無(wú)窮作為一個(gè)極富迷人魅力的詞匯，長(zhǎng)期以來(lái)就深深激動(dòng)著人們的心靈。徹底弄清這一概念的實(shí)質(zhì)成為維護(hù)人類(lèi)智力尊嚴(yán)的一種需要。而數(shù)學(xué)是“研究無(wú)限的學(xué)科”，因此數(shù)學(xué)就責(zé)無(wú)旁貸地?fù)?dān)當(dāng)起征服無(wú)窮的重任。我們?cè)诒疚闹袑⒑?jiǎn)要介紹一下數(shù)學(xué)中無(wú)窮思想發(fā)展的歷程光輝的起點(diǎn)：數(shù)學(xué)無(wú)窮發(fā)展的萌芽時(shí)期早在遠(yuǎn)古時(shí)代，無(wú)限的概念就比其他任何概念都激動(dòng)著人們的感情，而且遠(yuǎn)在兩千年以前，人們就已經(jīng)產(chǎn)生了對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)窮的萌芽認(rèn)識(shí)。
　　
在我國(guó)，著名的《莊子》一書(shū)中有言：“一尺之棰，日取其半，而萬(wàn)世不竭?！睆闹芯涂审w現(xiàn)出我國(guó)早期對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)水平。而我國(guó)第一個(gè)創(chuàng)造性地將無(wú)窮思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)中，且運(yùn)用相當(dāng)自如的是魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽。他提出用增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來(lái)逼近圓的“割圓術(shù)”，并闡述道：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣。”可見(jiàn)劉徽對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)已相當(dāng)深刻，正是以“割圓術(shù)”為理論基礎(chǔ)，劉徽得出徽率，而其后繼者祖沖之更是得出了圓周率介于 3.1415926 與 3.1415927 之間的領(lǐng)先國(guó)外上千年的驚人成果。
　
在國(guó)外，早在畢達(dá)哥拉斯關(guān)于不可公度量的發(fā)現(xiàn)及關(guān)于數(shù)與無(wú)限這兩個(gè)概念的定義中已孕育了微積分學(xué)的關(guān)于無(wú)窮的思想方法。德謨克利特和柏拉圖學(xué)派探索過(guò)無(wú)窮小量觀念。歐多克索斯、安蒂豐、數(shù)學(xué)之神阿基米德所運(yùn)用的窮竭法已備近代極限理論的雛形，尤其是阿基米德對(duì)窮竭法應(yīng)用之熟練，使后人感到他在當(dāng)時(shí)就已接近了微積分的邊緣。
　　
由此，我們可以看到在數(shù)學(xué)無(wú)窮思想發(fā)展之初，古人就已在這個(gè)領(lǐng)域開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)光輝的起點(diǎn)。

首創(chuàng)風(fēng)波：芝諾悖論

雖說(shuō)，古人對(duì)無(wú)窮已有了較深刻認(rèn)識(shí)，然而人們對(duì)無(wú)限的認(rèn)識(shí)是缺乏嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)的。可以說(shuō)，對(duì)于只熟知有限概念的人們來(lái)說(shuō)“無(wú)限”這一概念仍然是陌生與神秘的。芝諾悖論的提出清楚地表明了這一點(diǎn)。

芝諾，公元前五世紀(jì)中葉古希臘哲學(xué)家。他提出的四個(gè)悖論雖是哲學(xué)命題。但卻對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)窮思想的發(fā)展產(chǎn)生了直接且深遠(yuǎn)影響。這里僅舉其悖論之一。
　　
阿基里斯悖論：跑得最快的阿基里斯永遠(yuǎn)追不上爬得最慢的烏龜。大意是說(shuō)甲跑的速度遠(yuǎn)大于乙，但乙比甲先行一段距離，甲為了趕上乙，須超過(guò)乙開(kāi)始的 A 點(diǎn)，但甲到了 A 點(diǎn)，則乙已進(jìn)到 A₁ 點(diǎn)，而當(dāng)甲再到 A₁ 點(diǎn)，則乙又進(jìn)到 A₂ 點(diǎn)，依次類(lèi)推，直到無(wú)窮，兩者距離雖越來(lái)越近，但甲永遠(yuǎn)在乙后面而追不上乙。
　　
這顯然違背人們常識(shí)的芝諾悖論，因與無(wú)限問(wèn)題密切相連，就使得古希臘人對(duì)無(wú)窮有些望之卻步靜而遠(yuǎn)之了。同時(shí)也導(dǎo)致古希臘數(shù)學(xué)家不得不把無(wú)限排斥在自己的推理之外了。
　　
芝諾悖論就這樣一直困惑著人們，問(wèn)題的癥結(jié)何在呢？ 　　

