一、 求離心率的值問題

求離心率的值需要構(gòu)造一個含有 或數(shù)字的等式，而等式關(guān)系如何構(gòu)造，只能依照題目中給出的條件結(jié)合幾何形狀見招拆招，沒套路可言。

1、基本方法：從定義出發(fā)，特別注意第一定義中的焦點三角形問題，以橢圓為例，在焦點三角形中三條邊中蘊含了的關(guān)系，因此如果能找出三條邊的關(guān)系也就可以求出離心率的值。

2、幾何法，幾何方法不是方法，而是分析幾何圖形的能力，根據(jù)題目中給出的或隱含的條件找出等量關(guān)系即可，比如題目中給出的等腰，中垂線，垂直等條件都可能是破解題目的入手點。

上圖中A,B兩點不是焦點，,且條件中沒有b和c的量，因此無法構(gòu)成等量關(guān)系，但是注意雙曲線的方程本身就是包含的等式，因此題目的關(guān)鍵不是構(gòu)造等式而是求出點M的坐標(biāo)，代入到雙曲線的方程中即可求出離心率。

【解析】題目中未出現(xiàn)焦點三角形，則與定義無關(guān)，且A,B均不在雙曲線上，因此求點坐標(biāo)無用，題目雙曲線中唯一出現(xiàn)的與有關(guān)系的量就只有漸近線了，因此題目中必定用到漸近線方程，題目中還給出了[垂心的概念，因此垂直關(guān)系就很明顯了。而題目中的等量關(guān)系就是垂直，

二、求離心率范圍問題

與求離心率的值相似，求解離心率的取值范圍問題依舊是需要建立一個不等關(guān)系，且不等關(guān)系中含有或數(shù)字的形式，至于如何建立不等關(guān)系，可總結(jié)為四種思考方向：

1.從圓錐曲線本身所具有的不等關(guān)系入手，以橢圓為例：

（3）焦點三角形面積的取值范圍：當(dāng)點P處于B位置時，焦點三角形面積最大，例：

2.從直線和圓錐曲線的位置關(guān)系或點和圓錐曲線的位置關(guān)系入手

（1）點和圓錐曲線的位置關(guān)系

若能用表示出某點的坐標(biāo)，則根據(jù)點在橢圓內(nèi)/外，將點代入橢圓內(nèi)就有相應(yīng)的不等關(guān)系，而這個點一般是特殊位置點，如三心、中垂線上的點等。例：

（2）直線和圓錐曲線位置關(guān)系。在開放式問題中如果問存在不存在或者求直線方程時求出多個斜率，則必定要對所求的值進(jìn)行驗證，若在離心率的取值范圍問題中使用位置關(guān)系的判定方法，例如判別式法只能求出某個參數(shù)的取值范圍，求離心率的取值范圍其實是將離心率轉(zhuǎn)化為關(guān)于所求出參數(shù)的函數(shù)的取值范圍，例：

3、最難的幾何法，通過分析題目中的幾何條件得出不等關(guān)系，例如三角形兩邊之和大于第三邊，例如出現(xiàn)的鈍角銳角或者出現(xiàn)的三角形的形狀，中垂線等，這也是求離心率取值范圍中最難的一種，考察隊幾何圖形和已知條件的關(guān)聯(lián)性。

因為題目中只給出了垂直關(guān)系，且兩點為直線與橢圓的交點，因此考慮直線與橢圓聯(lián)立，運用韋達(dá)定理。因為題目中的垂直關(guān)系，我們可以用向量或者斜率來解出不等式，過程如下：