經(jīng)典幾何模型之隱圓''圓來如此簡單'

一.名稱由來

在中考數(shù)學(xué)中，有一類高頻率考題，幾乎每年各地都會出現(xiàn)，明明圖形中沒有出現(xiàn)'圓'，

但是解題中必須用到'圓'的知識點(diǎn)，像這樣的題我們稱之為'隱圓模型'。

正所謂：有'圓'千里來相會，無'圓'對面不相逢。'隱圓模型'的題的關(guān)鍵突破口

就在于能否看出這個'隱藏的圓'。一旦'圓'形畢露，則答案手到擒來！

二.模型建立

【模型一：定弦定角】

【模型二：動點(diǎn)到定點(diǎn)定長（通俗講究是一個動的點(diǎn)到一個固定的點(diǎn)的距離不變）】

【模型三：直角所對的是直徑】

【模型四：四點(diǎn)共圓】

三．模型基本類型圖形解讀

【模型一：定弦定角的'前世今生'】

【模型二：動點(diǎn)到定點(diǎn)定長】

【模型三：直角所對的是直徑】

【模型四：四點(diǎn)共圓】

四．'隱圓'破解策略

牢記口訣：定點(diǎn)定長走圓周，定線定角跑雙弧。

直角必有外接圓，對角互補(bǔ)也共圓。

五．'隱圓'題型知識儲備

六．'隱圓'典型例題

【模型一：定弦定角】

1.（2017 威海）如圖 1，△ABC為等邊三角形，AB=2，若 P為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段 PB長度的最小值為__________。

簡答：因為∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因為 AC定長、∠APC=120°定角，故滿足'定弦定角模型'，P在圓上，圓周角∠APC=120°，通過簡單推導(dǎo)可知圓心角∠AOC=60°，故以 AC為邊向下作等邊△AOC，以 O為圓心，OA為半徑作⊙O，P在⊙O上。當(dāng) B、P、O三點(diǎn)共線時，BP最短（知識儲備一：點(diǎn)圓距離），

此時 BP=2 3 -2

2.如圖 1 所示，邊長為 2 的等邊△ABC 的原點(diǎn) A 在 x 軸的正半軸上移動，∠BOD=30°，頂點(diǎn) A在射線 OD上移動，則頂點(diǎn) C到原點(diǎn) O的最大距離為__________。

簡答：因為∠AOB=30°（定角），AB=2（定弦），故 A、B、O三點(diǎn)共圓，圓心角為 60°，故以 AB為邊向 O方向作等邊△ABQ，∠AQB=60°為圓心角，Q為圓心，以 QA為半徑作⊙ Q （ 如 圖 2 ）， 由 知 識 儲 備 二 可 知 當(dāng) OC ⊥ AB 時 ， OC 距 離 最 大 ，

OC=OQ+QH+HC=2+ 3 + 3 =2+2 3 【思考：若∠BOD=45°呢？（提示：需要構(gòu)造倍角

模型）】

3.如圖 1，點(diǎn) A是直線 y=-x上的一個動點(diǎn)，點(diǎn) B是 x軸上的動點(diǎn)，若 AB=2，則△AOB面積最大值為（ ）

A. 2 B. 12 ? C. 12 ? D. 22

簡答：因為 AB=2（定弦），∠AOB=135°（定角），因為∠AOB 是圓周角，故圓心角為 90°，以 AB為斜邊向上方作等腰直角△QAB，則 Q為圓心（如圖 2），由'知識儲備二'可知，當(dāng) OQ ⊥ AB 時 ， 此 時 △ OAB 的 高 OH 最 大 ， 面 積 最 大 。 面 積 為1 1 2 ( 2 1) 2 12 2AB OH? ? ? ? ? ? ? ，所以此題選擇 B。

同學(xué)：老師，你說錯答案了，選 C。 小段老師：沒錯啊，就選 B啊。同學(xué)：你是老師，你說了算，你開心就好...