嶄新一頁(yè)：微積分學(xué)的誕生

隨著時(shí)代的發(fā)展，實(shí)踐中提出了越來(lái)越多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，待數(shù)學(xué)家們加以解決，如曲線(xiàn)切線(xiàn)問(wèn)題、最值問(wèn)題、力學(xué)中的速度問(wèn)題、變力做功問(wèn)題……初等數(shù)學(xué)方法對(duì)此越來(lái)越無(wú)能為力，需要的是新的數(shù)學(xué)思想、新的數(shù)學(xué)工具。不少數(shù)學(xué)家為此做了不懈努力，如笛卡爾、費(fèi)馬、巴羅……并取得了一定成績(jī)，正是站在這些巨人的肩膀上，牛頓、萊布尼茲以無(wú)窮思想為據(jù)，成功運(yùn)用無(wú)限過(guò)程的運(yùn)算，創(chuàng)立了微積分學(xué)。這新發(fā)現(xiàn)、新方法的重要性使當(dāng)時(shí)的知識(shí)界深感震驚，因而出現(xiàn)了一門(mén)嶄新的數(shù)學(xué)分支：數(shù)學(xué)分析。這一學(xué)科的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)發(fā)展史上翻開(kāi)了嶄新一頁(yè)，譜寫(xiě)了光輝動(dòng)人的樂(lè)章。

風(fēng)波再起：貝克萊悖論

通往真理的路總是坎坷不平，布滿(mǎn)了艱辛，探求無(wú)窮之徑更絕非坦途。

十七世紀(jì)后期，牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分學(xué)，成為解決眾多問(wèn)題的重要而有力的工具，并在實(shí)際應(yīng)用中獲得了巨大成功，然而，微積分學(xué)產(chǎn)生伊始，迎來(lái)的并非全是掌聲，在當(dāng)時(shí)它還遭到了許多人的強(qiáng)烈攻擊和指責(zé)，原因在于當(dāng)時(shí)的微積分主要建立在無(wú)窮小分析之上，而無(wú)窮小后來(lái)證明是包含邏輯矛盾的。1734 年，大主教貝克萊寫(xiě)了本《分析學(xué)家》的小冊(cè)子，在這本小冊(cè)子中，他十分有效地揭示了無(wú)窮小分析方法中所包含的這種邏輯矛盾。這就是所謂的“貝克萊悖論”?；\統(tǒng)地說(shuō)，貝克萊悖論可以表述為“無(wú)窮小量究竟是否為零的問(wèn)題”就實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是零，又不是零。而從形式邏輯角度而言，這無(wú)疑是一個(gè)矛盾。貝克萊悖論，動(dòng)搖了人們對(duì)微積分正確性的信念，在當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界引起了一定混亂，從而導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上所謂的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。出路在何方？

發(fā)明的世紀(jì)：十八世紀(jì)

微積分產(chǎn)生后，一方面在應(yīng)用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論，也就是說(shuō)，正確的（尤其是在幾何應(yīng)用上是驚人的）結(jié)果卻是通過(guò)肯定不正確的數(shù)學(xué)途徑得出的。這把數(shù)學(xué)家們推到了尷尬境地。在對(duì)微積分的取舍上到底何去何從呢？
　　
“向前進(jìn)，向前進(jìn)，你就會(huì)獲得信念！”達(dá)朗貝爾吹起不顧一切奮勇向前的號(hào)角，在此號(hào)角的鼓舞下，十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們開(kāi)始不顧基礎(chǔ)的不嚴(yán)格，論證的不嚴(yán)密，而是更多依賴(lài)于直觀去開(kāi)創(chuàng)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)地。于是一套套新方法、新結(jié)論以及新分支紛紛涌現(xiàn)出來(lái)。經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)的漫漫征程，幾代數(shù)學(xué)家，包括達(dá)朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數(shù)量驚人前所未有的處女地被開(kāi)墾出來(lái)，微積分理論獲得了空前豐富。因而數(shù)學(xué)史家把這一時(shí)期稱(chēng)為發(fā)明的世紀(jì)。 　　

