顧名思義，時間序列是時間間隔不變的情況下收集的時間點集合。這些集合被分析用來了解長期發(fā)展趨勢，為了預(yù)測未來或者表現(xiàn)分析的其他形式。但是是什么令時間序列與常見的回歸問題的不同？

有兩個原因：

1、時間序列是跟時間有關(guān)的。所以基于線性回歸模型的假設(shè)：觀察結(jié)果是獨立的在這種情況下是不成立的。

2、隨著上升或者下降的趨勢，更多的時間序列出現(xiàn)季節(jié)性趨勢的形式，如：特定時間框架的具體變化。即：如果你看到羊毛夾克的銷售上升，你就一定會在冬季做更多銷售。

常用的時間序列模型有AR模型、MA模型、ARMA模型和ARIMA模型等。

一、時間序列的預(yù)處理

拿到一個觀察值序列之后，首先要對它的平穩(wěn)性和純隨機性進行檢驗，這兩個重要的檢驗稱為序列的預(yù)處理。根據(jù)檢驗的結(jié)果可以將序列分為不同的類型，對不同類型的序列我們會采用不同的分析方法。

先說下什么是平穩(wěn)，平穩(wěn)就是圍繞著一個常數(shù)上下波動且波動范圍有限，即有常數(shù)均值和常數(shù)方差。如果有明顯的趨勢或周期性，那它通常不是平穩(wěn)序列。序列平穩(wěn)不平穩(wěn)，一般采用三種方法檢驗：

（1）時序圖檢驗

看看上面這個圖，很明顯的增長趨勢，不平穩(wěn)。

（2）自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)

還以上面的序列為例：用SPSS得到自相關(guān)和偏相關(guān)圖。

分析：左邊第一個為自相關(guān)圖（Autocorrelation），第二個偏相關(guān)圖(Partial Correlation)。

平穩(wěn)的序列的自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖要么拖尾，要么是截尾。截尾就是在某階之后，系數(shù)都為 0 ，怎么理解呢，看上面偏相關(guān)的圖，當(dāng)階數(shù)為 1 的時候，系數(shù)值還是很大， 0.914. 二階長的時候突然就變成了 0.050. 后面的值都很小，認為是趨于 0 ，這種狀況就是截尾。什么是拖尾，拖尾就是有一個緩慢衰減的趨勢，但是不都為 0 。

自相關(guān)圖既不是拖尾也不是截尾。以上的圖的自相關(guān)是一個三角對稱的形式，這種趨勢是單調(diào)趨勢的典型圖形，說明這個序列不是平穩(wěn)序列。

（3）單位根檢驗

單位根檢驗是指檢驗序列中是否存在單位根，如果存在單位根就是非平穩(wěn)時間序列。

不平穩(wěn)，怎么辦？

答案是差分，轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列。什么是差分？一階差分指原序列值相距一期的兩個序列值之間的減法運算；k階差分就是相距k期的兩個序列值之間相減。如果一個時間序列經(jīng)過差分運算后具有平穩(wěn)性，則該序列為差分平穩(wěn)序列，可以使用ARIMA模型進行分析。

還是上面那個序列，兩種方法都證明他是不靠譜的，不平穩(wěn)的。確定不平穩(wěn)后，依次進行1階、2階、3階...差分，直到平穩(wěn)為止。先來個一階差分，上圖:

 從圖上看，一階差分的效果不錯，看著是平穩(wěn)的。

平穩(wěn)性檢驗過后，下一步是純隨機性檢驗。

對于純隨機序列，又稱白噪聲序列，序列的各項數(shù)值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，序列在進行完全無序的隨機波動，可以終止對該序列的分析。白噪聲序列是沒有信息可提取的平穩(wěn)序列。

對于平穩(wěn)非白噪聲序列，它的均值和方差是常數(shù)。通常是建立一個線性模型來擬合該序列的發(fā)展，借此提取該序列的有用信息。ARMA模型是最常用的平穩(wěn)序列擬合模型。

