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譯者 | [遇見數(shù)學(xué)翻譯小組] 核心成員 Atena
編輯 | 公理 我們難免會遇到人生中這樣或那樣令你錯愕的場景，出乎預(yù)料的事情撲面砸來，職場、社會壓力、生活焦慮……真的很想熬過那個時間，克服或忘記曾發(fā)生過什么尷尬。
如果作為一個數(shù)學(xué)人，當(dāng)原本以為嚴(yán)謹(jǐn)、精確的數(shù)學(xué)卻發(fā)生令你大失所望的事情，又該怎么面對呢？數(shù)學(xué)一直致力于對客觀世界的探求，無論是通過邏輯思考還是通過使用嚴(yán)格定義的數(shù)學(xué)語言去闡述的這種方式。不過當(dāng)數(shù)學(xué)的世界在某一瞬間突然失去了這些意義后，還能夠用心去觀察數(shù)學(xué)，那么這就真的很有啟發(fā)性，富有教育的意義是多方面的。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)因?yàn)閿?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)源自于古希臘，數(shù)學(xué)思想最初是緊密圍繞宗教信仰，因此，數(shù)被賦予了神圣的屬性。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，一個早期數(shù)學(xué)的神秘團(tuán)體，它推動了數(shù)學(xué)知識的發(fā)展，像所有的狂熱者一樣，它建立在原教旨主義之上。他們?yōu)楸壤軌蜻\(yùn)用到每個實(shí)際問題而感到震撼，因此相信比例都是神圣的，這樣他們也可以對世界上發(fā)生的任何事做出解釋。▲ 畢達(dá)哥拉斯主義者慶祝日出，F(xiàn)yodor Bronnikov作(圖自維基)那么相應(yīng)的，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的根號2世界上發(fā)生的每一件事都應(yīng)該用比例來表達(dá)，對吧？
現(xiàn)在想象一下，當(dāng)剛問世不久的畢達(dá)哥拉斯定理得到應(yīng)用，就發(fā)現(xiàn)了 時候的那種震驚。這個無理數(shù)（無理數(shù)即不能由兩個整數(shù)的比值來表示）顛覆了由比值的神圣性所表達(dá)的世界秩序，并向其整個哲學(xué)體系拋出了質(zhì)疑！無窮無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)把古希臘人領(lǐng)向了新的一個發(fā)現(xiàn)，它更為震懾人心，那就是：無窮！因?yàn)闊o理數(shù)的特征就是具有無窮數(shù)量的十進(jìn)制數(shù)位，于是古希臘人當(dāng)時必須構(gòu)思出一個合理的解釋來說明怎樣創(chuàng)造無窮數(shù)量的數(shù)。即使是在現(xiàn)如今無窮的概念都很難去理解，更不用說在當(dāng)時那個宗教與科學(xué)緊密相連的時代，而且數(shù)學(xué)里的信仰不能挑戰(zhàn)對上帝的認(rèn)知。▲ 無限大的符號是1655年由英國數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯開始使用所以，古希臘人是怎么做的呢？像亞里士多德和柏拉圖這樣的哲學(xué)家，他們反對絕對的無窮這種概念，于是有數(shù)學(xué)家們就想出了別出心裁的辦法來規(guī)避無窮在幾何里的發(fā)展，比如小亞細(xì)亞尼多斯的 歐多克索斯，他發(fā)明了窮舉法來計算面積。
17世紀(jì)牛頓和萊布尼茨通過運(yùn)用無窮小量(Infinitesimals)來鼓勵重視無窮這個概念，但因不嚴(yán)格使用引來一些批評者的攻擊。直到 19 世紀(jì)后半葉，才由維爾特拉斯、康托爾和戴德金等人以極限概念為基礎(chǔ)來解決。芝諾悖論當(dāng)談及哲學(xué)推理的時候，古希臘人當(dāng)然做出了巨大的貢獻(xiàn)。古希臘人的先輩赫拉克利特斷言世間萬事萬物都在不斷變化，之后，巴門尼德斷言并非如此。因此，運(yùn)動純粹只是個幻象，于是即便用古希臘人所認(rèn)為的描述真理的數(shù)學(xué)也不太可能。芝諾，巴門尼德的一位學(xué)生，構(gòu)思出了一系列的悖論，目的是為了證明運(yùn)動的無理性。其中最著名的一個，就是“阿喀琉斯與烏龜”：阿喀琉斯在追一只烏龜，而烏龜則是很緩慢的，但是給定一個條件即這只烏龜在起跑時領(lǐng)先阿喀琉斯100米。