光輝樂(lè)章的不和諧音

微積分產(chǎn)生之初，對(duì)基礎(chǔ)不牢的指責(zé)，以及由此引發(fā)的爭(zhēng)論，一直就是微積分學(xué)奏出的光輝樂(lè)章中的不諧和音。然而在十八世紀(jì)，它被微積分應(yīng)用中驚人的成功所贏得的震耳掌聲暫時(shí)掩蓋了。經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)發(fā)明的十八世紀(jì)后，數(shù)學(xué)建筑擴(kuò)大了，房子蓋得更高了，而基礎(chǔ)卻沒(méi)有補(bǔ)充適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度。十八世紀(jì)粗糙的，不嚴(yán)密的工作導(dǎo)致謬誤越來(lái)越多的局面，不諧和音的刺耳開(kāi)始震動(dòng)了數(shù)學(xué)家們的神經(jīng)。下面僅舉一無(wú)窮級(jí)數(shù)為例。
　　
無(wú)窮級(jí)數(shù) S＝1－1＋1－1＋1……到底等于什么？
　　
當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為一方面 S＝（1－1）＋（1－1）＋……＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋……＝1，那么豈非 0＝1？ 這一矛盾竟使傅立葉那樣的數(shù)學(xué)家困惑不解，甚至連被的后人稱(chēng)之為數(shù)學(xué)家之英雄的歐拉在此也犯下難以饒恕的錯(cuò)誤。他在得到 1 + x + x2 + … =1/（1 - x）后，令 x = - 1，得出 S ＝1－1＋1－1＋1……＝1／2！
　　
由此一例，即不難看出當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的混亂局面了。問(wèn)題的嚴(yán)重性在于當(dāng)時(shí)分析中任何一個(gè)比較細(xì)致的問(wèn)題，如級(jí)數(shù)、積分的收斂性、微分積分的換序、高階微分的使用以及微分方程解的存在性……都幾乎無(wú)人過(guò)問(wèn)。尤其到十九世紀(jì)初，傅立葉理論直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題的徹底暴露。這樣，消除不和諧音，把分析重新建立在邏輯基礎(chǔ)之上就成為數(shù)學(xué)家們迫在眉睫的任務(wù)。 　　

重建微積分基礎(chǔ)

十八世紀(jì)富有成果然而欠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ鳎瑢?dǎo)致數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了暫時(shí)的混亂局面。到十九世紀(jì)，批判、系統(tǒng)化和嚴(yán)密論證的必要時(shí)期降臨了。
　　
使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的工作由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西邁出了第一大步?？挛饔?1820 年研究了極限定義，并創(chuàng)造性地用極限理論把微積分學(xué)中的定理加以嚴(yán)格、系統(tǒng)的證明，使微積分學(xué)有了較堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，同時(shí)柯西也因之成為加固微積分學(xué)基礎(chǔ)的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在著兩點(diǎn)主要的不足。其一，他的極限定義用了描述性語(yǔ)言“無(wú)限的趨近”“隨意小”，不夠精確。這一點(diǎn)由德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出精確描述數(shù)列極限的“ε-δ”方法和函數(shù)極限的“ε-δ”方法，把微積分奠基于算術(shù)概念的基礎(chǔ)上，獲得了圓滿(mǎn)解決。其二，他對(duì)單調(diào)有界定理的證明借助了幾何直覺(jué)。魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過(guò)自己獨(dú)立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實(shí)數(shù)體系，這樣數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問(wèn)題歸納為實(shí)數(shù)論的無(wú)矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類(lèi)數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，這項(xiàng)重要而困難的工作就這樣經(jīng)過(guò)許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了。微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)牢固基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時(shí)的混亂局面，同時(shí)也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決。 　　

康托爾的不朽功績(jī)：向無(wú)限冒險(xiǎn)邁進(jìn)

