一、選擇題把關(guān)題

為書寫方便，表達清楚，設(shè)CE＝1，則BE＝2，由題易得Rt△ADF≌Rt△CDE（ASA）故AF＝CE＝1，且DF＝DE，從而△DEF為等腰直角三角形；

基本策略二：基于導(dǎo)角分析，采取相似法

除了可以解△BFG，若能敏銳地發(fā)現(xiàn)△BFG∽△BDE，便可以直接借助相似三角形的性質(zhì)迅速解決問題.

下面提供幾種相似方法：

后來發(fā)現(xiàn)解法3的導(dǎo)角都顯繁瑣了，只需要識別如下“8字形”結(jié)構(gòu)，即可輕松導(dǎo)角.

二、填空題把關(guān)題

第17題：如圖2，若△ABC內(nèi)一點P滿足：∠PAB＝∠PBC＝∠PCA，則點P稱為△ABC的布洛卡點.三角形的布洛卡點是數(shù)學(xué)愛好者布洛卡在1875年發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名的.若在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點P為△ABC的布洛卡點，BP＝4，則AP＋PC＝          .

布洛卡點是三角形中一個有趣的點，其尺規(guī)作圖法就是一個極其有趣的話題，關(guān)于其性質(zhì)等，可以網(wǎng)上查閱.

下面提供此題的若干有趣解法：

基本策略一：基于導(dǎo)角分析，采取相似法

畫圖細(xì)分析，導(dǎo)角出相似；巧借相似比，妙解邊長題.

反思：此外，得到△BPC≌△BEA后，還可由∠AEB＝∠CPB＝135°，從而∠AEP＝135°－45°＝90°，來導(dǎo)出等腰Rt△PAE，這樣看上去更簡單一些；

值得一提的是，解法3中并沒有提及旋轉(zhuǎn)輔助線，而是通過作垂線延長相交的方式，證出等腰Rt△PBE，從而構(gòu)造出“共直角頂點的雙等腰直角三角形手拉手模型”；

若是將△BPC繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△BEA位置，連接PE，則需要證明∠CPE＝∠CPB＋∠EPB＝135°＋45°＝180°，即C、P、E三點共線；

兩種輔助線的添法，最終殊途同歸，達到了同樣的效果.筆者建議：用旋轉(zhuǎn)的眼光看問題，借第一種輔助線來書寫過程，這樣更簡潔些，避免“三點共線”的證明，當(dāng)然還是旋轉(zhuǎn)本質(zhì).

既然可以繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，當(dāng)然可以繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2－4所示，請自行探究.

旋轉(zhuǎn)第二層次：“見不等三爪圖，造旋轉(zhuǎn)相似（含全等）型”，其核心結(jié)構(gòu)如圖2－5所示，其中△ABC形狀確定，要探究PA、PB、PC三條線段（所謂“三爪”）之間的關(guān)系，可以考慮作旋轉(zhuǎn)變換，繞點A、B、C或順轉(zhuǎn)或或逆轉(zhuǎn)，一般有六種轉(zhuǎn)法，故稱“旋轉(zhuǎn)六法”.

前面的兩種旋轉(zhuǎn)全等法，都是繞著點B旋轉(zhuǎn)90°，還可以繞著點A或C旋轉(zhuǎn)45°.

反思：解法5相當(dāng)于將△ABP繞點A逆時針作“旋轉(zhuǎn)位似變換”，還可以順轉(zhuǎn)，如圖2－9所示，不再贅述.

這里的“旋轉(zhuǎn)位似變換”，將旋轉(zhuǎn)作為“工具”使用，而非知識考查，這正是難點之所在.旋轉(zhuǎn)就像一把扳手，將“不等三爪”轉(zhuǎn)移到同一三角形中，使條件集中化.

反思：解法6與解法4殊途同歸，只是出發(fā)點略有不同，輔助線大同小異，還有其他的平四構(gòu)造法，不再贅述.

基本策略六：軌跡意識定位法

導(dǎo)角可得∠APC＝∠BPC＝135°，∠APB＝90°，如圖2－23，

由“定邊對定角”模型，點P可以由A、B、C三點借助輔助圓唯一確定，如圖2－24或圖2－25所示.

從這個角度分析問題，確定的必可求，怎么確定怎么求. 這里的軌跡定位意識，也是此題畫圖的基本原理，給人很多豐富的聯(lián)想，看似復(fù)雜，但本質(zhì)而科學(xué)，值得琢磨反思，讓人回味無窮. 

舉個例子來說，比如由圖2－24顯知PD＝AD＝AB，結(jié)合解法10，又會有新的變化. 

結(jié)合圖2－25，筆者又聯(lián)想到構(gòu)造正方形中“半角模型”，如圖2－25所示，甚至還可以結(jié)合“12345模型”等比例口算，趣味無限.

當(dāng)然，這里也僅僅是“瞎想”與“遐想”的一些結(jié)果，覺得頭暈，無需深究.

基本策略七：建系解析法

此題依然可以建系解析搞，如圖2－26或圖2－27，求出直線AD與BP的解析式，聯(lián)立求出交點P的坐標(biāo)，利用BP＝4，可求得t的值，進而求出PA與PC的長度.

解析法，思維單一，易于操作，但計算量頗大，輕易不得使用.此外，若借助于上面圓的軌跡意識，利用圓的性質(zhì)，即圓上各點到圓心的距離處處相等，還會產(chǎn)生新的解析法，這樣計算量更大，了解便可.