簡單來講，如果我們假定：這兩個競賽者的速度各自保持恒定，并且阿喀琉斯的速度是烏龜速度的十倍；于是我們可以說：當(dāng)阿喀琉斯到達(dá)烏龜最開始的那個起點(diǎn)（即100米）時，由于烏龜已經(jīng)向前爬了10米，于是阿喀琉斯還得再跑10米為了能追上，接著當(dāng)他到達(dá)這一個新起點(diǎn)的時候，烏龜又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向這個1米……這道高中數(shù)學(xué)題，就這樣簡單明了，把我們引向了一個如下的悖論：阿喀琉斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜，無論他有多快。芝諾的這個悖論讓運(yùn)動聽上去不符合邏輯。芝諾的悖論被相信存在于形而上學(xué)的領(lǐng)域，它困擾了哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家很久，但是如今可以用微積分來解釋。而微積分學(xué)，這是古希臘人當(dāng)時沒有掌握的數(shù)學(xué)工具。有趣的莫比烏斯帶，是由德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家莫比烏斯和約翰·李斯丁在 1858 年獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的。它是一個只有面和一條邊的曲面，常常被用來迷惑數(shù)學(xué)新生。
其實(shí)你也可以簡單地做一個莫比烏斯帶：拿一個紙條，扭一下然后把兩端連接起來。莫比烏斯帶，作為第一個不可定向標(biāo)準(zhǔn)范例，也沒有像其他那些發(fā)現(xiàn)那樣動搖數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它反而是提供了很多實(shí)際應(yīng)用，譬如一種從莫比烏斯帶得到靈感的傳送帶能使用更長的時間，因?yàn)榭梢愿玫睦谜麄€帶子，或者用于制造磁帶，可以承載雙倍的信息量。也啟發(fā)了數(shù)學(xué)家們構(gòu)想出更多不可定向曲面，譬如克萊因瓶。它的命名很可能來自于一個雙重巧合：德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因提出這個概念，起初命名它為 Kleinsche Fl?che”(克萊因平面)，但后者發(fā)音與Flasche 很相似，而其發(fā)育在德語里的意思是“瓶”，后被廣為流傳，最終也沿用了“克萊因瓶”這種叫法。康托爾的實(shí)數(shù)集合不可數(shù)解決無窮的難題已經(jīng)夠困難了，而康托爾在 1874 年證明了實(shí)際上有不同的無窮。尤其是證明了實(shí)數(shù)集合的不可數(shù)性，他證明了這個集合比自然數(shù)的現(xiàn)存無窮集要大一些。
▲ 康托爾的對角線法論證說明存在不可數(shù)集。比如底部的序列不會出現(xiàn)在上述序列的無限列表中的任何位置。(圖自維基) 1891年，康托爾給出了對角線法，通過一一對應(yīng)的方法對無限集合的大小進(jìn)行比較，并將能夠彼此建立一一對應(yīng)的集合稱為等勢，即可以被認(rèn)為是“一樣大”的。他引入了可數(shù)無窮的概念，用來指與自然數(shù)集合等勢的集合，并證明了有理數(shù)集合是可數(shù)無窮，而實(shí)數(shù)集合不是可數(shù)無窮，這表明無窮集合的確存在著不同的大小，他稱與實(shí)數(shù)等勢（從而不是可數(shù)無窮）的集合為不可數(shù)無窮。對角線法是一種如此優(yōu)雅的證明，后來被用作一種來證明悖論的工具。
羅素悖論伯特蘭·羅素是一位數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家、歷史學(xué)家、作家、社會批評家、政治活動家，以及，在我看來，一位值得學(xué)習(xí)的人物，能從他身上受到啟發(fā)！1901年，羅素發(fā)現(xiàn)時至當(dāng)時已是完善建立的康托集合論存在一個有瑕疵的地方，這把他引向了一個矛盾：任給一個性質(zhì)，滿足該性質(zhì)的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導(dǎo)致悖論。羅素悖論的一個更為通俗的例子叫作“理發(fā)師悖論”，如下：有一個小城，它有這樣一個規(guī)矩：凡是不給自己刮臉的人都要去找理發(fā)師刮臉。很尷尬的問題便是，那么誰來給理發(fā)師刮臉？這個發(fā)現(xiàn)讓羅素質(zhì)疑傳統(tǒng)集合論并開創(chuàng)了一個新的集合理論，比之后的策梅洛-弗蘭克爾集合論還要復(fù)雜。哥德爾不完備定理庫爾特·哥德爾是奧匈帝國的一位邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家。他震撼了19世紀(jì)的數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)，其最杰出的貢獻(xiàn)是哥德爾不完備定理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的相對協(xié)調(diào)性證明。