十九世紀(jì)，由于眾多杰出數(shù)學(xué)家的努力，微積分工具被改進(jìn)為嚴(yán)格的分析體系。同時(shí)由于嚴(yán)格追問(wèn)微積分的邏輯，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾把無(wú)窮集合引入詞匯，從而發(fā)現(xiàn)了無(wú)窮集這一數(shù)學(xué)新詞匯，開(kāi)辟出一個(gè)廣大而又從未人知的世界。
　　
康托爾以其集合論的成就被譽(yù)為對(duì) 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一。他從研究“收斂的傅立葉級(jí)數(shù)所表示的函數(shù)存在不連續(xù)”這一事實(shí)，提出無(wú)窮集合的概念，并以對(duì)應(yīng)關(guān)系為基本原則，尋求無(wú)窮集合的“多少”關(guān)系。他把兩個(gè)能對(duì)應(yīng)的集合稱(chēng)為同勢(shì)，利用勢(shì)他將無(wú)限集進(jìn)行了分類(lèi)，最小的無(wú)限集為可數(shù)集 a，即指與自然數(shù)集等勢(shì)的無(wú)窮集。進(jìn)一步，康托爾證明實(shí)數(shù)集的勢(shì) c>a，一切實(shí)函數(shù)的勢(shì) f>c,并且對(duì)任何一個(gè)集合，均可造出一個(gè)具有更大勢(shì)的集合，即是說(shuō)沒(méi)有最大的勢(shì)。鑒于此，1896 年康托爾根據(jù)無(wú)窮性有無(wú)窮多學(xué)說(shuō)，制訂了無(wú)限大算術(shù)，對(duì)各種無(wú)窮大建立了一個(gè)完整序列，他用希伯來(lái)字母表中第一個(gè)字母阿列夫來(lái)表示這些數(shù)。于是，直至無(wú)窮。無(wú)窮集合自身又構(gòu)成了一個(gè)無(wú)窮序列。所謂樓外有樓，天外有天了。這就是康托爾創(chuàng)立了超限數(shù)理論?？低袪柕墓ぷ?，在發(fā)表之初遭到許多人的嘲笑與攻擊?？肆_內(nèi)克有句名言：上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其他都是人為的。他完全否認(rèn)并攻擊康托爾的工作，稱(chēng)“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”，更有人嘲笑康托爾關(guān)于無(wú)窮的等級(jí)的超限數(shù)理論純粹為“霧中之霧”。前后經(jīng)過(guò) 20 余年，康托的工作才最終獲世界公認(rèn)，并贏得極大贊譽(yù)。羅素稱(chēng)贊說(shuō)：“Cantor 的工作可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的成就?！毕柌胤Q(chēng)其超限理論為“數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類(lèi)智力的最美的表現(xiàn)之一?！笨低屑险摰奶岢鰳?biāo)志了近代數(shù)學(xué)的開(kāi)端。他的觀點(diǎn)中，無(wú)窮集合是被看作一個(gè)現(xiàn)實(shí)的，完成的，存在著的整體，是可認(rèn)識(shí)，可抓住的東西。他的無(wú)窮集合理論令世人耳目一新。 　　

中途的輝煌

極限理論、實(shí)數(shù)理論使微積分學(xué)建立在嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)之上，而實(shí)數(shù)論又可在自然數(shù)論和無(wú)窮集合論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)，進(jìn)一步自然數(shù)論完全可在集合論中推出。這樣一來(lái)，實(shí)數(shù)論的融貫性就歸于集合論的融貫性，歸結(jié)到集合論，看來(lái)數(shù)學(xué)絕對(duì)嚴(yán)格的目的要達(dá)到了。1900 年在世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊鄭重宣布：“現(xiàn)在我們可以說(shuō)，數(shù)學(xué)最終的嚴(yán)格性基礎(chǔ)已經(jīng)確立了?！北磉_(dá)了數(shù)學(xué)家們欣欣自得的共同心情。尤其通過(guò)康托爾的工作，數(shù)學(xué)家們找到了營(yíng)造數(shù)學(xué)大廈的基石：集合論。而他的無(wú)窮集合，也就成了數(shù)學(xué)家們的伊甸園。這樣，從微積分誕生之日起，數(shù)學(xué)家們歷經(jīng) 200 多年的艱苦努力，終于迎來(lái)了輝煌的勝利。

一波三折：羅素悖論的提出及解決

正當(dāng)數(shù)學(xué)家們?cè)跓o(wú)窮集合的伊甸園中優(yōu)哉游哉，并陶醉于數(shù)學(xué)絕對(duì)嚴(yán)格性的時(shí)候，一個(gè)驚人的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界。
　　
“集合論是有漏洞的！”這就是，1902 年，羅素得出的結(jié)論。

