈之父” 的杰出波蘭裔數(shù)學(xué)家烏拉姆在其名著《數(shù)學(xué)問題集》(A Collection of Mathematical Problems) 中對于計算將單位區(qū)間[0, 1]映到自身的非線性映射S所對應(yīng)的 Frobenius-Perron 算子的不變密度函數(shù)提出了一種數(shù)值方法。他將區(qū)間[0, 1]劃分為n個子區(qū)間，然后他定義了一個n行n列的矩陣。這個矩陣的每個元素都是位于0與1之間的數(shù)。事實上，該矩陣位于第i行第j列相交處的那個數(shù)就是第i個子區(qū)間中被S映到第j個子區(qū)間中的那些點的比例。計算這個非負(fù)矩陣的關(guān)于特征值1的一個非負(fù)左特征向量并將其規(guī)范化，就可得到對應(yīng)于 [0, 1] 區(qū)間如上劃分的一個逐片常數(shù)密度函數(shù)。此密度函數(shù)可看成 Frobenius-Perron 算子的近似不變密度函數(shù)。對于這一基于概率想法的數(shù)值方法的收斂性，烏拉姆提出了計算遍歷理論中著名的猜想：當(dāng)子區(qū)間總數(shù)n趨向于無窮大時，這些近似不變密度函數(shù)將收斂于 Frobenius-Perron 算子的一個不變密度函數(shù)。

1973年，洛速達與約克在現(xiàn)已成為研究 Frobenius-Perron 算子不變密度函數(shù)存在性問題的一篇經(jīng)典論文中，解決了烏拉姆在其《數(shù)學(xué)問題集》中提出的一個問題：若S為一個足夠 “簡單” 的映射 (例如逐片線性映射或多項式映射)，其導(dǎo)數(shù)絕對值不小于1，將一區(qū)間映到自身，則對應(yīng)的 Frobenius-Perron 算子是否存在不變密度函數(shù)？事實上，他們證明了如下的“存在性定理”：若區(qū)間映射S為一逐片二次連續(xù)可微映射，且其導(dǎo)數(shù)絕對值在該區(qū)間上都不小于一大于1的常數(shù)，則對應(yīng)的 Frobenius-Perron 算子存在不變密度函數(shù)。這個定理證明的關(guān)鍵是用到約克發(fā)現(xiàn)的關(guān)于有界變差函數(shù)與其在某一子區(qū)間上的限制之變差之間關(guān)系的一個不等式。

當(dāng)李天巖讀到上述的洛速達-約克定理的證明時，就想構(gòu)造計算 Frobenius-Perron 算子不變密度函數(shù)的數(shù)值方法，卻全然不知烏拉姆十余年前提出的上述方法。首先他定義了對應(yīng)于區(qū)間 [0, 1] 劃分為n個子區(qū)間的有窮維離散算子。它將每一個可積函數(shù)映成在每一子區(qū)間上取值為該函數(shù)在這一子區(qū)間上的平均值的一個逐片常數(shù)函數(shù)。若將這一算子與 Frobenius-Perron算子復(fù)合起來，則該復(fù)合算子限制在逐片常數(shù)函數(shù)全體所組成的子空間上的一個矩陣表示恰為烏拉姆方法中定義的那個非負(fù)矩陣。運用下一節(jié)所述的布勞威爾不動點定理，李天巖直接證明對每一個自然數(shù)n，復(fù)合算子有一不變密度函數(shù)。借助于洛速達-約克不等式與赫利引理，他證明了這個逐片常數(shù)逼近法對于洛速達-約克區(qū)間映射族的收斂性。

恰在李天巖將這一開創(chuàng)性工作整理成文之際，他才知道他所構(gòu)造的方法就是 “烏拉姆方法”，他所證明的一切就是對 “烏拉姆猜想” 的一個解答！自然，文章的題目也相應(yīng)修改，“烏拉姆猜想” 的說法第一次出現(xiàn)在數(shù)學(xué)文獻當(dāng)中。多年后李天巖對我坦言：“如果我早知這是與馮·諾依曼 (John von Neumann) 齊名的大人物烏拉姆提出的問題，大概嚇得不敢去碰?！笨墒牵绫疚暮竺嫠D(zhuǎn)述的，“一個問題，大人物解決不了，并不表示小人物也解決不了?！?/span>