小段老師：題目有告訴你們 A、B在哪里嗎，為什么想當(dāng)然覺得∠AOB=135°呢，難道不可能等于 45°嗎？如圖 3，構(gòu)建⊙Q，由'知識儲備二'可知當(dāng) OQ⊥AB 時，此時△OAB的

面積最大為1 1 2 ( 2+1) 2+12 2AB OH? ? ? ? ? ，故答案選 B

4.如圖 1，AC為邊長為 32 的菱形 ABCD的對角線，∠ABC=60°，點(diǎn) M、N分別從點(diǎn) B、

C同時出發(fā)，以相同速度沿 BC、CA向終點(diǎn) C和 A運(yùn)動，連接 AM 和 BN，求△APB周長的最大值

簡答：如圖 2，由M、N點(diǎn)速度相同可知 BM=CN，易證△ABM≌△BCN，故∠NBC=∠BAM（如圖 2），又因為∠NBC+∠ABN=60°，所以∠BAM+∠ABN=∠APN=60°（外角性質(zhì)），所以∠APB=120°（定角），又因為 AB長度固定（定弦），故以 AB為底向左側(cè)構(gòu)建等腰△QAB，∠AQB=120°，則 P在⊙Q上，由'知識儲備三'可知，當(dāng)△ABP是等腰三角形時，

△ABP 周長最短。又由△APB 是定角為 120°的等腰三角形，故 AP:BP:AB=1:1: 3，

AB=AC=2 3，故 PB=PA=2，故△ABP的周長最大值為 4+2 3

【模型二：動點(diǎn)到定點(diǎn)定長】

1.如圖 1，四邊形 ABCD中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，則∠CBD=_______度。

簡答：如圖 2，因為 AB=AC=AD，故 B、C、D三點(diǎn)在以 A為圓心的圓上，故∠CBD= 12∠

CAD=38°2.如圖，在△ABC內(nèi)有一點(diǎn) D，使得 DA=DB=DC，若∠DAB=20°，則∠ACB=__________。

簡答：如圖 2，因為 DA=DB=DC，故 A、B、C三點(diǎn)在⊙D上，∠DAB=∠DBA=20°，故∠

ADB=140°，故∠ACB= 12∠ADB=70°

3.如圖 1，已知四邊形 ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求 BD

簡答：因為∠1=∠2，AD∥BC，故∠3=∠1，∠4=∠2，故易證△AEB≌△ACD，故 EB=CD=6，ED=2AD=10，故 BD=84.如圖 1，長 2 米的梯子 AB豎直放在墻角，在沿著墻角緩慢下滑直至水平地面過程中，梯子 AB的中點(diǎn) P的移動軌跡長度為？

.

簡答：由斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半可知，OP=1，動點(diǎn) P到定點(diǎn) O的距離始終等于 1，滿足圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓），故 P的運(yùn)動軌跡是圓弧，圓心角為 90°，軌跡長度為四分之一圓的長度，省略。

5.在矩形 ABCD 中，已知 AB=2，BC=3，現(xiàn)有一根長為 2 的木棒 EF 緊貼著矩形的邊（即

兩個端點(diǎn)始終落在矩形的邊上），接逆時針方向滑動一周，則木棒 EF的中點(diǎn) P在運(yùn)動過程中所圍成的圍形的面積為？

如圖 1 如圖 2

簡答：由上一題可知，P的運(yùn)動軌跡是圓弧，因為滑動一周，故有四個圓弧，則點(diǎn) P 所圍成的圖形為中間的圖形，用矩形的面積減去四個四分之一圓的面積即可，答案： 6 ??6.如圖 1，在矩形 ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn) E，F(xiàn)分別為 AD、DC邊上的點(diǎn)，且 EF=2，G為 EF的中點(diǎn)，P為 BC邊上一動點(diǎn)，則 PA+PG的最小值為？

如圖 1 如圖 2

簡單：G的運(yùn)動軌跡為圓，求 AP+PG典型的'將軍飲馬'問題，故做 A關(guān)于 BC的對稱點(diǎn)A＇，則 AP+PG=A＇P+PG，當(dāng) A＇、P、G 三點(diǎn)共線時，最短，又因為 A＇為固定點(diǎn)，G 在圓上運(yùn)動，由'知識儲備一'可知當(dāng) A＇、G、D三點(diǎn)共線時，此時 A＇G最短，為 47.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（3，0），B為 y軸正半軸上的點(diǎn)，C為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且 AC=2.設(shè) tAN∠BOC=M，則M的取值范圍為？