羅素構(gòu)造了一個(gè)集合 U，U 由所有不屬于自身的集合組成，U 顯然存在，但 U 是否屬于自身呢？無(wú)論回答是否都將導(dǎo)致矛盾，這就是著名的羅素悖論。羅素悖論相當(dāng)簡(jiǎn)明，以致幾乎沒(méi)有什么可以辯駁的余地，然而它卻動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基石：集合論。
　　
“絕對(duì)嚴(yán)密”、“天衣無(wú)縫”的數(shù)學(xué)，又一次陷入了自相矛盾與巨大裂縫的危機(jī)之中。原本已平靜的數(shù)學(xué)水面，因羅素悖論的投入，又一石激起千重浪，令數(shù)學(xué)家們震驚之余有些驚慌失措，這就導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上所謂的“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)?！?br>　　
危機(jī)是由康托爾研究的無(wú)限集合引發(fā)的。危機(jī)產(chǎn)生后，包括羅素本人在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去。1908 年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進(jìn)形成無(wú)矛盾的集合論公理系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng) ZF 公理系統(tǒng)，使原本直觀的集合概念建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了羅素悖論的產(chǎn)生，在表層上解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。 　　

柳暗花明又一村：無(wú)窮小重返數(shù)學(xué)舞臺(tái)

17 世紀(jì)下半葉，牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分學(xué)，用了無(wú)窮小量的概念，但因?qū)ζ浣忉尯磺澹霈F(xiàn)了貝克萊悖論，導(dǎo)致數(shù)學(xué)史上的“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”，19 世紀(jì)，柯西、維爾斯特拉期等人引入極限論、實(shí)數(shù)論，使微積分理論嚴(yán)格化，從而避免了貝克萊悖論，圓滿(mǎn)解決了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。然而與此同時(shí)，極限方法代替了無(wú)限小量方法。無(wú)窮小量作為“消失了量的幽魂”被排斥在數(shù)學(xué)殿堂之外了。
　　
1960 年，美國(guó)數(shù)理邏輯學(xué)家 A 魯濱遜指出：現(xiàn)代數(shù)理邏輯的概念和方法為“無(wú)限小”、“無(wú)限大”作為“數(shù)”進(jìn)入微積分提供了合適的框架，無(wú)窮小量堂而皇之地重返數(shù)壇，成為邏輯上站得住腳的數(shù)學(xué)中的一員，被認(rèn)為是“復(fù)活了的無(wú)窮小”。這樣微積分創(chuàng)立 300 年后，第一個(gè)嚴(yán)格的無(wú)窮小理論才發(fā)展起來(lái)?；仡櫸⒎e分學(xué)發(fā)展的歷史，無(wú)窮小分析法→極限方法→無(wú)窮小分析法，否定之否定，微積分學(xué)基礎(chǔ)獲得了進(jìn)一步發(fā)展。 　　

