數(shù)學家烏拉姆。https://commons.

撰文 | 丁    玖（南密西西比大學數(shù)學系教授）

責編 | 黃俊如

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今天是出生于波蘭的美國數(shù)學家斯塔尼斯拉夫烏拉姆 (Stanislaw Ulam, 1909-1984) 逝世35周年紀念日。一個月前在他冥壽110周歲時，我寫了一篇文章“賢者的奇跡：紀念烏拉姆誕辰110周年”，簡略回顧了他非凡的一生，列舉了他幾大科學成就，并側重介紹了他在 “改變歷史進程” 的氫彈研制中 “一個數(shù)學家的經歷”。

了解烏拉姆那類人的科學業(yè)績，對于只需或只想讀讀科學家生平故事的那些人，或許也就夠了，但是對更想吸取他們的科學思想、對其治學之道或研究方式更喜歡追根求源的另一些人，僅僅知道這種流于表面的認識是比較膚淺的，甚至沒有多少深刻的科學意義。

烏拉姆1940年代參與美國原子彈研制的同事理查德·費恩曼 (Richard Feynman, 1918-1988) ，曾多次回憶起他的父親是如何教導少年時代的他的：“你如果對一只鳥只知道它的名字，而對它的習性卻一無所知，那么你對那只鳥的了解幾乎為零?！辟M恩曼認為父親這種簡單而有智慧的觀點影響了自己的科學生涯一輩子。

同樣的道理，我們如果只滿足于知道烏拉姆做了什么卻不知道他是如何做的，就相當于學數(shù)學的人不看定理的證明而只看定理的結論。我們知道這種“只知其然而不知其所以然”的學習法是成就不了數(shù)學家的。

許多學數(shù)學的人都想成為職業(yè)數(shù)學家，但是許多真正的數(shù)學家卻不把自己看成是純粹的數(shù)學家，至少不把自己局限于數(shù)學的地盤。我記得十年前有人采訪斯梅爾 (Stephen Smale, 1930-) 教授時，這個因為證明了五維以上的廣義龐加萊猜想而獲得1966年國際數(shù)學家大會菲爾茲獎的美國本土數(shù)學家，只把自己稱為“數(shù)學科學家”?；蛟S他對自己的定位與烏拉姆有密切的關系。我多年前翻閱過的一本烏拉姆身后出版的文集Science, Computers, and People（《科學、計算機及故友》），由美國數(shù)學科普大家馬丁伽德納(Martin Gardner, 1914-2010)執(zhí)筆的前言之第一段是這樣寫的：

烏拉姆對自己的這種“與眾不同”也毫不諱言。在那本膾炙人口的自傳 Adventures of a Mathematician（其初版的中譯本書名是《一位數(shù)學家的經歷》）的開頭，他就告訴讀者他四歲時就對家中客廳波斯地毯上的幾何圖案著迷。當他身為律師的父親對此不以為然而笑起來時，他心里自言自語道：“他笑是因為他認為我是幼稚的，但是我知道這些是令人好奇的模式。我知道我父親所不知道的某樣事情?！?/span>

這大概就是他終生熱愛探討新事物的天賦之才的最初顯示。后來他在自傳中說：“我是那種喜歡開始新事物而不是改進或精雕細琢之人?！?去年高等教育出版社出版的一本新書《楊振寧的科學世界》中，有楊振寧先生在采訪中說的一段話：“我看見他（烏拉姆）的時候呢，他人很有意思。他一看見了就問你一個問題，這個問題可能是集合論的，也可能是組合的，甚至可能是打撲克牌的。然后你去想，跟他討論，他就不發(fā)生興趣了。他只發(fā)生興趣是……”

他喜歡提問題的另一個佐證，是上世紀30年代波蘭數(shù)學學派名揚天下之時，那批以巴拿赫 (Stefan Banach, 1892-1945) 為首的波蘭數(shù)學精英在蘇格蘭咖啡館討論數(shù)學及時記下的數(shù)學問題錄——現(xiàn)已在國際數(shù)學界名聞遐邇的《蘇格蘭筆記本》，以年輕的烏拉姆貢獻的問題最多！