簡答：因為 AC=2，A是定點(diǎn)，通過圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓）可知，C在⊙A上運(yùn)動，當(dāng) OC 與⊙A相切時，此時∠BOC 最小，tAN∠BOC 也最小，此

時∠BOC+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°，故∠BOC=∠CAO，此時 tAN∠CAO= 52

OCAC

? ，

又因為角度越大，正切值越大，故 tAN∠BOC=M≥ 52

8.如圖 1，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=8，點(diǎn) F在邊 AC上，并且 CF=2，點(diǎn) E

為邊 BC上的動點(diǎn)，將△CEF 沿直線 EF 翻折，點(diǎn) C 落在點(diǎn) P 處，則點(diǎn) P到邊 AB 距離的

最小值是？

簡答：E是動點(diǎn)，導(dǎo)致 EF、EC、EP都在變化，但是 FP=FC=2 不變，故 P點(diǎn)到 F點(diǎn)的距離永遠(yuǎn)等于 2，故 P 在⊙F上運(yùn)動，如圖 2。由垂線段最短可知，F(xiàn)H⊥AB 時，F(xiàn)H最短，當(dāng) F、P、H三點(diǎn)共線時，PH 最短，又因為△AFH∽△ABC，所以 AF:FH:AH=5:4:3，又因為 AF=5，故 FH=4，又因為 FP=2，故 PH 最短為 29.如圖，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝ 3 3 ，M 是 AD 邊的中點(diǎn)，N 是AB邊上一動點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△PMN，連接 PC，則 PC長度的最小值是？

簡答：翻折過程中，MP=MA=2，故 P在⊙M上運(yùn)動，當(dāng)M、P、C三點(diǎn)共線時，PC最短。

PC=MC-MP，要求MP 需要過M作MH⊥CD于 H，∠HDM=30°，故 HM=1，HD= 3，

故 HC=4 3，故易求MC=7，則 PC=7-2=5

【模型三：直角所對的是直徑】

1.如圖 1，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且始終有AP⊥BP，則線段 CP長的最小值為？

簡答：如圖 2，因為 AP⊥BP，∠P=90°（定角），AB=6（定弦），故 P 在以 AB 為直徑的⊙H上，當(dāng) H、P、C三點(diǎn)共線時 CP最短，HB=3，BC=4 則 HC=5，故 CP=5-3=22.如圖 1，A（1,0）、B（3,0），以 AB 為直徑作圓 M，射線 OF 交圓 M 于 E、F 兩點(diǎn)，C為弧 AB的中點(diǎn)，D為弦 EF的中點(diǎn)，當(dāng)射線繞 O旋轉(zhuǎn)時，CD的最小值為？

簡答：因為 D是 EF中點(diǎn)，故MD⊥EF，故∠ODM 始終等于 90°，故 D在以 OM 為直徑的圓上，如圖 2。易知 A為圓心，當(dāng) A、D、C三點(diǎn)共線時，CD 最短，CD=AC-AD，又易

知 C（2,1），故 AC= 2 ，故 CD= 2 -1

3.在△ABC中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O為 AC的中點(diǎn),過 O作 OE⊥OF,OE、OF分別交射線 AB,BC于 E、F，則 EF的最小值為？

簡答：因為∠EOF=90°，∠C=90°，故 C、O均在以 EF為直徑的圓上（也稱四點(diǎn)共圓），因為 EF 是圓的直徑，O、C均在圓上，且 OC 長度固定，要使得 EF 最短，則圓最小，要使圓最小，OC為固定長度，則 OC為直徑時，圓最?。ù颂幈容^難，思維量比較大，大家慢慢琢磨），此時 CO=EF=OA=OB=5（斜邊上中線等于斜邊一半）4.如圖 1，已知 Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是邊 AB上的動點(diǎn)，Q是邊 BC上的動點(diǎn)，且∠CPQ＝90°，求線段 CQ的取值范圍．

