“圓”是初中數(shù)學(xué)最重要的知識(shí)點(diǎn)之一，縱觀近幾年中考數(shù)學(xué)，除了填空選擇關(guān)于圓的計(jì)算以及解答題關(guān)于圓的證明以外，常常會(huì)以壓軸題的形式考察圓的重要性質(zhì)，往往這類題目中明明圖形中沒有出現(xiàn)“圓”，但是解題中必須用到“圓”的知識(shí)點(diǎn)，像這樣的題我們稱之為“隱形圓模型”，這一模型各省幾乎每年中考都會(huì)出現(xiàn)。

類型一 四點(diǎn)共圓

常用：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

同弦所對(duì)的圓周角相等

例1：如圖 1，等邊△ABC中，AB=6，P為 AB上一動(dòng)點(diǎn)，PD⊥BC，PE⊥AC，則 DE的最小值為？

簡(jiǎn)答：因?yàn)椤?strong>PEC=∠PDC=90°，故四邊形 PDCE對(duì)角互補(bǔ)，故 PDCE四點(diǎn)共圓，如圖 2?！?strong>EOD=2∠ECD=120°，要使得 DE最小，則要使圓的半徑 最小，故直徑 PC最小，當(dāng) CP⊥AB時(shí)，PC最短為3√3，則可求出DE=9/2。

例2：如圖，正方形 ABCD 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到正方形 APQR，連接 CQ，延長 BP 交于 CQ 于點(diǎn) E，求證：E 是線段 CQ 的中點(diǎn)

簡(jiǎn)答：因?yàn)?AC=AQ，AB=AP 且∠BAP=∠CAQ（旋轉(zhuǎn)角相等）故△APB∽△AQC，故∠ABP=∠ACQ ，又因?yàn)椤?=∠2，故 A、B、C、E 四點(diǎn)共圓（如圖 2），因?yàn)椤螦BC=90°，故 AC 是直徑，故∠AEC=90°，又因?yàn)?AQ=AC，所以 AE 垂直且平分 QC（三線合一）

類型二 定義—?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)等于定長

同一個(gè)端點(diǎn)處有多條相等線段時(shí)，要想到構(gòu)造圓。

例:1：如圖 1，四邊形 ABCD 中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，則∠CBD= 度。

簡(jiǎn)答：如圖 2，因?yàn)?AB=AC=AD，故 B、C、D 三點(diǎn)在以 A 為圓心的圓上，故∠CBD= 1/2∠CAD=38°

例2：如圖 1，長 2 米的梯子 AB 豎直放在墻角，在沿著墻角緩慢下滑直至水平地面過程中，梯子 AB 的中點(diǎn) P 的移動(dòng)軌跡長度為？

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簡(jiǎn)答：由斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半可知，OP=1，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O的距離始終等于1， 滿足圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓），故P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，圓心角為 90°，軌跡長度為四分之一圓的長度。

例3：如圖 ，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別為 AD、DC 邊上的點(diǎn)，且 EF=2，G 為 EF 的中點(diǎn)，P 為 BC 邊上一動(dòng)點(diǎn)，則 PA+PG 的最小值為？

簡(jiǎn)答：G 的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，求 AP+PG 典型的“將軍飲馬”問題，故做 A 關(guān)于 BC 的對(duì)稱點(diǎn)A＇，則 AP+PG=A＇P+PG，當(dāng) A＇、P、G 三點(diǎn)共線時(shí)，最短，又因?yàn)?A＇為固定點(diǎn)，G 在圓上運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng) A＇、G、D 三點(diǎn)共線時(shí)， A＇G 最短，為 4

例4：如圖 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=7，BC=8，點(diǎn) F 在邊 AC 上，并且 CF=2，點(diǎn) E為邊 BC 上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF 沿直線 EF 翻折，點(diǎn) C 落在點(diǎn) P 處，則點(diǎn) P 到邊 AB 距離的最小值是？

簡(jiǎn)答：E 是動(dòng)點(diǎn)，導(dǎo)致 EF、EC、EP 都在變化，但是 FP=FC=2 不變，故 P 點(diǎn)到 F 點(diǎn)的距離永遠(yuǎn)等于 2，故 P 在⊙F 上運(yùn)動(dòng)，如圖 2。由垂線段最短可知，F(xiàn)H⊥AB 時(shí)，F(xiàn)H 最短， 當(dāng) F、P、H 三點(diǎn)共線時(shí)，PH 最短，又因?yàn)椤鰽FH∽△ABC，所以 AF:FH:AH=5:4:3，又因?yàn)?AF=5，故 FH=4，又因?yàn)?FP=2，故 PH 最短為 2

類型三 直角所對(duì)的是直徑

例1：如圖 1，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P 是△ABC 內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終有AP⊥BP，則線段 CP 長的最小值為？

簡(jiǎn)答：如圖 2，因?yàn)?AP⊥BP，∠P=90°（定角），AB=6（定弦），故 P 在以 AB 為直徑的⊙H 上 ， 當(dāng) H 、 P 、 C 三 點(diǎn) 共 線 時(shí) CP 最 短 ，HB=3，BC=4 則 HC=5， 故 CP=5-3=2 。

例2：在△ABC 中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O 為 AC 的中點(diǎn),過 O 作 OE⊥OF,OE、OF 分別交射線 AB,BC 于 E、F，則 EF 的最小值為？

簡(jiǎn)答：因?yàn)椤螮OF=90°，∠C=90°，故 C、O 均在以 EF 為直徑的圓上（也稱四點(diǎn)共圓），因?yàn)?EF 是圓的直徑，O、C 均在圓上，且 OC 長度固定，要使得 EF 最短，則圓最小，要使圓最小，由于OC 為固定長度，則 OC 為直徑時(shí)，圓最小，此時(shí) CO=EF=OA=OB=5（斜邊上中線等于斜邊一半）

類型四 定弦對(duì)定角

同弦所對(duì)的圓周角相等

同弦所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半

例1：如圖 1，△ABC為等邊三角形，AB=2，若 P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APC=150°，則線段 PB長度的最小值為 。

簡(jiǎn)答：因?yàn)?AC定長、∠APC=150°定角，故滿足“定弦定角模型”，P在圓上，圓周角∠APC=150°，通過簡(jiǎn)單推導(dǎo)可知圓心角∠AOC=60°，故以 AC為邊向下作等邊△AOC，以 O為圓心，OA為半徑作⊙O，P在⊙O上。當(dāng) B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)，BP最短.

例2：如圖 1 所示，邊長為 2 的等邊△ABC的頂點(diǎn)B 在 x軸的正半軸上移動(dòng)，∠BOD=30°，頂點(diǎn) A在射線 OD上移動(dòng)，則頂點(diǎn) C到原點(diǎn) O的最大距離為 。

簡(jiǎn)答：因?yàn)椤?strong>AOB=30°（定角），AB=2（定弦），故 A、B、O三點(diǎn)共圓，圓心角為 60°，故以 AB為邊向 O方向作等邊△ABQ，∠AQB=60°為圓心角，Q為圓心，以 QA為半徑作⊙ Q（ 如 圖 2 ）， 可 知 當(dāng) OC⊥ AB時(shí) ， OC距 離 最 大 。

“隱圓”破解策略

牢記口訣：定點(diǎn)定長走圓周，定線定角跑雙弧。直角必有外接圓，對(duì)角互補(bǔ)也共圓。