李天巖這篇發(fā)表于1976年美國《逼近論雜志》( Journal of Approximation Theory )，題為 “Frobenius-Perron算子的有限逼近——烏拉姆猜想的一個解答” 的論文讓1960年誕生的烏拉姆方法“聲名鵲起”。四十多年來，不變測度的計算已成為遍歷理論和非線性分析中的一個活躍分支。在幾乎所有關(guān)于應(yīng)用烏拉姆方法及其推廣計算不變測度的文獻中，這篇論文成了必不可少的被引用經(jīng)典之一。

學(xué)過代數(shù)拓?fù)浠蚍蔷€性泛函分析的人都知道有名的布勞威爾不動點定理：n維閉球到此自身的光滑映射必有不動點。此定理的一個漂亮證明是用反證法。若無不動點，則可定義一新的光滑映射，它把閉球上任一點映到由該點在前一映射下的像到該點的線段延長到與球面之交點。易知球面上每一點在這新映射下保持不變。這樣我們得到一個由閉球到其邊界上且在邊界上為恒同映射的光滑映射。而微分拓?fù)鋵W(xué)告訴我們，這是不可能的，因為球面上幾乎處處的任一點在該映射下的逆像所構(gòu)成的光滑曲線無處可跑。

1973年，李天巖在旁聽美國馬里蘭大學(xué)數(shù)學(xué)教授凱洛格的研究生課程 “非線性方程組數(shù)值解” 時，聽到布勞威爾不動點定理的如上證明，它屬于美國微分拓?fù)鋵W(xué)家赫希 (Morris W. Hirsch)發(fā)表于1963年的一篇文章。這時，一個奇妙的想法在他腦海中涌現(xiàn)：既然在赫希的證明中若假設(shè)閉球映射無不動點時，則對如上定義的 “射線球面交點映射”，球面上隨機所取的一點在該映射下的逆像這條光滑曲線無處可跑，則它必然跑到原先映射的不動點集合中去。更精確地說，若令F為n維閉球到此自身的光滑映射的所有不動點組成的非空集合，則利用如上反證法的思想，我們就有將F在閉球中的補集映到球面如上定義的光滑映射。由微分拓?fù)涞纳车?/span>(Arthur Sard) 引理可知，幾乎所有的球面上的點都是該映射的 “正則值”，因而這些點在映射下的逆像為起始于該點的一條光滑曲線。這條曲線的另一端不能再回到球面上，也不能在映射的定義域中停止，故必定趨向于原先映射的不動點集合F。如果能數(shù)值跟隨這條曲線，就能計算出閉球映射的一個不動點。在凱洛格和約克兩位教授的鼓勵下，李天巖開始了這一卓越思想的數(shù)值實現(xiàn)。

在接下來的兩個月時間內(nèi)，他幾乎每天都與學(xué)校計算中心那臺只能用卡片輸入的計算機打交道，但總是無功而返，計算機吐出的厚厚一疊紙預(yù)示著程序的失敗。但李天巖契而不舍地修改程序。改錯、輸入、再改錯、再輸入，從一個實際計算的門外漢逐步登堂入室。直到有一天，他驚喜地發(fā)現(xiàn)計算機僅僅輸出一張打印紙，上面正是成功計算出的布勞威爾不動點！他成功了！一個全新的布勞威爾不動點算法誕生了。

有趣的是，凱洛格-李-約克關(guān)于布勞威爾不動點的計算，并非是歷史上的首次嘗試。盡管他們當(dāng)時不知道，早在1967年，美國耶魯大學(xué)經(jīng)濟學(xué)教授斯卡夫 (H. Scarf) 在研究數(shù)量經(jīng)濟學(xué)時，將求解一個經(jīng)濟模型的均衡點問題歸結(jié)為求解定義在n維標(biāo)準(zhǔn)單純形上的一個連續(xù)映射f的不動點問題。根據(jù)布勞威爾不動點定理，這樣的不動點存在。斯卡夫采用了所謂的單純?nèi)瞧史址椒?，運用組合數(shù)學(xué)中的斯泊納 (E. Sperner) 引理，跟隨一條折線來近似f的不動點，從而設(shè)計了一種單純剖分不動點算法。在七十年代，此算法被推廣成求解非線性方程組的單純不動點算法，成了熱極一時的研究領(lǐng)域。

1974年，將在美國克萊姆森大學(xué)舉行的第一屆國際不動點算法大會組委會獲悉凱洛格-李-約克的新方法時，提供了兩張飛機票讓他們赴會報告這一結(jié)果。正如斯卡夫在其會議論文集《不動點算法及其應(yīng)用》序言中所述：“對我們眾多與會者而言，克萊姆森會議之令人驚奇之處在于凱洛格-李-約克關(guān)于計算連續(xù)映射不動點的文章。他們提出了第一個基于微分拓?fù)渌枷搿皇俏覀兞?xí)以為常的組合技巧——的計算方法。”