簡答：以 CQ為直徑作⊙O，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，若 AB邊上的動點(diǎn) P在圓上，∠CPQ就為直角．當(dāng)⊙O與 AB相切時（如圖 2），直徑 CQ最?。汕芯€長定理，得 AP＝

AC＝5，所以 BP＝13―5＝8．再根據(jù)△BPO∽△BCA，所以 OP＝ 103，CQ＝ 20

3．當(dāng)點(diǎn) Q

與點(diǎn) B重合時（如圖 3），直徑 CQ最大，此時ＣＱ＝１２．綜上所述， 203

≤CQ≤12

5.如圖 1，半徑為 4 的⊙O中，CD為直徑，弦 AB⊥CD且過半徑 OD的中點(diǎn)，點(diǎn) E為⊙O上一動點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn) F．當(dāng)點(diǎn) E從點(diǎn) B出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn) D時，點(diǎn) F所經(jīng)過的路徑長為？

簡答：因為∠CFA=90°（定角），AC=4 3（定弦），故 F在以 AC 為直徑的⊙Q上，當(dāng) E

在 B處時，F(xiàn)在 G處，當(dāng) E在 D處時，F(xiàn)在 A處，故 F的運(yùn)動路徑為弧 AG的長度，易求

出∠ACD=30°，故∠AQG=60°，故弧 AG長度=60 2 32 2 3=360 3

? ?π

6.（2013 武漢）如圖 1，E，F(xiàn)是正方形 ABCD 的邊 AD 上兩個動點(diǎn)，滿足 AE=DF．連接CF 交 BD 于點(diǎn) G，連接 BE 交 AG 于點(diǎn) H．若正方形的邊長為 2，則線段 DH 長度的最小

值是？

簡答：易證△ABE≌△DCF，△DAG≌△DCG，故∠DAG=∠DCG=∠ABE，又因為∠ABE+∠AEB=90°，故∠EAH+∠AEH=90°，故∠AHB=90°，故 H在以 AB 為直徑的⊙O上，

當(dāng) O、H、D三點(diǎn)共線的時候 DH最小，DH=OD-OH= 5 -1

7.如圖 1，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，D 為線段 AC 上一動點(diǎn)，將△BDC沿著 BD翻折，點(diǎn) C的對應(yīng)點(diǎn)為 F，E為 AC的中點(diǎn)，在 D從 C到 A的運(yùn)動過程中，當(dāng) EF最短時，CD為？

簡答：在折疊過程中，BF 始終等于 BC，故 F 到 B 點(diǎn)的距離是定值，F(xiàn) 在⊙B 上，當(dāng) EF最短時，B、E、F三點(diǎn)共線（如圖 2），此時∠BFD=∠BCD=30°，∠FBD=∠CBD=15°（因為 BE=CE，故∠EBC=∠BCE=30°），故∠FDH=∠CDH=45°，∠FED=60°，故 FD⊥CE，

EF=BF-BE= 3 1? ， 又 因 為 DF=DC ， 在 Rt △ EDF 中1 3 12 2

ED EF ?? ? ， 故

CD=1-ED= 3 1 3 312 2? ?

? ?

8.（2017 宿遷）如圖，在矩形紙片 ABCD中，已知 AB=1，BC= 3，點(diǎn) E在邊 CD上移動，

連接 AE，將多邊形 ABCE沿直線 AE翻折，得到多邊形 AB′C′E，點(diǎn) B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) B′、C′．（1）當(dāng) B′C′恰好經(jīng)過點(diǎn) D時（如圖 1），求線段 CE的長；（2）若 B′C′分別交邊 AD，CD 于點(diǎn) F，G，且∠DAE=22.5°（如圖 2），求△DFG的面積；

（3）在點(diǎn) E從點(diǎn) C移動到點(diǎn) D的過程中，求點(diǎn) C′運(yùn)動的路徑長．

簡答：（1）'K字形'秒殺，過程略，答案： 6 2?

