題1：（來源：高郵市贊化學(xué)校九年級(jí)數(shù)學(xué)自主練習(xí)，江都一模填空壓軸）

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)D是以點(diǎn)A為圓心，4為半徑的圓上一點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，則線段CM長度的最大值為______________.

下面給出三種解法：

解法一：如圖1-1所示，取AB的中點(diǎn)N，連接CN、MN及半徑AD；

這里中點(diǎn)N的構(gòu)造可以說“一舉三得”：

一是與題目已知的中點(diǎn)M構(gòu)成△ABD的中位線模型，從而得NM=1/2AD=2；

二是聯(lián)系已知的Rt△ABC，構(gòu)成基本圖形“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，從而得CN=1/2AB=5；

三是將目標(biāo)線段CM鎖定在△CMN中，當(dāng)然也有可能當(dāng)C、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，構(gòu)不成△CMN，這也正是CM取得最值的特殊位置；

由“三角形的三邊關(guān)系”知5-2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7，當(dāng)且僅當(dāng)C、M、N三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)，即CM的最大值為7，順帶求出CM的最小值為3；

最后給同學(xué)們一個(gè)建議，就是同學(xué)們要養(yǎng)成檢驗(yàn)或驗(yàn)證的好習(xí)慣，即驗(yàn)證上面求出的最大值及最小值能否取得，只需要畫出相應(yīng)地圖形即可，如圖1-2及圖1-3所示；

解題后反思：本題中AB中點(diǎn)N的選取與構(gòu)造讓人印象深刻，可以說真的是發(fā)人深??！題目中已經(jīng)有一個(gè)中點(diǎn)M，再取一個(gè)中點(diǎn)N構(gòu)造出“雙中點(diǎn)”中位線模型以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半，這些基本圖形都是處理中點(diǎn)問題常見的構(gòu)思，最后鎖定一個(gè)確定兩邊長的三角形（當(dāng)然這個(gè)三角形也可能不存在），利用三角形三邊關(guān)系得出目標(biāo)線段的取值范圍與最值，也是處理最值問題常見的手段！

解法二（來自班級(jí)張“大嘴”同學(xué)的巧思妙構(gòu)）：

如圖1-4所示，延長BC至點(diǎn)E，使CE=BC，即點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，又已知點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，連接DE后再次構(gòu)造出中位線模型，則目標(biāo)線段CM=1/2ED；

要求CM的最值，問題就轉(zhuǎn)化為了求ED的最值，很明顯點(diǎn)E是一定點(diǎn)，點(diǎn)D是定圓⊙A上一動(dòng)點(diǎn)D的最值問題，這是學(xué)生熟知的模型，連接直線EA與⊙A的兩個(gè)交點(diǎn)即對(duì)應(yīng)兩個(gè)最值，其中最大值為EA與半徑r之和，最小值為EA與半徑r之差；而很明顯EA=BA=10，因而ED的最大值為14，最小值為6,；從而所求CM的最大值為7，最小值為3； 

解題后反思：圖1-5是為了驗(yàn)證最值確實(shí)可以取到，這種解題后驗(yàn)證的好習(xí)慣，大家最好養(yǎng)成，它是一種好的解題品質(zhì)，形成了這種品質(zhì)，所謂初中階段“一做就錯(cuò)”的易錯(cuò)題都是浮云，很容易避免，而之所以反復(fù)做反復(fù)錯(cuò)的本質(zhì)原因，筆者認(rèn)為就是學(xué)生缺乏這種解題后驗(yàn)證的重要品質(zhì)！

另外，此法中通過倍長BC至點(diǎn)E的輔助線，將目標(biāo)線段的最值問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿巳耸熘狞c(diǎn)到圓的最值問題，讓人嘆為觀止！更神奇的是，這還是在筆者講完此題第一種解法后本班學(xué)生的奇思妙想！是啊，學(xué)生的創(chuàng)造力與學(xué)習(xí)力是驚人的，作為老師不能忽視學(xué)生的這種能力，有的時(shí)候放手讓學(xué)生去思考、去表達(dá)，真的可能會(huì)有意想不到之效額！

最后再借助圖形的常見變換（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)及位似等）看待題目中涉及的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合軌跡思想，利用“捆綁原理”（即“瓜豆（朋成）原理”，不妨稱之為“捆綁朋成”原理），介紹第三種解法，在筆者看來，這種解法更加普適，也更加自然，有能力接受的同學(xué)可認(rèn)真研究琢磨！