第18題：如圖3，在等邊△ABC中，AB＝2，點D是以A為圓心，半徑為1的圓上任一動點，連接CD，E為CD的中點，連接BE，則BE的最大值與最小值之和為         .

此題短小精悍，方法多樣，但萬變不離其宗，主要依據(jù)條件“E為CD的中點”，既可采用中點常見的處理手段，也可利用傳說中的“瓜豆原理”.

基本策略一：中點處理

要求兩點之間距離的最值，可以再找一個“第三點”，使這兩點到此“第三點”的距離均為定值，然后借助“兩點之間線段最短”或“三角形的三邊關(guān)系”快速鎖定答案.

反思：中點的常見處理策略有：①等腰三角形“三線合一”定理；②垂直平分線的性質(zhì)定理；③直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；④中位線模型；⑤倍長中線法等.

最值問題基本處理策略：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短等.

策略一采用中點處理策略，將問題轉(zhuǎn)化為了“兩點之間，線段最短”，這是很多最值問題的解題出路，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成什么等.

數(shù)學(xué)中無處不存在轉(zhuǎn)化，沒有轉(zhuǎn)化，就沒有數(shù)學(xué).轉(zhuǎn)化策略妙無窮，需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)中認(rèn)真去體會.

基本策略二：瓜豆原理

此題還可以如下分析：

問1：BE為什么有最值？

答1：從運動變化的角度分析，B為定點，E為動點，故BE是動線段，其值變化，因而可能有最值.

問2：既然BE的最值源于點E的運動，目光當(dāng)然要鎖定動點E，點E是如何運動的呢？

答2：從動靜的角度分析，題目中共有五個點，“三定兩動”，即A、B、C為定點，D、E為動點.D是“主動點”，E是“從動點”，即點E隨著點D的運動而運動.

問3：點E與點D存在著必然的因果關(guān)系，E可以看作由D經(jīng)過怎樣的變換得到呢？

答3：從運動變換的角度分析，由E為CD的中點且C為定點，可以將“從動點”E看作由“主動點”D以定點C為位似中心，以1:2為位似比變換得到.

問4：“主動點”D在⊙A上運動，與之相關(guān)的“從動點”E的軌跡確定嗎？是什么？

答4：從軌跡思想的角度分析，每一個點E都可以看成相應(yīng)的點D經(jīng)過上述的位似變換得到，既然點D的運動軌跡是圓，自然地，點E的運動軌跡必然也是圓，此謂“種瓜得瓜，種豆得豆”，簡稱“瓜豆原理”.

這里“瓜豆原理”的本質(zhì)是位似性質(zhì)，即位似前后的圖形相似，且相似比等于位似比.

問5：“從動點E”的軌跡圓如何確定呢？

答5：要想確定一個圓，只需找其圓心，確定位置；算其半徑，確定大小.

圖形變換的本質(zhì)是點變換；反過來，（動）點的變換其實也可以看成（動）點所在圖形的變換.這是一種可逆思維，用“集體行動，步調(diào)一致”解釋再形象不過，即所謂的“捆綁變換”，是一種整體思想在幾何變換中的應(yīng)用.

“從動點”E可看作由“主動點”D以定點C為位似中心，以1:2為位似比變換得到，由“捆綁思想”可知：“從動點”E的軌跡圓心F也是由“主動點”D的軌跡圓心A以定點C為位似中心，以1:2為位似比變換得到，即為AC的中點；其半徑也是⊙A半徑的1/2，即為1/2，如圖3－3所示.

解法3（“瓜豆原理”法）：

如圖3－3，由前面的分析，易知BE的最值問題轉(zhuǎn)化為定點B到定⊙F的“點圓距離”最值問題，其中圓心F是AC的中點，半徑FE為1/2，下略.

反思：策略二“瓜豆法”與策略一“中點法”殊途同歸，前者解釋了為什么這么添加輔助線，后者更多的是“異想天開”式地奇思妙構(gòu).

“瓜豆法”更具備普適性，是此類問題的通解通法，而“中點法”看上去更簡潔些，兩者各有裨益，可相互結(jié)合使用.

反思：中點變成了三等分點，無論是瓜豆法還是幾何法照用無誤，瓜豆法依然用位似變換的眼光看，而幾何法則由題中的三等分點，再取一個三等分點，構(gòu)造出平行A字型相似，體現(xiàn)出“有什么，配什么；缺什么，補什么”的對稱思想，充分表達了幾何的和諧之美，需要大家用心類比、體悟！依次類推，問題可改編為任意n等分點，搞懂了原理，想咋玩就咋玩.

將問題升級，請看下面的二次“瓜豆題”：

 變式2（二次“瓜豆”）：如圖3－8，在等邊△ABC中，AB＝2，點D是以A為圓心，半徑為1的圓上任一動點，連接CD，E為CD的中點，連接BE，取BE的中點M，連接AM、CM，分別求出AM、CM的最大值與最小值.

反思：瓜豆法直指本質(zhì)，指引我們構(gòu)造出解法2中的相關(guān)輔助線，即瓜豆法告訴我們?yōu)槭裁矗夥?告訴我們是什么，孰優(yōu)孰劣，不言而喻.而解法3中，轉(zhuǎn)化味道，極其濃烈，讓人回味無窮，實在有趣！

此外，照此思路編題，還可“三次瓜豆”，甚至“n次瓜豆”……，創(chuàng)造無極限！