摘要：討論了力學專業(yè)中微積分教學的目的、方法，是計劃在北京大學出版社出版的《微積分導引（下冊）》的后記。

關(guān)鍵詞：微積分，教學方法

歷史決定了有什么可講，時代決定了選什么來講。作為一個教員，在可講和選講之間，我們以執(zhí)行方式體現(xiàn)自己的理解。 

北大力學系的數(shù)學教學體系，沿襲著上世紀五十年代開始的傳統(tǒng)。這樣的教學實踐，為一屆又一屆畢業(yè)生打下了扎實的數(shù)理基礎(chǔ)。不少前輩系友講過：北大給他/她最大的益處，就是基礎(chǔ)（數(shù)學）課，無論從事什么樣的研究工作，甚至歷盡多次政治運動的劫難之后，重啟學術(shù)之門還是靠最初一兩年大學數(shù)學的底子。我教過的學生在回訪時，也往往持同樣觀點。 

隨著時間的推移，力學面對的問題有所改變，學生的背景、前景變化更大。選什么講和怎么講，近些年一直縈繞于心。 

按照微積分的路數(shù)，首先要回答：什么是力學？我們的學生為什么要學（選）力學？或者更直擊教員內(nèi)心的：如果你有孩子，會建議他/她學力學嗎？以及，如果學力學的是你的孩子，你想教他/她些什么？ 

不禁想起十多年前一則軼事。林家翹先生九十華誕的晚宴上，他的同學好友彭桓武先生（他們都是周培源先生的弟子）一襲黃袍，到臺前致辭，講述他理解的理論物理，壽星與他討論興起，也跑到話筒前，兩位宿儒最終結(jié)論：英國的理論物理（彭先生所學的）和美國的應用數(shù)學（林先生在MIT首創(chuàng)應用數(shù)學系）其實是一回事。 

今日來看，我覺得還可以加上一條，（理科）力學也屬同一回事：數(shù)學專營工具，物理格物致知，力學居于其間而兼求有用。此處，夾擠原理似可一（濫）用。沒有行當?shù)牧W自有其可矜之處：與數(shù)學相比，力學家擅長建模，于是可四兩撥千斤，不唯有用、而且好用；與物理相比，力學家數(shù)學功底更深，不需斥巨資做實驗而可探知物理本質(zhì)（G.I. Taylor 是這方面的典范，設(shè)計簡單實驗抓住流體力學中的核心）。 

大學生的職業(yè)生涯在二十年、三十年的尺度上，而現(xiàn)代科技的一個特點就是變化快，因此他們將會面對的課題往往是當前教育所不能預知的。授人以漁，正是力學的長處。從近年來的情況看，我們的畢業(yè)生，特別是出國留學的學生，在去到傳統(tǒng)的力學應用領(lǐng)域（包括機械工程、航空航天、機器人、土木工程）之外，更有不少去到應用數(shù)學領(lǐng)域（包括計算數(shù)學、概率統(tǒng)計、運籌等）進一步深造。 

概言之，力學是一個擅建模、能解題、可致用的學科（“力學既是基礎(chǔ)學科，又是應用學科”），非常適合選作接受本科教育的專業(yè)。 

那么，理想的（理科）力學家是怎樣的呢？還是引林先生的話，他認為一個應用數(shù)學家，一方面在所從事的應用領(lǐng)域里要成為該領(lǐng)域的內(nèi)行、一流專家，另一方面由此做出的數(shù)學，也應該是高明的數(shù)學。我覺得，對于我們的學生，作這樣的期許也是完全恰當?shù)摹?nbsp;

服務(wù)這樣的目標，微積分教學希望達成以下幾個層次的目的。 

最低的要求是學生會用微積分工具去解題，能算對、算得快。工具不一定能決定一個學生的成功，但工具不掌握好，可以決定他做某些事一定不成功。牛頓創(chuàng)造的范例，就是把物體的運動用微分方程的形式作抽象的敘述，解出微分方程再回到物理的具體解讀，從而實現(xiàn)認識世界的目的。假若愛因斯坦沒有從洛倫茲那里了解到黎曼流形，廣義相對論就無從談起。龐加萊在《科學的價值》引言里指出，如果沒有數(shù)學分析這種語言，我們就永遠認識不到事物之間密切的類比，于是永遠不知道世界的內(nèi)在和諧。求導、積分這樣看似機械（形而上學）的計算手段，實際上正是哲人留給我們后輩鋒利無比的干將莫邪。 

稍上，要求學生懂得微積分的基本概念和關(guān)鍵點，特別是哪些地方是可能錯的、容易錯的。換言之，知道自己知識的邊界。武際可老師曾經(jīng)用這種思路區(qū)分過力學家與（土木）工程師：要蓋一座樓，不需要力學家，采用建筑規(guī)范工程師就可勝任；但如果依據(jù)建筑規(guī)范蓋的樓倒了，就必須用到力學家了。微積分學習同樣如是，本冊內(nèi)容中關(guān)于一致收斂、絕對/條件收斂的討論就是典型的案例。能察覺這樣的邊界，就有可能窺見基礎(chǔ)性創(chuàng)新的堂奧；嚴格的數(shù)學分析區(qū)別于只會作高等數(shù)學計算，正基于這一個邊界；前面對于（理科）力學學生的期許，也正是建立在這一個邊界上。 