雖然單純不動點算法的研究目前已經(jīng)冷卻，以凱洛格-李-約克方法為 “初始點” 的現(xiàn)代同倫延拓法研究依然方興未艾，在不同的領(lǐng)域生根發(fā)芽。李天巖與凱洛格及約克一道是目前世界上被公認(rèn)為非線性方程現(xiàn)代同倫法數(shù)值計算的創(chuàng)始人，并且對此重要的領(lǐng)域作出了巨大的貢獻。

“同倫” 的思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中到處有用。自七十年代提出計算布勞威爾不動點基于純粹數(shù)學(xué)分支微分拓?fù)淅碚摰默F(xiàn)代同倫方法后至今，李天巖一直在求解一般多變量多項式系統(tǒng)同倫算法這一疆場遼闊的領(lǐng)域辛勤地耕耘著。

求解多變量多項式方程組是經(jīng)常出現(xiàn)在應(yīng)用科學(xué)中的問題，譬如說電路分配問題、機械手問題等等。同時這種問題也出現(xiàn)在混沌理論的研究中，如 “混沌之父” 洛倫茨 (Edward Lorenz)研究的具有混沌現(xiàn)象的四維常微分方程組的定常狀態(tài)事實上是其右端多項式方程組的解。它的重要性從李天巖在一次學(xué)術(shù)演講中所說的一句話可見：“多項式方程組求解不光現(xiàn)在要用，兩百年以后還是要用！”幾十年來，李天巖和他的弟子及合作者們在這一領(lǐng)域已取得一系列令人矚目的成果，他2003年應(yīng)邀在《數(shù)值分析手冊》第十一卷上發(fā)表了長篇綜述性論文《求解多項式方程組的同倫延拓法》。在多項式方程組數(shù)值解領(lǐng)域，李天巖無愧于其領(lǐng)軍人之一之稱號。

我們熟悉的大部分學(xué)術(shù)界華人明星，多數(shù)人事業(yè)與身體 “相得益彰”，如精神煥發(fā)的楊振寧和健壯如牛的丘成桐。但是，李天巖卻是大大的例外，這就是他“傳奇”的一部分——他四十五年來在學(xué)術(shù)界的卓越貢獻，是在與身體上幾乎無時無刻不受到的病痛作頑強搏斗中取得的。

李天巖在臺灣清華大學(xué)讀本科時，綽號是“棍子”，除了學(xué)業(yè)成績名列前茅外，在體育運動上也是一流的，曾任校籃球隊隊長和校足球隊隊員。但當(dāng)他1969年赴美國馬里蘭大學(xué)攻讀博士學(xué)位的第二年開始，就感到腎臟逐漸不好，但他依然異常用功，至1974年完成了八篇學(xué)術(shù)論文并取得博士學(xué)位。畢業(yè)后僅僅六個星期，發(fā)現(xiàn)血壓竟高達220/160毫柱。他于1976年5月4日起開始了長達五年半辛苦的洗腎過程，每周三次，每次五個小時，還不包括醫(yī)院往返時間。當(dāng)時他的研究工作大半是在病榻上完成的。

1980年1月29日，李天巖首次接受換腎手術(shù)，然而因排斥效應(yīng)，不久以失敗告終。1981年7月15日他成功地接受了妹妹的一個腎臟移植，在這之后的三年內(nèi)，他的身體逐漸適應(yīng)，康復(fù)不少。然而好景不長，1984年2月21日，他又遭遇中風(fēng)，右半身全部麻痹，并于4月26日做了腦血管動脈瘤的大手術(shù)。在之后的七、八年，他的身體還算平靜，雖無大手術(shù)，但局部麻醉的小手術(shù)卻仍然不斷。然而，李天巖趁此機會抓緊時機，在此數(shù)年內(nèi)發(fā)展了同倫延拓求解矩陣特征值問題和多項式方程組的重要理論及方法，并培養(yǎng)了一批從中國大陸直接招來的博士研究生，我是其中之一。除此之外，在此期間他除了幾乎每年回臺灣給予重要的系列演講，更于1985年6月至7月首度訪問了祖國大陸十余所大學(xué)與中科院研究所，給出了若干關(guān)于混沌動力系統(tǒng)、同倫算法等專題演講，并開始挑選接受大陸研究生，對于將數(shù)學(xué)根植于國內(nèi)及提攜后進不遺余力。

