三、分析學范疇

1、微積分

 

微積分學是微分學和積分學的統(tǒng)稱，它是研究函數的導數、積分的性質和應用的一門數學分支學科。

 

微積分的出現具有劃時代意義，時至今日，它不僅成了學習高等數學各個分支必不可少的基礎，而且是學習近代任何一門自然科學和工程技術的必備工具?，F在的微積分學的教程，通常的講授次序是先極限、再微分、后積分，這與歷史順序正好相反。

 

在微積分歷史中，最初的問題是涉及計算面積、體積和弧長的。阿基米得(公元前3世紀)的方法最接近于現行的積分法。在17世紀探索微積分的至少有十幾位大數學家和幾十位小數學家。牛頓和萊布尼茨分別進行了創(chuàng)造性的工作，各自獨立地跑完了“微積分這場接力賽的最后一棒”。

 

1609年，開普勒為了計算行星運動第二定律中包含的面積，和在他的論文中討論的酒桶的體積，而借助了某種積分方法。1635年，卡瓦列利發(fā)表了一篇闡述不可分元法的論文，提出卡瓦列利原理，它是計算面積和體積的有價值的工具。1650年，沃利斯把卡瓦列利的方法系統(tǒng)化，并作了推廣。

 

微分起源于作曲線的切線和求函數的極大值或極小值問題。雖然可以追溯到古希臘，但是第一個真正值得注意的先驅工作，是費爾馬1629年陳述的概念。1669年，巴羅對微分理論作出了重要的貢獻，他用了微分三角形，很接近現代微分法。一般認為，他是充分地認識到微分法為積分法的逆運算的第一個人。

 

至此，還有什么要做的呢？首要的是，創(chuàng)造一般的符號和一整套形式的解析規(guī)則，形成可以應用的微積分學，這項工作是由牛頓和萊布尼茲彼此獨立地做出的。接著的工作是在可接受的嚴格的基礎上，重新推導基本理論，這必須等到此課題想到多方面應用之后?？挛骱退暮罄^者們完成了這一工作。

 

牛頓早在1665年才23歲時，就創(chuàng)造了流數法(微分學)，并發(fā)展到能求曲線上任意一點的切線和曲率半徑。他的《流數法》寫于1671年，但直到死后9年的1736年才發(fā)表。牛頓考慮了兩種類型的問題，等價于現在的微分和解微分方程。他定義了流數(導數)、極大值、極小值、曲線的切線、曲率、拐點、凸性和凹性，并把它的理論應用于許多求積問題和曲線的求長問題。

 

牛頓創(chuàng)立的微積分原理是同他的力學研究分不開的，他借此發(fā)現、并研究了力學三大定律和萬有引力定律，1687年出版了名著《自然哲學的數學原理》。這本書是研究天體力學的，包括了微積分的一些基本概念和原理。

 

萊布尼茨是在1673年到1676年之間，從幾何學觀點上獨立發(fā)現微積分的。1676年，他第一次用長寫字母∫表示積分符號，象今天這樣寫微分和微商。1684年～1686年，他發(fā)表了一系列微積分著作，力圖找到普遍的方法來解決問題。今天課本中的許多微分的基本原則就是他推導出來的，如求兩個函數乘積的n階導數的法則，現在仍稱作菜布尼茲法則。萊布尼茲的另一最大功績是創(chuàng)造了反映事物本質的數字符號，數學分析中的基本概念的記號，例如微分dx，二級微分dx?，積分∫ydx，導數dy/dx等都是他提出來的，并且沿用至今，非常方便。

 

牛頓與萊布尼茨的創(chuàng)造性工作有很大的不同。主要差別是牛頓把x和y的無窮小增量作為求導數的手段，當增量越來越小的時候，導數實際上就是增量比的極限，而萊布尼茲卻直接用x和y的無窮小增量(就是微分)求出它們之間的關系。

 

這個差別反映了他們研究方向的不同，在牛頓的物理學方向中，速度之類是中心概念；而在萊布尼茲的幾何學方向中，卻著眼于面積體積的計算。其它差別是，牛頓自由地用級數表示函數，采用經驗的、具體和謹慎的工作方式，認為用什么記號無關緊要；而萊布尼茲則寧愿用有限的形式來表示函數，采用富于想象的、喜歡推廣的、大膽的工作方式，花費很多時間來選擇富有提示性的符號。