實(shí)無(wú)限、潛無(wú)限

認(rèn)真考察無(wú)窮在數(shù)學(xué)中的發(fā)展歷程，可以注意到在數(shù)學(xué)無(wú)窮思想中一直存在著兩種觀念：實(shí)無(wú)限思想與潛無(wú)限思想。所謂潛無(wú)限思想是指：“把無(wú)限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長(zhǎng)著被不斷產(chǎn)生出來(lái)的東西來(lái)解釋。它永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在。把無(wú)限看作為永遠(yuǎn)在延伸著的（即不斷在創(chuàng)造著的永遠(yuǎn)完成不了的）過(guò)程。所謂實(shí)無(wú)限思想是指：把無(wú)限的整體本身作為一個(gè)現(xiàn)成的單位，是已經(jīng)構(gòu)造完成了的東西，換言之，即是把無(wú)限對(duì)象看成為可以自我完成的過(guò)程或無(wú)窮整體。數(shù)學(xué)中無(wú)限的歷史實(shí)際上是兩者在數(shù)學(xué)中合理性的歷史。
　　
亞里士多德只承認(rèn)潛無(wú)限，使其在古希臘數(shù)學(xué)中占統(tǒng)治地位。文藝復(fù)興時(shí)期后，實(shí)無(wú)限在數(shù)學(xué)中統(tǒng)治了三個(gè)世紀(jì)。17 世紀(jì)下半葉，牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分學(xué)也是以實(shí)無(wú)限小為基礎(chǔ)的，在其理論中，無(wú)窮小量被看作一個(gè)實(shí)體，一個(gè)對(duì)象，正因此，早期微積分又被稱(chēng)之為“無(wú)窮小分析”。這種以實(shí)無(wú)限思想為據(jù)的理論在其產(chǎn)生后的一個(gè)世紀(jì)被廣大數(shù)學(xué)家所使用，因而使這段時(shí)期成為實(shí)無(wú)限黃金時(shí)期。微積分被形容為一支關(guān)于“無(wú)窮的交響樂(lè)”。但由于當(dāng)時(shí)人們對(duì)無(wú)窮小量概念認(rèn)識(shí)模糊，導(dǎo)致產(chǎn)生了貝克萊悖論及一系列荒謬結(jié)果。在高斯時(shí)代，實(shí)無(wú)限已開(kāi)始被拋棄了，尤其到了十八世紀(jì)末至十九世紀(jì)約百年時(shí)間中，隨著重建微積分基礎(chǔ)工作的完成，無(wú)窮小量被拒之于數(shù)學(xué)大廈之外，無(wú)窮小被看作實(shí)體的觀念在數(shù)學(xué)分析中亦被驅(qū)除了，而代之以“無(wú)窮是一個(gè)逼近的目標(biāo)，可逐步逼近卻永遠(yuǎn)達(dá)不到”的潛無(wú)限觀念。這種思想突出表現(xiàn)了現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)分析關(guān)于極限的定義中，并由此建立起了具有相當(dāng)牢固基礎(chǔ)的微積分理論，使得潛無(wú)限思想在這段時(shí)期深入人心。然而，到本世紀(jì)六十年代，A·魯濱遜創(chuàng)立的非標(biāo)準(zhǔn)分析，使無(wú)窮小量再現(xiàn)光輝，榮歸故里，重新堂而皇之的登進(jìn)數(shù)學(xué)的殿堂，而可與柯西的極限分庭抗衡了。尤其，在康托爾的無(wú)窮集合論中，體現(xiàn)的也是“無(wú)窮集合是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的、完成的“存在著的整體”的實(shí)無(wú)限思想，這就足以使得實(shí)無(wú)限思想可與潛無(wú)限思想形成“雙峰對(duì)峙”、“炮馬爭(zhēng)雄”的局面了。
　　
那么，無(wú)窮到底是實(shí)無(wú)限，抑或是潛無(wú)限呢？
　　
兩種無(wú)窮思想在數(shù)學(xué)上經(jīng)歷過(guò)“江山代有才人出，各領(lǐng)風(fēng)騷數(shù)百年”的此消彼長(zhǎng)與往復(fù)更迭后，已在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中日趨合流，實(shí)際上現(xiàn)在數(shù)學(xué)中早已是既離不開(kāi)實(shí)無(wú)限思想也離不開(kāi)潛無(wú)限思想了。標(biāo)準(zhǔn)分析與非標(biāo)準(zhǔn)分析的使用表明：用兩種不同的無(wú)窮思想為據(jù)，采取不同的方式卻可以得出完全相同的結(jié)果。這殊路同歸的結(jié)局，意味著兩種無(wú)窮思想可以避開(kāi)“兩虎相爭(zhēng)，必有一傷”而走向“平分秋色，輝映成趣”了。
　　
當(dāng)我們上升到哲學(xué)高度時(shí)，可能會(huì)獲得對(duì)兩者關(guān)系的更清楚認(rèn)識(shí)。
　　