正是由于喜歡與人討論，喜歡提出問題，烏拉姆從他大腦里萌芽而出的 “對要點的感覺”（用他自己的話就是 “What I may have is a feeling of the gist, or maybe only thegist of the gist”），日后成了幾大數(shù)學領域的開端。

比如，“細胞自動機理論”最初是他向馮·諾依曼提出來的；“蒙特卡羅方法”來源于如何對付不僅在概率論而且在看上去與前者沒太多關系的數(shù)論中棘手的問題；后來掀起孤立子和混沌研究熱潮的“非線性分析”，從他玩弄計算機的手指中汩汩流出。對于今日在幾乎所有科技領域都有不俗表現(xiàn)的“混沌”，烏拉姆曾有一句戲謔之語：“把混沌研究稱之為‘非線性分析’，就好比是把動物學說成是‘非大象一類動物’的研究?！?/span>

肇始于烏拉姆、馮·諾依曼、費米等人研制原子彈的實際需要以及現(xiàn)代電子計算機的及時問世，非線性分析的目的主要是探索任何隨時間而變化的量、圖形或模式，當時間走向無窮大時的最終性態(tài)。它在離散時間的情形本質上就是迭代一個非線性變換看看迭代點最后會在哪里。烏拉姆通過他智慧大腦極強的抽象能力和分析功夫，借助于計算機這個自從他最親密的朋友馮·諾依曼去世后他最要好的非人類朋友的幫助，在這個如今已發(fā)展出令眾多數(shù)學家、物理學家、工程學家及生命科學家孜孜以求的巨大領域，創(chuàng)造出許多原始的思想和方法。它們已經遍地開花，早已成為激勵一代代科學工作者的一大筆精神遺產。

他的一大部分精神遺產已經濃縮在他那不朽的小書A Collection of Mathematical Problems（《數(shù)學問題集》）中。這本1960年初版的精裝小冊子只有150頁，卻成就了不少數(shù)學家，包括我的師爺約克 (James Yorke: 1941-) 教授和我的師傅李天巖教授。他們師徒二人一生中最有名的工作，是那篇只有區(qū)區(qū)八頁但已被引用了好幾千次的開創(chuàng)性文章Period Three Implies Chaos（“周期三則意味著混沌”）。它從“混沌之父”洛倫茲 (Edward Lorenz) 于1960年代初發(fā)現(xiàn)天氣預報 “蝴蝶效應” 的論文中，提煉出數(shù)學名詞 “混沌” 的定義和意義。約克和李天巖兩人各自都有其他杰出的工作，而且都與烏拉姆的《數(shù)學問題集》有關。

《數(shù)學問題集》中有一章與非線性分析有關，標題為“Some Questions in Analysis”（分析中的一些問題），實際上就是與非線性分析有親戚關系的遍歷理論。

事實上，烏拉姆從20歲發(fā)表的第一篇論文起的早期工作就在集合論，而他21歲時發(fā)表的一生中第三篇論文將測度論與一般集合論聯(lián)系在一起，并證明了一個非?；镜臏y度論定理。在他33歲的一篇合作并發(fā)表在Annals of Mathematics 中的長文中，烏拉姆證明了統(tǒng)計力學中的遍歷假設對 “幾乎所有的變換” 都成立。他在1940年代發(fā)表的其他合作文章中，最早建立了動力系統(tǒng)“結構穩(wěn)定性”的基礎；斯梅爾1960年代通過他所構造的 “馬蹄鐵變換” 對結構穩(wěn)定性概念的發(fā)展貢獻巨大。而在更早的1934年，烏拉姆就和一位合作者發(fā)展了概率論的測度論基礎，這獨立于柯爾莫哥洛夫 (Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-1987) 1930年代提出的概率論公理化方法，并且更早。