 

    到1700年，現在大學且學習的大部分微積分內容已經建立起來。第一部微積分課本出版于1696年，是洛比達寫的。1769年，歐拉論述了二重積分。1773年，拉格朗日考察了三重積分。1837年，波爾查諾給出了級數的現代定義。19世紀分析學的嚴謹化，是由柯西奠基的?，F在課本中的極限、連續(xù)性定義、把導數看作差商的極限、把定積分看做和的權限等等，實質上都是柯西給出的。進一步完成這一工作的是威爾斯特拉斯，他給出了現在使用的精確的極限定義，并同狄德金、康托于19世紀70年代建立了嚴格的實數理論，使微積分有了堅固可靠的邏輯基礎。

　

2、微分方程

 

凡是表示未知函數和未知函數的導數以及自變量之間的關系的方程，就叫做微分方程。如果未知函數是一元函數，則稱為常微分方程，如果未知函數是多元函數，則稱為偏微分方積。微分方程的基本問題是在一定條件下，從所給出的微分方程解出未知函數。

 

微分方程幾乎是與微積分同時發(fā)展起來的，由于它與力學、物理學的淵源很深，所以在13世紀便已自成一門獨立的學科了。兩個多世紀來，這一學科已發(fā)展得相當完善。

 

1676年，萊布尼茲在致牛頓的信中，首先提出了“微分方程”這個名稱。在他們兩人的著作中，都包含了許多微分方程的實例。早期的研究側重于探討各類一階方程的解法，并由此導致了方程的分類。18世紀，歐拉解決了全微分方程和“歐拉方程”(一類高階變系數線性微分方程)，提出了通解和特解的概念，指出了n階線性方程通解的結構。其后，泰勒得到了方程的奇解；拉格朗日推導了非齊次線性方程的常數交易法。

 

對于微分方程組的研究，始于達朗貝爾。19世紀前半葉，柯西開始研究解的存在性和唯一性。19世紀后半葉，數學家們開始利用群論來研究微分方程，由此建立連續(xù)群和李群的新理論。龐加萊引入了極限環(huán)的概念，李雅普諾夫引入了微分方程組解的穩(wěn)定性概念。他們的方法都不必直接求解，稱為定性理論。1927年，畢爾霍夫建立了“動力系統(tǒng)”的一段定性理論。

 

一階偏微分方程的研究首先是從幾何學問題開始的。拉格朗日指出，解一階線性偏微分方程的技巧，在于把它們化為常微分方程。一階非線性偏微分方程的研究，始于歐拉和拉格朗日，蒙日為偏微分方程的幾何理論奠定了基礎。到18世紀末葉，在引入奇解、通解、全積分、通積分、特積分等概念之后，偏微分方程已形成一門獨立的學科。

 

二階偏微分方程的研究，始于18世紀的弦振動理論。通常見的二階偏微分方程均來自物理或力學的實際問題，它們構成了這門學科中一個獨立的系統(tǒng)—數學物理方程。

 

積分方程源于阿貝爾1826年的工作，但是直到1888年杜·波阿·雷蒙的著作中，才正式提出了積分方程這個名詞。1896年開始，伏特拉給出了兩類積分方程的一般理論；不久，弗雷德荷姆大體上完成了一類重要的線性積分方程理論。由于這類積分方程常出現在一些物理問題中，因此積分方程論常被包含在數學物理方程內。

 

    現代科學技術，如空間技術、現代物理學、力學等，都有許多問題需要用微分方程來求解，甚至在化學、生物學、醫(yī)藥學、經濟學等方面，微分方程的應用也越來越多。

　

3、微分幾何

 

微分幾何這門分支學科主要研究三維歐氏空間中曲線和曲面的內在性質，所謂內在性質就是同幾何對象在空間中的位置無關的性質。它以微積分、微分方程這些分支學科的理論為研究工具?；蚝唵蔚卣f，微分幾何就是用分析方法研究幾何性質。

 