辯證法告訴我們，要從整體，從兩方面看問(wèn)題。如同我們所熟悉的“金銀盾”的故事那樣，看到金一面的說(shuō)是金盾，見(jiàn)到銀一面的說(shuō)是銀盾，而實(shí)際上對(duì)盾的認(rèn)識(shí)應(yīng)是“一面是金，一面是銀”，數(shù)學(xué)家們對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)亦相仿?？吹綗o(wú)窮實(shí)在性一方面的說(shuō)無(wú)窮是實(shí)無(wú)窮，見(jiàn)到無(wú)窮潛在性一面說(shuō)無(wú)窮是潛無(wú)限，但對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)只能是“無(wú)窮既是實(shí)無(wú)限，又是潛無(wú)限”，無(wú)窮本身就是一個(gè)矛盾體，它既是一個(gè)需無(wú)限趨近的過(guò)程，又是一個(gè)實(shí)體，一個(gè)可研究的對(duì)象。在這一矛盾體中，矛盾的一方是實(shí)無(wú)限，另一方是潛無(wú)限而無(wú)窮正是這矛盾雙方的對(duì)立統(tǒng)一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潛無(wú)限作為矛盾體的一面，是對(duì)有窮的直接否定，而實(shí)無(wú)限作為矛盾體的另一面則是對(duì)潛無(wú)限的否定，是否定之否定。誠(chéng)如徐利亞教授提出的無(wú)窮雙相性理論：實(shí)無(wú)限、潛無(wú)限只是一枚硬幣的兩面罷了。這倒并非是哲學(xué)的玄奧思辯，而是辯證法為我們上的生動(dòng)一課。
　
“數(shù)學(xué)是研究無(wú)窮的學(xué)科?！睌?shù)學(xué)與無(wú)窮確實(shí)有著不解之緣。認(rèn)識(shí)論說(shuō)，人的認(rèn)識(shí)總是由具體到抽象，而這一認(rèn)識(shí)過(guò)程從一定角度看也可以說(shuō)是由有限到無(wú)限的邁進(jìn)，而數(shù)學(xué)是最具抽象性的學(xué)科，這亦足以說(shuō)明在向無(wú)限的邁進(jìn)中，數(shù)學(xué)達(dá)到的層次是最深入的。并且在數(shù)學(xué)中，無(wú)窮是永遠(yuǎn)無(wú)法回避的。因?yàn)閿?shù)學(xué)證明就是用有限的步驟解決涉及無(wú)窮的問(wèn)題。數(shù)學(xué)與無(wú)窮間的關(guān)系是剪不斷、理還亂的。從數(shù)學(xué)產(chǎn)生之日起，無(wú)窮就如影如隨，伴著數(shù)學(xué)的發(fā)展齊步前進(jìn)。尤其當(dāng)微積分產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)與無(wú)窮的聯(lián)系就更緊密了。恩格斯說(shuō)：“萊布尼茲是研究無(wú)限的數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人?！闭\(chéng)如恩格斯所言，從唯物辯證法角度來(lái)看，數(shù)學(xué)的發(fā)展從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的質(zhì)的飛躍，就是數(shù)學(xué)上從研究有限到研究無(wú)限的質(zhì)的飛躍。微分和積分實(shí)質(zhì)上都是一種極限，而極限過(guò)程就是無(wú)限過(guò)程。因此可以說(shuō)，微積分在數(shù)學(xué)樹(shù)立了一座認(rèn)識(shí)無(wú)窮的不朽豐碑，另外康托爾的無(wú)窮集合論也使人們對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新層次。
　　
然而“無(wú)窮既是人類(lèi)最偉大的朋友，也是人類(lèi)心靈寧?kù)o的最大敵人?！保ㄏ柌卣Z(yǔ)）因?yàn)檎鞣o(wú)窮的路畢竟是這樣地難行。在數(shù)學(xué)無(wú)窮發(fā)展歷程中，我們已經(jīng)看到征服無(wú)窮的路途中，悖論是一次次出現(xiàn)：芝諾悖論、貝克萊悖論、羅素悖論的出現(xiàn)即為例證。雖說(shuō)，歷經(jīng)幾百年，數(shù)代數(shù)學(xué)家的艱苦努力，建立的極限論、實(shí)數(shù)論、ZF 公理系統(tǒng)解決了這些悖論及由此導(dǎo)致的危機(jī)。然而悖論的的清除，矛盾的回避也導(dǎo)致了數(shù)學(xué)確定性的一步步喪失。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)只是于表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。希爾伯特曾企圖用形式主義“一勞永逸地消除任何對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)可靠性的懷疑。”然而其一攬子解決方案在 1930 年哥德?tīng)柊l(fā)現(xiàn)不完備定理后宣告付之東流了。哥德?tīng)柕墓ぷ魇谷藗儗?duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)又上升了一個(gè)層次。人們開(kāi)始更深刻地明白：任何想一勞永逸解決無(wú)窮問(wèn)題的努力是烏托邦式工作不可能成功。認(rèn)識(shí)無(wú)窮、征服無(wú)窮之途是漫漫無(wú)際的。然而數(shù)學(xué)中沒(méi)有不可知！經(jīng)過(guò)一代代人的努力，人們對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)必將一次次上升到新的高度！