那些年，李天巖所遭受的病魔打擊和他取得的學(xué)術(shù)成就都是令人吃驚的新聞，幾乎是難以置信的“相反相成”。他曾經(jīng)告訴我，這段時間他的大部分論文 “是在病榻上完成的”。

1993年1月，李天巖在密歇根州立大學(xué)教書時，身體突然感到不適而昏倒送醫(yī)，經(jīng)醫(yī)生診斷為腦動脈血管阻塞。其后，他以極其堅韌的毅力與無比的信念戰(zhàn)勝了疾病。然而，從1992年起他就開始感到腿痛，看遍了無數(shù)的中醫(yī)西醫(yī)，都沒有辦法找出病因。后來才知道是背脊椎骨關(guān)節(jié)炎所引起，最后終于在1995年5月30日動了一次大手術(shù)將發(fā)炎的部位割掉。在之后的五、六年間，他的身體狀況基本平靜。然而2000年5月，他又做了一次背脊椎骨的手術(shù)。3年后，他再次病倒，醫(yī)生運用剛剛問世不久的最新醫(yī)療技術(shù)為他的心臟動脈血管安裝了八個支架。后來有許多年他一直勤于運動保養(yǎng)身體，每天要游泳一千公尺或步行二英里，身體狀況比以前明顯好轉(zhuǎn)許多。但由于他全身是病，遍體是傷，一不小心，傷病便會“卷土重來”。例子之一是2010年6月他在杭州開會期間，晚間在西湖邊意外跌倒，血流滿柱，在急診室縫了八針。幾天后，他雖然繃帶在身，卻仍然依約去了東北大學(xué)講學(xué)。

在過去的幾十年中，李天巖長期遭受疾病的巨大痛苦，全身麻醉的大手術(shù)已有十幾次，局部麻醉手術(shù)則不計其數(shù)，全身都是開刀的傷痕。然而他是一個在逆境中求突破，“與病斗其樂無窮” 的人，憑藉著一股堅強的毅力及終極的信念去克服一切困難，在最艱難的環(huán)境下作出了第一流的研究工作。他常對他的研究生們說，若他們在學(xué)習(xí)、研究中遇到困難，只要想到他是怎樣克服病痛的巨大困難，一切困難就容易迎刃而解了。正是因為這種超人的精神，盡管一直病痛纏身，李天巖仍然成為密歇根州立大學(xué)僅有的三位有國家科學(xué)基金會幾十年無間斷資助的學(xué)者之一。

李天巖幾十年如一日的治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度也充滿魅力，對年輕人不無鞭策力量。他常認(rèn)為，他的成功之道除了有像約克教授這樣的好導(dǎo)師引導(dǎo)，其不二法門無它，就是堅持。他常常對學(xué)生說，自己并不聰明，而是否聰明過人也其實并不重要，能將問題弄個水落石出才重要。他常強調(diào)，自己對問題的看法只不過是比別人多堅持了一分鐘，而那寶貴的一分鐘可能就是造就成功之路的一分鐘。一個問題，大人物解決不了，并不表示小人物也解決不了，大人物思考問題的路徑也不等于解決問題的路徑?！?憑著一股牛勁，凡事堅持到底，絕不輕言放棄”，是他叮嚀學(xué)生們的名言。

他也常說，讀書做學(xué)問一定要作徹底的理解，尤其是做數(shù)學(xué)，一知半解地記憶表面上的邏輯過程是沒有用的。他曾舉例說，一個矩陣的行秩為什么會等于列秩呢？其實學(xué)過線性代數(shù)的大二學(xué)生都會證明。然而它實際上所代表的幾何意義是什么？物理上的涵義又是什么？從不同的角度來看這個問題時，你將會得到意想不到的結(jié)果。