（2）由翻折全等可知∠B′AE=∠BAE=67.5°，又因為∠DAE=22.5°，故∠B′

AF=45°，故△AB′F、△DFE均為等腰直角三角形，后面略，答案： 5 62?

（3）折疊過程中始終有 AC＇=AC，故 C＇在以 A為圓心，AC 為半徑的圓上。根據(jù)點(diǎn) E在 C時，C＇在 C點(diǎn)，點(diǎn) E移動到 D時，C＇在如圖 3 位置，

易求 C′運(yùn)動的圓弧的圓心角為 60°，故 C′運(yùn)動的軌跡為 60 22 2=360 3

? ?π π

【模型四：四點(diǎn)共圓】

1.如圖 1，正方形 ABCD 中，∠EAF=45°，AF 與 BD 交于 N，AE 與 BD 交于 M，連接MF、NE，求證△ANE、△AMF是等腰直角三角形

簡答：因為∠1=∠2=45°，∠3=∠4，故 A、B、E、N四點(diǎn)共圓，因為∠ABE=90°，故 AE為直徑，故∠ANE=90°，故△ANE 是等腰直角三角形，同理可證△AMF是等腰直角三角形

（此題也是很經(jīng)典的'半角模型'問題之一）

2.如圖 1，等邊△ABC 中，AB=6，P為 AB 上一動點(diǎn)，PD⊥BC，PE⊥AC，則 DE的最小值為？

簡答：因為∠PEC=∠PDC=90°，故四邊形 PDCE 對角互補(bǔ)，故 PDCE 四點(diǎn)共圓，如圖 2。

∠EOD=2∠ECD=120°，故 ED= 3R，要使得 DE最小則要使圓的半徑 R最小，故直徑 PC

最小，當(dāng) CP⊥AB時，PC最短為3 3，故 R=3 32

，故 DE= 3 3 93 32 2

R ? ? ?

3.如圖，正方形 ABCD繞點(diǎn) A逆時針旋轉(zhuǎn)到正方形 APQR，連接 CQ，延長 BP交于 CQ于點(diǎn) E，求證：E是線段 CQ的中點(diǎn)

簡答：因為 AC=AQ，AB=AP且∠BAP=∠CAQ（旋轉(zhuǎn)角相等）故△APB∽△AQC，故∠ABP=∠ACQ又因為∠1=∠2，故 A、B、C、E四點(diǎn)共圓（如圖 2），因為∠ABC=90°，故 AC是直徑，故∠AEC=90°，又因為 AQ=AC，所以 AE垂直且平分 QC（三線合一）4.如圖 1，已知△ABC 是邊長為 4 的等邊三角形，取 AC的中點(diǎn) E，△ABC 繞 E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度得到△GMN，直線 BN、GC 相交于點(diǎn) H?！鱃MN 繞點(diǎn) E旋轉(zhuǎn)的過程中，線段 AH的最大值是？

簡答：因為 EB=EN（分別是△ABC、△GMN的高），EC=EG，且∠GEC=∠NEB（旋轉(zhuǎn)角相等），故△GEC∽△NEB，故∠GCE=∠EBH（前面相似主要目的是為了得到此處角相等，故不一定要說明相似，用內(nèi)角和說明角相等亦可），又因為∠GCE+∠ECH=180°，所以∠EBH+∠ECH=180°，故 E、B、H、C四點(diǎn)共圓，因為∠BEC=90°，所以 BC為直徑，圓

心 O是 BC中點(diǎn)，R=2，當(dāng) A、O、H三點(diǎn)共線時，AH長度最大，AH=AO+OH= 2 3 2?

思考題：如圖，點(diǎn) D為∠ABC 的一遍 BC 上一丁點(diǎn)，且 BD=5，線段 PQ在∠ABC 另一邊

AB上移動，且 PQ=2，若 siNB=35，則當(dāng)∠PDQ達(dá)到最大值時，PD的長為？

簡單：當(dāng) DH垂直平分 PQ時，∠PDQ最大，答案：PD= 10 （wHy？自行思考）