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時間序列分析的主要目的是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)對未來進行預(yù)測。如餐飲銷售預(yù)測可以看做是基于時間序列的短期數(shù)據(jù)預(yù)測， 預(yù)測的對象時具體菜品的銷售量。
1.時間序列算法：
常見的時間序列模型;
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2.時序模型的預(yù)處理
1. 對于純隨機序列，也稱為白噪聲序列，序列的各項之間沒有任何的關(guān)系， 序列在進行完全無序的隨機波動， 可以終止對該序列的分析。
2. 對于平穩(wěn)非白噪聲序列， 它的均值和方差是常數(shù)。ARMA 模型是最常用的平穩(wěn)序列擬合模型。
3. 對于非平穩(wěn)序列， 由于它的方差和均值不穩(wěn)定， 處理方法一般是將其轉(zhuǎn)化成平穩(wěn)序列。 可以使用ARIMA 模型進行分析。
對平穩(wěn)性的檢驗：
1.時序圖檢驗：根據(jù)平穩(wěn)時間序列的均值和方差都是常數(shù)的特性，平穩(wěn)序列的時序圖顯示該序列值時鐘在一個參數(shù)附近隨機波動，而且波動的范圍是有界的。如果有明顯的趨勢或者周期性， 那它通常不是平穩(wěn)序列。
2.自相關(guān)圖檢驗：平穩(wěn)序列具有短期相關(guān)性， 這個性質(zhì)表明對平穩(wěn)序列而言， 通常 只有近期的序列值得影響比較明顯， 間隔越遠的過去值對現(xiàn)在的值得影響越小。 而非平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)衰減的速度比較慢。
3.單位根檢驗：單位根檢驗是指檢驗序列中是否存在單位根， 如果存在單位根， 那就是非平穩(wěn)時間序列。 目前最常用的方法就是單位根檢驗。
原假設(shè)是 非平穩(wěn)序列過程， 備擇假設(shè)是 平穩(wěn)序列， 趨勢平穩(wěn)過程
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上述參考：百度文庫
3.時間序列分析：
·平穩(wěn)性：
·平穩(wěn)性要求經(jīng)由樣本時間序列所得到的擬合曲線，在未來一段時間內(nèi)仍然沿著現(xiàn)有的形態(tài)‘慣性’地延續(xù)下去。
·平穩(wěn)性要求序列的均值和方差不發(fā)生明顯的變化。
·弱平穩(wěn)：期望和相關(guān)系數(shù)（依賴性）不變，未來某個時刻t 的值，Xt 要依賴于它過去的信息。
·差分法：時間序列在 T 與 T-1 時刻的差值（使用差分使其滿足平穩(wěn)性），一般差分1,2 階就可以了。
·AR（自回歸模型）：
·描述當前值與歷史值之間的關(guān)系， 用變量自身的歷史時間數(shù)據(jù)對自身進行預(yù)測。自回歸模型必須滿足平穩(wěn)性的要求。
公式定義：?
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自回歸模型的限制：
1.自回歸模型是使用自身的數(shù)據(jù)進行預(yù)測的
2.必須具有平穩(wěn)性
3.必須具有相關(guān)性，如果相關(guān)性小于 0.5 ， 則不宜使用
4.自回歸模型只適用于預(yù)測與自身前期相關(guān)的預(yù)測。
·MA（移動平均模型）：
·移動平均模型關(guān)注的是自回歸模型中的誤差項的累加
·移動平均法能有效地消除預(yù)測中的隨機波動。
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·ARMA（自回歸平均模型）：
·自回歸和移動平均的結(jié)合。
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·ARIMA（p,d,q）差分自回歸移動平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model ,簡稱ARIMA）
·AR 是自回歸， p 是自回歸項， MA 是移動平均， q 為移動平均項， d 為時間序列稱為平穩(wěn)時 所做的差分次數(shù)。
·原理： 將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)時間序列， 然后將因變量僅對它的滯后值（p階）以及隨機誤差項的現(xiàn)值和滯后值進行回顧所建立的模型。
·ARIMA 建模流程：
·1.將序列平穩(wěn)化（差分法確定 d）
·2.p 和 q 階數(shù)的確定（ACF 和 PACF 確定）
·3.建立模型 ARIMA (p , d , q )
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使用ARIMA 模型對某餐廳的銷售數(shù)據(jù)進行預(yù)測
#使用ARIMA 模型對非平穩(wěn)時間序列進行建模操作
#差分運算具有強大的確定性的信息提取能力， 許多非平穩(wěn)的序列差分后顯示出平穩(wěn)序列的性質(zhì)， 這是稱這個非平穩(wěn)序列為差分平穩(wěn)序列。
#對差分平穩(wěn)序列可以還是要ARMA 模型進行擬合， ARIMA 模型的實質(zhì)就是差分預(yù)算與 ARMA 模型的結(jié)合。
#coding=gbk
#使用ARIMA 模型對非平穩(wěn)時間序列記性建模操作
#差分運算具有強大的確定性的信息提取能力， 許多非平穩(wěn)的序列差分后顯示出平穩(wěn)序列的性質(zhì)， 這是稱這個非平穩(wěn)序列為差分平穩(wěn)序列。
#對差分平穩(wěn)序列可以還是要ARMA 模型進行擬合， ARIMA 模型的實質(zhì)就是差分預(yù)算與 ARMA 模型的結(jié)合。
#導(dǎo)入數(shù)據(jù)