▲ Kurt G?del, 攝于1925(圖自維基) 我們正在討論的二十世紀(jì)，人們不僅僅是想知道，而且還想知道有沒有可能去了解并證明一個東西。人類想要了解宇宙，哥德爾在1931年發(fā)表了兩個定理，統(tǒng)稱哥德爾不完備定理。
解釋技術(shù)細(xì)節(jié)和接受結(jié)論一樣困難，正如哥德爾所證明的那樣，考慮一個相容且完備的系統(tǒng)，比如算術(shù)語言，有些命題都是真但無法被證明。哥德爾受到說謊者悖論（“這句話不能被證明”）的啟發(fā)，用了一個簡單的描述展示了他定理的正確性。如果為真，那么這個命題是真且不能被證；如果為假，那么這個命題能被證明，而這又與初始描述“這不能被證”相悖。這些對數(shù)學(xué)來說都是壞消息，因?yàn)閯儕Z了人們對于闡釋絕對真理的原始欲望。同時，希爾伯特式對知識的探求再度席卷而來，用他的話說就是：“我們必須知道，我們將會知道”。塔斯基不可定義定理塔斯基受到了哥德爾的啟發(fā)，于1936年證明了我們無法在算術(shù)系統(tǒng)中定義何謂“算術(shù)的真理”。盡管塔斯基的發(fā)現(xiàn)也包含在哥德爾的成果之中，但可以說塔斯基所做的有更深遠(yuǎn)的哲學(xué)影響力。他成功得出了這樣一個通用的結(jié)論，即：世上沒有任何直譯語言足以表達(dá)出它本身的語義。這個定理可被推廣成適用于任何足夠強(qiáng)的形式系統(tǒng)，以表明：我們無法在系統(tǒng)中定義何謂“系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)模型的真理”。這對一個數(shù)學(xué)家來說，再企圖尋找”一種元語言去統(tǒng)領(lǐng)一切”是毫無意義的。停機(jī)問題艾倫·圖靈曾嘗試解決“決策問題”。該問題用簡單的話描述就是：致力于找到一個算法它能夠回答一個命題是真是假。為了解決這個概念上看似簡單實(shí)際卻難以處理的問題，圖靈把它重新闡述為：是否能判斷任意一個程序是否能在有限的時間之內(nèi)結(jié)束運(yùn)行。停機(jī)在這里的意思是不會永無止境的循環(huán)下去。但是，當(dāng)你對這個機(jī)器知之甚少的時候，你怎樣證明它的不可行性？于是悖論又來了。艾倫·圖靈在1936年用對角論證法證明了，不存在解決停機(jī)問題的通用算法。這個證明的關(guān)鍵在于對計算機(jī)和程序的數(shù)學(xué)定義，這被稱為圖靈機(jī)。停機(jī)問題在圖靈機(jī)上是不可判定問題。這是最早提出的決定性問題之一。沒有免費(fèi)的午餐定理當(dāng)我們這篇文章終于愉快地來到了 21 世紀(jì)的數(shù)學(xué)世界時，我們可以看到，數(shù)學(xué)，它從純數(shù)學(xué)、從哲思式的數(shù)學(xué)，有序邁向了應(yīng)用領(lǐng)域，譬如數(shù)據(jù)科學(xué)、統(tǒng)計學(xué)以及最優(yōu)化。如果你認(rèn)為自己很感興趣優(yōu)化，你不覺得這會讓你成為一個完美主義者么？而完美主義者不正是追尋最優(yōu)途徑去優(yōu)化事物么？似乎 David Wolpert 和 William Macready 感覺到了這樣的需求并且想出了一個解答。他們1997年發(fā)表的“沒有免費(fèi)午餐定理” 指出的 ：任何兩個優(yōu)化算法都是等價的，當(dāng)算法的性能在面向所有可能問題而趨于平均的時候。這也許會很心傷，但這不代表優(yōu)化是無謂的。我們只是從來都找不到一個通用的最優(yōu)方法去實(shí)現(xiàn)它。
▌結(jié)語 上面這些就是讓數(shù)學(xué)感到尷尬大事件，這里我們說尷尬這個詞，是對絕望、混亂的輕量級描述，而實(shí)際上這些紛繁問題都是數(shù)學(xué)家們經(jīng)歷過的內(nèi)心體驗(yàn)。但無論怎樣，每一次撼動數(shù)學(xué)的問題也都是對科學(xué)向前發(fā)展的又一級助推。數(shù)學(xué)領(lǐng)域是靠創(chuàng)造維系發(fā)展的，我們有圖靈機(jī)，有很炫酷的幾何曲面。最重要是，我們擁有可以反復(fù)檢驗(yàn)心中的預(yù)期以及相應(yīng)于此去合理運(yùn)用手頭工具的那種能力。這些曾充滿質(zhì)疑的偉大時刻幫助了人們能夠更睿智地繁衍生息與發(fā)展。
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