李天巖對應(yīng)用數(shù)學(xué)家和計算數(shù)學(xué)家的培養(yǎng)有獨特的見解。一方面他極端看重在純粹數(shù)學(xué)上下苦功，在理論分析上打下堅實的基礎(chǔ)。記得當(dāng)年我到達密歇根州立大學(xué)第一天就聽本系的中國同學(xué)說，要成為李教授博士研究生的一個必要條件（而非充分條件）是修過或考過盧丁(W. Rudin) 的《實復(fù)分析》。另一方面，他又特別強調(diào)學(xué)生們養(yǎng)成上機計算的好習(xí)慣，堅決反對 “紙上談兵” 的計算數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法?？v觀科學(xué)發(fā)展史，許多激動人心的偉大發(fā)現(xiàn)起源于計算上的 “好奇心”。十九世紀(jì)初，“數(shù)學(xué)王子” 高斯曾花費大量的時間從事數(shù)值方面的計算，如數(shù)論中的素數(shù)之分布，“最小二乘法” 的基本思路也追溯到他。上個世紀(jì)烏拉姆的 “蒙特卡洛法”、洛倫茨的 “蝴蝶效應(yīng)”、梅的 “人口動力學(xué)”、李天巖的 “同倫延拓”，也無一不是 “計算好奇心” 催生的產(chǎn)兒。難怪約克在2005年參加完他弟子六十歲生日慶?；顒雍蟊慌_灣數(shù)學(xué)界采訪時語重心長地說：“研究就是去發(fā)現(xiàn)叫人贊嘆的想法，而動手計算則可能導(dǎo)致偉大發(fā)現(xiàn)?！?/span>

李天巖對中國教育中普遍存在的填鴨式教學(xué)深有體會，并深惡痛絕。在發(fā)表于臺灣《數(shù)學(xué)傳播》雜志上的一篇題為 “回首來時路” 的文章中，他以頗具幽默的口吻回憶起當(dāng)年大學(xué)同窗們?nèi)绾蜗裆倌昃S特?zé)烙趹賽勰菢訉Α稊?shù)學(xué)分析》中 “ε-δ” 語言的煩惱——甚至有人差點留下“不想活下去”的遺書，藉以抨擊 “教科書越難越好” 的教學(xué)理念。

從左至右：約克，李天巖，本文作者丁玖。攝于2015李天巖教授70周歲時。

我曾聽他清華學(xué)弟提到他當(dāng)年成績 “全班第三”，但是他“回想起來，當(dāng)時實在是‘一竅不通’?！钡矫绹髮W(xué)以后他才知道，數(shù)學(xué)上的邏輯推理和對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性的認(rèn)知有相當(dāng)大的差距。他認(rèn)為抽象數(shù)學(xué)的出發(fā)點多半起始于為解決實際問題所建立的數(shù)學(xué)模型，然后將解決問題的方式抽象成一般理論，以解決更普遍的同類問題。學(xué)習(xí)“高檔次”的數(shù)學(xué)理論，絕對必須從低檔次數(shù)學(xué)的理解出發(fā)，對原始概念的歷史發(fā)展和來龍去脈要有基本的認(rèn)識，否則就會如墜迷霧，不知所云，只好背定義、背定理、背邏輯，應(yīng)付考試。

李天巖堅決反對學(xué)生死記硬背，不求真懂。參加過他為自己學(xué)生設(shè)計的數(shù)學(xué)討論班的歷屆研究生都不會忘記他對每一個報告者的基本要求：不要光講“ε-δ”語言，那僅僅是邏輯——要講思想，要講 “basic idea”。在討論班，他要求學(xué)生在演示證明一個一般定理時，要先將具體的或特殊的情形解釋清楚，堅決反對一開始就在抽象的概念里捉迷藏。幾乎所有學(xué)生都因講得不得要領(lǐng)而被他“掛黑板”，但“平時多流汗，戰(zhàn)時少流血”的學(xué)生們后來大都成了會講課的大學(xué)教授。

李天巖堅信，若是真正了解一門學(xué)科，就會講得連高中生也能聽得懂。他用這樣的準(zhǔn)則來訓(xùn)練他的學(xué)生，也是這樣身體力行。他在世界各地應(yīng)邀所做的數(shù)學(xué)演講總是從最初等的概念入手，用最直觀的觀察引導(dǎo)，聽眾無不被他深入淺出的生動報告所折服。1986年，當(dāng)剛到美國攻讀博士學(xué)位的我在他辦公室里準(zhǔn)備給他報告一篇著名教授的論文時，他的第一句話便是“你要把我當(dāng)成笨蛋，我什么也不知道?！碑?dāng)時我十分納悶，自己慕名而來求學(xué)的堂堂大教授，居然“什么也不知道”。正因為面對的是一個“什么也不知道”的數(shù)學(xué)家，他的弟子們學(xué)會了什么是研究數(shù)學(xué)，什么是講數(shù)學(xué)。

正因為李天巖獨特的研究方法和講課藝術(shù)，他是密歇根州立大學(xué)的杰出教授獎和杰出教學(xué)獎的獲得者，影響了他一批又一批的學(xué)生在研究與教學(xué)上齊頭并進。他的治學(xué)之道對一個科學(xué)工作者的成長具有典型的啟發(fā)性。

2019年6月15日星期六

完稿于美國哈蒂斯堡

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