微分幾何的發(fā)端可見于1731年克萊洛的著作中。蒙日1809年的著作包含了這一學科的雛型；歐拉研究了曲面的一般理論；高斯1827年的《關于曲面的一般研究》一書，論述了曲面理論，創(chuàng)立了內蘊幾何學，奠定了曲面微分幾何的基礎。1887～1896年，達布的《曲面一般理論的講義》集曲線和曲面微分幾何之大成。

 

    變換理論對于微分幾何的影響，產生了射影微分幾何、仿射微分幾何等分支。二十世紀初，出現了對非充分光滑曲線和曲面以及曲線曲面的整體問題的研究，形成現代微分幾何。1923年，嘉當提出了一般聯絡的理論。1945年，陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯系，他又是纖維叢概念的創(chuàng)建人之一。

　

4、函數論

 

函數論包括復變函數論和實變函數論，但有時也單指復變函數論(或復分析)而言。

 

復數概念出現于16世紀，但對它的全面掌握和廣泛運用，卻遲至18世紀。自變量是復數的函數，叫做復變函數。如果復變函數在某一區(qū)域內除了可能有有限個例外點之外，處處有導數，那么這個伏辯函數叫做在這個區(qū)域內的解析函數；例外點叫做奇點。復變函數論主要研究解析函數的性質。

 

復變函數的研究是從18世紀開始的。30～40年代，歐拉利用冪級數詳細討論了初等復變函數的性質。達朗貝爾于1752年得出復變函數可微的必要條件(即“柯西—黎曼條件”)。拉普拉斯也考慮過復變函數的積分。

 

復變函數的全面發(fā)展是在19世紀。1825年，柯西討論了虛限定積分，1831年他實質上推出了柯西積分公式，并在此基礎上建立了一整套復變函數微分和積分的理論。黎曼1851年的博士論文《復變函數論的基礎》，奠定了復變函數論的基礎。他推廣了單位解析函數到多位解析函數；引入了“黎曼曲面”的重要概念，確立了復變因數的幾何理論基礎；證明了保角映射基本定理。威爾斯特拉斯完全擺脫了幾何直觀，以冪級數為工具，用嚴密的純解析推理展開了函數論。定義解析函數是可以展開為冪級數的函數，圍繞著奇點研究函數的性質。近幾十年來，復變函數論又有很大的推進。

 

復變函數論是解決工程技術問題的有力工具，飛機飛行理論、熱運動理論、流體力學理論、電場和彈性理論等中的很多問題。

 

實變函數的發(fā)展較晚，其中積分論是它的重要組成部分。容度和測度是線段長度概念的推廣，是為了推廣積分的概念而建立起來的。1893年，約當給出了“約當容度”的概念，并用于討論積分。1894年，斯提捷首先推廣了積分概念，得到了“斯提捷積分”。1898年，波萊爾改進了容度的概念，他稱之為‘測度”。下一步決定性的進展是1902年勒貝格改進了測度理論，建立了“勒貝格測度”、“勒貝格積分”等概念。1904年，他完全解決了黎曼可積性的問題。后來，數學家們對積分的概念又作了種種推廣和探索。

 

    實變函數的另一個領域是函數構造論。1885年，威爾斯特拉斯證明：連續(xù)函數必可表示為一致收斂的多項式級數。這一結果和切比雪夫斯基最佳逼近論，是函數構造論的開端。近年來，這個方向的研究十分活躍。

　

5、泛函分析

 

本世紀初，出現了一個廣闊的新領域——泛函分析，它是古典分析觀點的推廣。近幾十年來，由于分析學中許多新分支的形成，從而發(fā)現在代數、幾何、分析中不同領域之間的某些方面的類似。其次，幾何與集合論的結合產生了抽象空間的理論，將函數看成函數空間中的點。再加上實變函數論以及近世代數的感念和方法的影響，就產生了泛畫分析。它綜合函數論，幾何和代數的觀點，研究無窮維向量空間上的函數、算子和極限理論。

 

    19世紀末，弗爾太拉和二十世紀初阿達瑪的著作中已出現泛函分析的萌芽。隨后希爾伯特、海令哲開創(chuàng)了“希爾伯將空間”的研究，黎斯、馮·諾伊曼等人在這方面都有重要的建樹。