求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何的一個(gè)重要問(wèn)題，軌跡概念包含“完備性”與“純粹性”兩方面，然而因某種原因?qū)е聞?dòng)點(diǎn)軌跡遺漏的現(xiàn)象經(jīng)常出現(xiàn)。下面通過(guò)典型例題，就解題過(guò)程中造成動(dòng)點(diǎn)軌跡遺漏的原因總結(jié)如下，以期防范。

一、忽略對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的多種情形的討論：

例1、直角△ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別是BC=a，AC=b（a>b），A、B兩點(diǎn)分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動(dòng)（可包括原點(diǎn)），求頂點(diǎn)C的軌跡方程。

錯(cuò)解：如圖1，設(shè)C（x,y），由A、O、B、C四點(diǎn)共圓，可得∠ABC=∠AOC，即，所以。又當(dāng)A與原點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)B與原點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，故頂點(diǎn)C的軌跡方程為 。

剖析：上述解法遺漏了另一種情況（如圖2）。故頂點(diǎn)C的軌跡方程為

或。

二、忽略動(dòng)點(diǎn)的特殊位置。

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，不但要考慮動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一般情況，還要考慮動(dòng)點(diǎn)的特殊位置，如極限位置、臨界位置、軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，忽視對(duì)這些特殊位置的考慮，常會(huì)造成軌跡遺漏。

例2、已知定線段AB的長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是以點(diǎn)A為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，∠PAB的平分線交PB于Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程。

錯(cuò)解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB所在的射線為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3所示。則圓A的方程為，由三角形的內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理得，即。設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x,y），由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（），而P在圓上，可得。

即 （*）

此就是點(diǎn)Q的軌跡方程。

剖析：應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線定理的前提條件是P、A、B不共線，而上述解法卻忽視了P、A、B共線的情形，導(dǎo)致求軌跡的漏解。正確解法應(yīng)對(duì)P、A、B共線的情形補(bǔ)充說(shuō)明：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C（－1，0）時(shí)，∠CAB=180°。其平分線即y軸與CB的交點(diǎn)是（0，0），適合（*）式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D（1，0）時(shí)，∠DAB=0，其平分線即Ox與DB的交點(diǎn)為線段DB，這時(shí)點(diǎn)Q的軌跡就是線段DB：（）。

因此，點(diǎn)Q的軌跡方程是或y=0（）。

三、忽略題設(shè)的幾何條件。

若題設(shè)的幾何條件情形不止一種，而在求軌跡問(wèn)題中又沒(méi)有充分全面地加以分析考慮，自然會(huì)造成軌跡遺漏。

例3、求與一直線和圓都相切的圓的圓心的軌跡。

錯(cuò)解：設(shè)已知直線為l，已知圓的半徑為a，建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，使直線l平行于x軸，且在x軸的上方，使半徑為a的圓的圓心在原點(diǎn)。不妨設(shè)所求圓的圓心P的坐標(biāo)為（x,y），半徑為r，原點(diǎn)O到直線l的距離為b，則直線l的方程為y=b（b>a）。

因?yàn)閯?dòng)圓P與圓O相切，所以（取“＋”時(shí)兩圓外切，取“－”時(shí)兩圓內(nèi)切），即。①

又因?yàn)閯?dòng)圓P與直線l相切，所以點(diǎn)P到直線l的距離為r。  

因此。②

由①②消去r，可得點(diǎn)P的軌跡為拋物線：

 ③

剖析：上述解法忽視了對(duì)題設(shè)幾何條件中已知直線l和已知圓O之間的位置關(guān)系進(jìn)行分析，只就相離情形進(jìn)行解答，而未注意到相切、相交這兩種情況，因而造成了軌跡遺漏。

事實(shí)上，當(dāng)直線l與圓O相切，即b=a時(shí)，由③易知?jiǎng)訄A的圓心P的軌跡為拋物線：或x=0（y≠0，y≠a）；當(dāng)直線l與圓O相交，即b<a時(shí)，由③易知?jiǎng)訄A的圓心P的軌跡為兩條拋物線：。