二、平穩(wěn)時間序列建模

某個時間序列經(jīng)過預(yù)處理，被判定為平穩(wěn)非白噪聲序列，就可以進行時間序列建模。

建模步驟：

（1）計算出該序列的自相關(guān)系數(shù)（ACF）和偏相關(guān)系數(shù)（PACF）；

（2）模型識別，也稱模型定階。根據(jù)系數(shù)情況從AR(p)模型、MA(q)模型、ARMA(p，q)模型、ARIMA（p，d，q）模型中選擇合適模型，其中p為自回歸項，d為差分階數(shù)，q為移動平均項數(shù)。

下面是平穩(wěn)序列的模型選擇：

 ARIMA 是 ARMA 算法的擴展版，用法類似 。

（3）估計模型中的未知參數(shù)的值并對參數(shù)進行檢驗；

（4）模型檢驗；

（5）模型優(yōu)化；

（6）模型應(yīng)用：進行短期預(yù)測。

三、python實例操作

以下為某店鋪2015/1/1~2015/2/6的銷售數(shù)據(jù),以此建模預(yù)測2015/2/7~2015/2/11的銷售數(shù)據(jù)。

#-*- coding: utf-8 -*-
#arima時序模型

import pandas as pd

#參數(shù)初始化
discfile = 'E:/destop/text/arima_data.xls'
forecastnum = 5

#讀取數(shù)據(jù)，指定日期列為指標(biāo)，Pandas自動將“日期”列識別為Datetime格式
data = pd.read_excel(discfile, index_col = u'日期')

#時序圖
import matplotlib.pyplot as plt

#用來正常顯示中文標(biāo)簽

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] 

#用來正常顯示負號

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
data.plot()
plt.show()

#自相關(guān)圖
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
plot_acf(data).show()

#平穩(wěn)性檢測
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller as ADF
print(u'原始序列的ADF檢驗結(jié)果為：', ADF(data[u'銷量']))

#返回值依次為adf、pvalue、usedlag、nobs、critical values、icbest、regresults、resstore

Pdf值大于三個水平值，p值顯著大于0.05，該序列為非平穩(wěn)序列。

#差分后的結(jié)果
D_data = data.diff().dropna()
D_data.columns = [u'銷量差分']

#時序圖

D_data.plot()
plt.show()

#自相關(guān)圖

plot_acf(D_data).show()

plt.show()

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf

#偏自相關(guān)圖

plot_pacf(D_data).show()

#平穩(wěn)性檢測

print(u'差分序列的ADF檢驗結(jié)果為：', ADF(D_data[u'銷量差分']))

Pdf值小于兩個水平值，p值顯著小于0.05，一階差分后序列為平穩(wěn)序列。

#白噪聲檢驗
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

#返回統(tǒng)計量和p值

print(u'差分序列的白噪聲檢驗結(jié)果為：', acorr_ljungbox(D_data, lags=1))

P值小于0.05，所以一階差分后的序列為平穩(wěn)非白噪聲序列。

from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
#定階

#一般階數(shù)不超過length/10

pmax = int(len(D_data)/10) 

#一般階數(shù)不超過length/10

qmax = int(len(D_data)/10) 

#bic矩陣

bic_matrix = []
for p in range(pmax+1):
  tmp = []
  for q in range(qmax+1):

#存在部分報錯，所以用try來跳過報錯。

    try:
      tmp.append(ARIMA(data, (p,1,q)).fit().bic)
    except:
      tmp.append(None)
  bic_matrix.append(tmp)

#從中可以找出最小值

bic_matrix = pd.DataFrame(bic_matrix)

#先用stack展平，然后用idxmin找出最小值位置。

p,q = bic_matrix.stack().idxmin() 

print(u'BIC最小的p值和q值為：%s、%s' %(p,q))

取BIC信息量達到最小的模型階數(shù)，結(jié)果p為0，q為1，定階完成。

 #建立ARIMA(0, 1, 1)模型

model = ARIMA(data, (p,1,q)).fit() 

#給出一份模型報告

model.summary2() 

#作為期5天的預(yù)測，返回預(yù)測結(jié)果、標(biāo)準(zhǔn)誤差、置信區(qū)間。

model.forecast(5)

最終模型預(yù)測值如下:

利用模型向前預(yù)測的時間越長，預(yù)測的誤差將會越大，這是時間預(yù)測的典型特點。

參數(shù)檢驗如下：

從檢驗結(jié)果p值來看，建立的模型效果良好。