解法三（捆綁整體思想）：

第一步（分析題中從動(dòng)點(diǎn)M與主動(dòng)點(diǎn)D之間的變換關(guān)系）：用圖形的常見變換（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)及位似等）看待題目中涉及的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M與D的關(guān)系；

由題知點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，可以用“位似”的眼光看問題，即從動(dòng)點(diǎn)M可以看成是主動(dòng)點(diǎn)D以定點(diǎn)B為位似中心，位似比為1/2進(jìn)行縮?。ㄏ喈?dāng)于線段BD放縮成了線段BM）；

第二步（分析題中從動(dòng)點(diǎn)M的軌跡與主動(dòng)點(diǎn)D的軌跡之間的變換關(guān)系）：既然從動(dòng)點(diǎn)M可以看成是主動(dòng)點(diǎn)D以定點(diǎn)B為位似中心，位似比為1/2進(jìn)行縮小得來，很自然地就能想到所要尋找的從動(dòng)點(diǎn)M的軌跡可以看成是由主動(dòng)點(diǎn)D的軌跡圓⊙A以定點(diǎn)B為位似中心，位似比為1/2進(jìn)行縮小而來；

這里的想法在筆者看來是極其自然而容易被理解的，其實(shí)本質(zhì)就是“整體思想”，相當(dāng)于將主動(dòng)點(diǎn)D的軌跡圓看作一個(gè)整體，這個(gè)整體在作相應(yīng)地變換；

第三步（確定從動(dòng)點(diǎn)M的軌跡）：既然知道了從動(dòng)點(diǎn)M的軌跡可以看成是由主動(dòng)點(diǎn)D的軌跡圓⊙A以定點(diǎn)B為位似中心，位似比為1/2進(jìn)行縮小而來，由“經(jīng)過位似變換之后的圖形與原圖形相似，即位似不改變圖形的形狀，只改變圖形的大小與位置”這個(gè)理論支撐易知從動(dòng)點(diǎn)M的軌跡仍是一個(gè)圓；

要想確定一個(gè)圓，應(yīng)先找圓心確定位置，再找半徑確地大小，按照這個(gè)基本想法先找從動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圓心，有趣的是這個(gè)圓心也是經(jīng)過同樣的變換而來，即從動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圓心就是主動(dòng)點(diǎn)D的軌跡圓⊙A的圓心A以定點(diǎn)B為位似中心，位似比為1/2進(jìn)行縮小而來，記為點(diǎn)N，即點(diǎn)N就是AB的中點(diǎn)，如圖1-6所示；

再確定從動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圓⊙N的半徑，這個(gè)半徑其實(shí)也是位似而來，由主動(dòng)點(diǎn)D的軌跡圓⊙A的半徑為4，位似比為1/2知所要找的從動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圓⊙N的半徑為2，如圖1-7所示，畫出目標(biāo)點(diǎn)M的軌跡圓⊙N，其圓心為AB的中點(diǎn)N且半徑為2，是一個(gè)定圓；

這樣問題又被轉(zhuǎn)化為同學(xué)們耳熟能詳?shù)哪Ｐ?，即定點(diǎn)C到定⊙N上的最大距離，易知CM的最大值為CN+2=7，順帶求出最小值為CN-2=3，問題得解！

解題后反思：該解法有人愛它有人恨，仁者見仁智者見智！在筆者看來，這是一種極其自然的想法，本質(zhì)就是用圖形常見變換的眼光看動(dòng)點(diǎn)間的關(guān)系，所謂“捆綁原理”本質(zhì)也只是整體思想，即將主動(dòng)點(diǎn)的軌跡看作一個(gè)整體，利用這個(gè)整體去確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，思路自然大方，而且更加普適，是一種很大范圍內(nèi)適用的通解通法，建議有能力的學(xué)生可以再思考琢磨下，多想幾遍就通了，通了就簡單了！

其實(shí)大家可以把第一種“中位線”解法與第三種“瓜豆”解法類比琢磨，越琢磨你越會(huì)發(fā)現(xiàn)兩種解法本質(zhì)一樣，只不過前者的輔助線相對(duì)而言還是比較難想的，給人一點(diǎn)琢磨不透的巧合感，而后者則是有跡可循，其從動(dòng)點(diǎn)M的圓心也正是第一種解法里的中點(diǎn)N，兩者不謀而言，絕不是偶然應(yīng)該是必然，甚至于大家還可以用瓜豆的原理找到這個(gè)中點(diǎn)N后，再采取第一種解法解答！總而言之，“瓜豆原理”中的軌跡思想往往可以使抽象問題變得有跡可循，值得你擁有！