更上一層，還希望我們的學生理解邏輯、建立自己的理性思維能力。淺而言之，受了嚴格分析教育的人，應當知道什么是需要證明的，以及什么算是一個證明（他/她如果自己會證明更好，如果不會，可以用數(shù)學家聽得懂的語言，為數(shù)學家提供研究課題）。這樣，他/她就可以不為“*********，嗨，就是好，就是好呀就是好呀就是好”這樣的斷言所惑；也不因眾人房子車子票子位子的裹脅，而忘了自己的追求。深而言之，雖然哥德爾說有的命題在體系內(nèi)不可證，然而，一個理論體系自身按照邏輯推演就會產(chǎn)生矛盾的，不是垃圾，就是新科學的起源，總之是不能想當然地全盤接受下來。掌握理性思維，不意味著我們推導的就一定正確（還依賴于出發(fā)點或者假設(shè)是否正確），但至少能夠像黎曼函數(shù)的可積性證明中所做的，剔除掉一大片函數(shù)值小于e的胡言亂語。承認邏輯、具備了理性思維能力的學生，才能成為德賽二先生的使徒。 

有了上面這些討論，就可以說說關(guān)于怎么教微積分（特別是下冊）的一點淺見。 

“概念清，算得快”仍然是我們的基本思路。 

先說“算得快”。多元微分、多元積分的計算，本質(zhì)上仍然就是一元微積分所教的那些：求偏導數(shù)就是“睜一只眼、閉一只眼”地只看一個自變量的求導；重積分一般也是化為累次積分，利用牛頓-萊布尼茲公式一層一層求。上冊內(nèi)容掌握得不夠熟練的同學，在本冊學習中會迅速落下來，而且覺得教學進度非?？臁Ｒ虼?，有必要提醒上學期學得不理想的同學，務(wù)必利用寒假時間補習（主要是簡單的求導、求不定積分部分，概念性更強、證明類的問題對于這些同學可以先緩一緩，有機會再提高）。 

再說“概念清”。雖然對于大多數(shù)學生，基本的教學目的側(cè)重在計算那邊，但課堂講授更應強調(diào)概念與邏輯，因為這些內(nèi)容學生較難通過自己的思考弄通理順。這些概念性部分的學習，可以采用求同求異的辦法。求同：就是看看與之前一元情況有什么相同的，利用以前的知識直接掌握吸收；求異：就是看看有什么本質(zhì)上不同的，例如重積分一章，積分區(qū)域就是大不同之處，直接導致需要引入零測集與若當可測集、通過函數(shù)的延拓來定義重積分（這跟通過確界定義實數(shù)的乘法異曲而同工），對于這樣的地方，要格外加深理解。此外，腦子里形成一些反例也是辨清概念的他山之石。 

板書是講授微積分的“正楷”。由于知識量極為厚重，即使以板書來延宕講課進度，對于大多數(shù)學生來說，微積分每堂課的內(nèi)容也非常充實，因此，應謹慎使用PPT等先進教學手段。微積分不是一個可以高高提起、輕輕放下的課程，上課也不是聽戲，必須讓大部分學生跟著教員的思路，亦步亦趨地走一遍，才有可能學明白。上過以后學生知道大致講過些什么、落到習題卻上不了手，是微積分教學的大忌。諸如翻轉(zhuǎn)課堂、慕課等先進理念（翻轉(zhuǎn)課堂可以追溯到上世紀六十年代曾經(jīng)推廣過的“拋綱式教學”），如何在嚴謹?shù)睦砜莆⒎e分教學中成為真正性價比更高的有效手段，還是一個需要摸索的課題。 

激發(fā)學生的興趣、能動性永遠是教學的主要目標之一，但也要讓他們認識到嚴謹?shù)膶W習不是、也不會是一個全時段、全方位有趣的事情，“只有不畏艱險勇于攀登的人，才能到達光輝的頂峰”。不討好學生與不故作高冷，同樣重要。如果有部分學生，發(fā)現(xiàn)自己確實不適合、不喜歡基于嚴謹思考、邏輯線長的學科的學習，及早讓他們通過微積分這樣的課程認識自己，無論從個體還是從社會來看，都未必不是一樁好事。需要說明的是，我們從來不認為只有學好微積分的人才是聰明的人、對社會有用的人。教育的終極目的，是幫助學生發(fā)現(xiàn)更好的自己、造就更好的自己，而這里“好”的內(nèi)涵中，適合做、喜歡做是核心部分，應當由每個人自己（而不是老師、家長或者社會）去判斷。 

具體到教學安排上，完整的下冊內(nèi)容需要大致96學時的大課（此外還應有32學時的習題課）。有條件進行三學期教學的，建議第二學期、第三學期各64學時（目前北大力學系采用的方案），其中第三學期講授含參變元的積分、級數(shù)這兩章，再補充測度論和/或流形上的微積分等內(nèi)容。對于非力學專業(yè)、兩學期完成微積分教學，且只有64學時的，可以考慮不講古典微分幾何、場論、含參變元的積分。隨著計算工具的發(fā)展，級數(shù)在求解方程等方面的不可替代性減弱了，因此，這部分內(nèi)容在本書中作了一些刪減，但完整的微積分教學，級數(shù)還是不可或缺的。