import pandas as pd
filename = r'D:\datasets\arima_data.xls'
data = pd.read_excel(filename, index_col = u'日期')
#畫出時序圖
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] #定義使其正常顯示中文字體黑體
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False #用來正常顯示表示負號
# data.plot()
# plt.show()
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#畫出自相關(guān)性圖
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
# plot_acf(data)
# plt.show()
#平穩(wěn)性檢測
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
print('原始序列的檢驗結(jié)果為：',adfuller(data[u'銷量']))
#原始序列的檢驗結(jié)果為： (1.8137710150945268, 0.9983759421514264, 10, 26, {'1%': -3.7112123008648155,
# '10%': -2.6300945562130176, '5%': -2.981246804733728}, 299.46989866024177)
#返回值依次為：adf, pvalue p值， usedlag, nobs, critical values臨界值 , icbest, regresults, resstore
#adf 分別大于3中不同檢驗水平的3個臨界值，單位檢測統(tǒng)計量對應(yīng)的p 值顯著大于 0.05 ， 說明序列可以判定為 非平穩(wěn)序列
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#對數(shù)據(jù)進行差分后得到 自相關(guān)圖和 偏相關(guān)圖
D_data = data.diff().dropna()
D_data.columns = [u'銷量差分']
D_data.plot() #畫出差分后的時序圖
# plt.show()
plot_acf(D_data) #畫出自相關(guān)圖
# plt.show()
plot_pacf(D_data) #畫出偏相關(guān)圖
# plt.show()
print(u'差分序列的ADF 檢驗結(jié)果為： ', adfuller(D_data[u'銷量差分'])) #平穩(wěn)性檢驗
#差分序列的ADF 檢驗結(jié)果為： (-3.1560562366723537, 0.022673435440048798, 0, 35, {'1%': -3.6327426647230316,
# '10%': -2.6130173469387756, '5%': -2.9485102040816327}, 287.5909090780334)
#一階差分后的序列的時序圖在均值附近比較平穩(wěn)的波動， 自相關(guān)性有很強的短期相關(guān)性， 單位根檢驗 p值小于 0.05 ，所以說一階差分后的序列是平穩(wěn)序列
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#對一階差分后的序列做白噪聲檢驗
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
print(u'差分序列的白噪聲檢驗結(jié)果：',acorr_ljungbox(D_data, lags= 1)) #返回統(tǒng)計量和 p 值
# 差分序列的白噪聲檢驗結(jié)果： (array([11.30402222]), array([0.00077339])) p值為第二項， 遠小于 0.05
#對模型進行定階
from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
pmax = int(len(D_data) / 10) #一般階數(shù)不超過 length /10
qmax = int(len(D_data) / 10)
bic_matrix = []
for p in range(pmax +1):
temp= []
for q in range(qmax+1):
try:
temp.append(ARIMA(data, (p, 1, q)).fit().bic)
except:
temp.append(None)
bic_matrix.append(temp)
bic_matrix = pd.DataFrame(bic_matrix) #將其轉(zhuǎn)換成Dataframe 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
p,q = bic_matrix.stack().idxmin() #先使用stack 展平， 然后使用 idxmin 找出最小值的位置
print(u'BIC 最小的p值 和 q 值：%s,%s' %(p,q)) # BIC 最小的p值 和 q 值：0,1
#所以可以建立ARIMA 模型，ARIMA(0,1,1)
model = ARIMA(data, (p,1,q)).fit()
model.summary2() #生成一份模型報告
model.forecast(5) #為未來5天進行預(yù)測， 返回預(yù)測結(jié)果， 標準誤差， 和置信區(qū)間
利用模型向前預(yù)測的時期越長， 預(yù)測的誤差就會越大，這是時間預(yù)測的典型特點。
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