這些在幾大分析領域中的先驅工作和巨大影響，令烏拉姆有資格、有能力提出具有挑戰(zhàn)性的新問題。下面舉個我比較熟悉的例子。

如果有一個將區(qū)間映到自己的變換，我們就可以從區(qū)間中任意一個初始點出發(fā)逐次迭代這個變換而得到所對應的 “迭代點軌道”。如果對大多數(shù)初始點而言，其迭代點軌道都遵循同一個由某個定義在區(qū)間上的密度函數(shù)所確定的分布規(guī)律，那么這個密度函數(shù)被稱為該離散動力系統(tǒng)的“不變密度函數(shù)”，它決定了迭代點軌道在區(qū)間中最終的位置分布。不變密度函數(shù)是給定變換所對應的、被烏拉姆以Frobenius和Perron兩位德國數(shù)學家名字命名的一個無窮維算子（他在書中稱之為Frobenius-Perron算子）的不動點。

但是如果不停地迭代一個非線性變換，“有無不變密度函數(shù)存在” 便是一個問題，即便這個變換看上去很簡單，比如它的圖像是一條逐片線段。那時，這個問題還沒有解答。

在第六章第四節(jié)的某一段，烏拉姆問：如果把單位區(qū)間映到自身的一個變換f由足夠簡單的函數(shù)定義（例如逐片線段函數(shù)或多項式），其圖像不以斜率絕對值小于1的方式通過直線y=x，其對應的Frobenius-Perron算子有一個非平凡的不變函數(shù)嗎？正如烏拉姆接下來所說的，即便對每一個如下形式的逐片線性變換，問題的解答都是未知的。這樣的變換是：當x大于或等于0并且小于或等于1/2時，其值為2x，而當x大于或等于1/2并且小于或等于1時，其值為(2-a) + 2(a-1)x，其中a是一個小于1/2的正數(shù)。

十三年后的1973年，烏拉姆祖國的后起之秀、波蘭科學院院士洛速達 (Andrzej Lasota, 1932-2006) 和他的合作者、美國馬里蘭大學的數(shù)學教授約克，在美國數(shù)學會的期刊Transactions of the American Mathematical Society 上發(fā)表了一篇論文，回答了烏拉姆提出的上述問題。

論文的題目是“On the existence of invariant measures for piecewise monotonic transformations”（關于逐片單調變換不變測度的存在性），它的一句話摘要簡單明了地概括了文章的主要貢獻：本文證明區(qū)間 [0, 1] 上的一類逐片連續(xù)、逐片二次連續(xù)可微的變換有絕對連續(xù)不變測度。

 數(shù)學家約克。本圖由作者提供。

洛速達和約克證明，對于將區(qū)間映到自身的逐片單調變換，只要其導數(shù)的絕對值處處大于或等于一個大于1的常數(shù)，那么這個變換就有一個絕對連續(xù)的不變概率測度，或言之，其對應的Frobenius-Perron算子就有一個非平凡的不變函數(shù)。特別，烏拉姆想要知道結果的上述那類逐片線性變換個個滿足洛速達-約克定理的條件，因而都有絕對連續(xù)的不變測度。

洛速達-約克的這篇論文現(xiàn)已成為現(xiàn)代遍歷理論中的經典之作。更進一步，它又催生了一篇計算遍歷理論的經典之作，其作者就是約克的弟子李天巖。

李天巖是個干什么都想把問題搞個水落石出的人物，在這方面他頗有一點烏拉姆的風格。但是，如果你對年輕時的他說，這是烏拉姆的一個猜想，你去做做看，他或許也會有點膽怯。這是他多年前對我回憶他與烏拉姆猜想的歷史淵源時這樣承認的，因為當時在他眼里，烏拉姆是和馮·諾依曼一個等級的大數(shù)學家，他沒有解決的問題自己能解決嗎？

1970年代中期，李天巖對洛速達-約克類變換，構造了與階梯函數(shù)有關的一個投影算法，將求Frobenius-Perron算子的不動點問題化約成有窮維的矩陣計算問題，從而算出不變密度函數(shù)的階梯函數(shù)逼近。更進一步，他證明了這個方法的收斂性，即當子區(qū)間的個數(shù)趨于無窮大時，其對應的階梯函數(shù)序列收斂到精確的不變密度函數(shù)。文章順利地被 Journal of Approximation Theory（《逼近論雜志》）接受，當時的標題是“Finite Approximation for the Frobenius-Perron Operator”（Frobenius-Perron 算子的有限維逼近）。

這時，有人告訴李天巖：你的方法1960年就由烏拉姆提出來了，但他沒有給出收斂性的證明。李天巖查到，他的方法的確就是烏拉姆在《數(shù)學問題集》中第74-75頁所構造出的“烏拉姆方法”，烏拉姆還猜測他的方法是收斂的。這就是計算遍歷理論這一現(xiàn)代研究領域中著名的“烏拉姆猜想”。

換言之，他和烏拉姆想到一塊兒去了，前后相差15年，心有靈犀一點通地獨立構造了同樣的算法。更重要的是，李天巖對洛速達-約克變換類證明了烏拉姆猜想！

興奮之余，李天巖將文章的標題加了五個單詞，變成“Finite Approximation for the Frobenius-Perron Operator, a Solution to Ulam’s Conjecture”（Frobenius-Perron算子的有限維逼近——對烏拉姆猜想的一個解答）。

李天巖與丁玖。本圖由作者提供。

我相信由于烏拉姆在數(shù)學界的巨大聲望，李天巖這篇題目變長了一點而最終于1976年發(fā)表的論文，肯定也大大增加了讀者的人數(shù)。這不僅提升了一位年輕數(shù)學教授的學術聲譽，而且也增強了自己挑戰(zhàn)未決問題的自信心。后來李天巖教授向我透露，他成功贏得古根海姆獎(Guggenheim Fellowship) ，“烏拉姆猜想” 功不可沒！

1996年，受李天巖教授先驅性工作的啟發(fā)，中科院計算數(shù)學研究所的周愛輝與我對一類高維變換證明了烏拉姆猜想。然而，對于許多其他的一維或高維非線性變換類，“烏拉姆猜想”依然還是猜想! 年輕的讀者朋友，如果您在動力系統(tǒng)的計算遍歷理論領域中耕耘，就可以把眼光瞄準這個有無窮魅力的著名猜想。

1974年出版的烏拉姆另一本論文集Sets, Numbers, and Universe（《集、數(shù)和宇宙》），其第三部分就是上述的《數(shù)學問題集》，但易名為Problems in Modern Mathematics（《現(xiàn)代數(shù)學中的問題》）。之前的1964年，這本問題集也出了一個平裝版本。可見這本內容精練的書在數(shù)學界的影響力，美國的《數(shù)學評論》(Mathematical Reviews ) 中對本書的一篇書評將它與希爾伯特1900年在國際數(shù)學家大會上提出的 “23個未決問題” 相提并論并作了比較。

烏拉姆已經離世35年了，但是他的精神遺產依然是那樣的豐富多彩。對于我們這個千百年間把知識積累看得比創(chuàng)新能力更為重要的文明古國，他的數(shù)學思想及他對科學的見解更沒有過時。

約克教授曾經告訴我，他的博士生說他 “知道的定理不一定比他們多，但他能創(chuàng)造定理”。比如說在上述他和洛速達解決烏拉姆所提問題的那篇文章中就有關于有界變差函數(shù)的 “約克不等式”，而幾乎所有的數(shù)學分析或實變函數(shù)教科書中列舉了有界變差函數(shù)的許多性質，卻沒有這個不等式，因為這是約克為了研究的需要而發(fā)現(xiàn)的一個有用不等式。

烏拉姆曾經非常謙虛地說自己 “我不能宣稱我知道數(shù)學方面的許多技術性材料”，但是他試圖強調，是火花迸發(fā)的思想，而不是車裝斗量的知識，是讓數(shù)學與科學的發(fā)現(xiàn)幫助人類改變歷史進程的不二法門。我想這大概是烏拉姆留給我們的最大精神遺產。

寫于2019年4月30日，美國哈蒂斯堡市

定稿于2019年5月13日，烏拉姆逝世35周年

制版編輯 | 皮皮魚