今天，我們?cè)敿?xì)講解如何在計(jì)算機(jī)上計(jì)算這些抽象的概念。這些方法都是嶄新的，由我們自己發(fā)明。

圖1：拓?fù)渌倪呅蔚墓残文！?/p>

給定虧格為0的曲面，帶有一條邊界，邊界上逆時(shí)針選取4個(gè)點(diǎn)，則我們得到一個(gè)拓?fù)渌倪呅?。根?jù)極值長(zhǎng)度理論，存在一個(gè)共形變換，將曲面映射到標(biāo)準(zhǔn)平面長(zhǎng)方形，并且把映成長(zhǎng)方形的角點(diǎn)，那么長(zhǎng)方形的高寬之比是拓?fù)渌倪呅蔚墓残文！?/p>

角點(diǎn)將邊界曲線(xiàn)分成四段，，每一段的端點(diǎn)為，這里角標(biāo)模4。我們求解兩個(gè)Dirichlet問(wèn)題，得到兩個(gè)調(diào)和函數(shù)，同時(shí)滿(mǎn)足Dirichlet和Neumann邊界條件：

梯度和彼此處處垂直，但是并不共軛。我們需要找到一個(gè)常數(shù)，使得共形映射，那么常數(shù)就是標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)方形的寬度。函數(shù)的調(diào)和能量在共形變換下不變，因此在原來(lái)曲面上的調(diào)和能量等于在標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)方形上的調(diào)和能量

由此，我們得到共形變換

。

圖2：恰當(dāng)調(diào)和形式；閉而非恰當(dāng)?shù)恼{(diào)和形式。

圖3： 拓?fù)洵h(huán)帶的共形模。

給定一個(gè)拓?fù)洵h(huán)帶， 虧格為0帶有兩條邊界，。我們通過(guò)解Dirichlet問(wèn)題來(lái)計(jì)算一個(gè)調(diào)和函數(shù)，滿(mǎn)足

,

那么是一個(gè)恰當(dāng)調(diào)和1-形式。

我們?cè)儆?jì)算連接和的最短路徑，將曲面沿著最短路徑切開(kāi)，記為。構(gòu)造函數(shù)，

那么是在原來(lái)曲面上定義的閉1-形式，記為，那么是環(huán)帶曲面同下調(diào)群的生成元。

我們?cè)趯ふ液?img doc360img-src='http://image108.360doc.com/DownloadImg/2017/08/0403/107456619_35' data-ratio='0.6363636363636364' data-w='11' data-type='png' src='http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif'>同調(diào)的調(diào)和1-形式。構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使得是調(diào)和1-形式,

。

由此，得到Poisson方程：

。

由此，我們得到調(diào)和1-形式 。

類(lèi)似拓?fù)渌倪呅蔚那樾?，我們?jì)算調(diào)和能量  ，那么

是一個(gè)全純1-形式。我們?cè)谇?img doc360img-src='http://image108.360doc.com/DownloadImg/2017/08/0403/107456619_45' data-ratio='1.3636363636363635' data-w='11' data-type='png' src='http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif'>上做積分，首先選擇一個(gè)基，對(duì)于任意一點(diǎn)，定義映射：

，

我們算出周期：

，

然后用指數(shù)映射將曲面映到標(biāo)準(zhǔn)圓環(huán)，

。

圖4：黎曼映照。

給定虧格為0、帶有一條邊界的曲面，根據(jù)黎曼映照定理，我們可以找到共形映射，將曲面映到單位圓盤(pán)。

我們首先在曲面內(nèi)部打穿一個(gè)洞，將曲面修改為托盤(pán)環(huán)帶，用拓?fù)洵h(huán)帶的方法將曲面映射到平面標(biāo)準(zhǔn)圓環(huán)。當(dāng)我們將洞的半徑縮小，趨向于0，并且保持邊界上某個(gè)固定點(diǎn)映到+1點(diǎn)，則這一系列的環(huán)帶之間的共形映射收斂到黎曼映照。

由此，我們看到所構(gòu)造的映射具有3個(gè)自由度：打洞的中心和邊界上的固定點(diǎn)。這驗(yàn)證了如下的定理：?jiǎn)挝粓A盤(pán)的共形自同胚群，莫比烏斯變換群，是3維的。

圖5：恰當(dāng)調(diào)和形式基底。

我們稱(chēng)一個(gè)曲面是多孔環(huán)帶（Poly-annulus），如果是一個(gè)虧格為0的曲面，具有多條邊界,     。根據(jù)狹縫映射理論，存在共形映射，將兩條邊界映成同心圓，將其他邊界映成同心圓弧縫。

首先，我們計(jì)算個(gè)調(diào)和函數(shù)，，，滿(mǎn)足Dirichlet邊界條件，

,

得到恰當(dāng)調(diào)和1-形式。

圖6：調(diào)和1-形式上同調(diào)群基底。

我們計(jì)算連接的最短路徑。將曲面沿著一條切開(kāi)，得到曲面，構(gòu)造函數(shù)，

,

那么在原來(lái)曲面上定義了一個(gè)閉的1-形式，記為，那么構(gòu)成了曲面上同調(diào)群基底。

然后我們?cè)儆?jì)算個(gè)函數(shù)，使得是調(diào)和1-形式，求解偏微分方程，

于是我們得到調(diào)和1-形式。

圖7：全純1-形式基底。

至此，我們得到調(diào)和1-形式基底

然后我們計(jì)算共軛調(diào)和1-形式,

,

我們得到方程，

左側(cè)我們用微分1-形式對(duì)偶的矢量場(chǎng)，將微分形式的外積轉(zhuǎn)換成矢量的叉積，在每個(gè)面上計(jì)算然后累加。由此，解出待定系數(shù)，從而求出共軛調(diào)和形式，構(gòu)成全純1-形式基底

。

圖8：狹縫映射。

我們選擇兩條邊界，例如，我們希望找到一個(gè)全純1-形式，

滿(mǎn)足如下積分條件：

通過(guò)求解線(xiàn)性系統(tǒng)，我們可以求得待定系數(shù)，從而得到唯一滿(mǎn)足條件的全純1-形式。

我們將曲面沿著所有的最短路徑切開(kāi)，，然后選則基點(diǎn)，對(duì)于一切點(diǎn)，在中任意選擇路徑連接和，定義映射 

,

即為所求的狹縫映射。

圖9. 圓域映射。

根據(jù)Koebe迭代理論，存在共形映射，將多孔環(huán)帶曲面映到平面圓域。算法如下：每次將曲面所有的邊界內(nèi)部填滿(mǎn)，只留下兩條邊界；然后計(jì)算填充后的曲面到標(biāo)準(zhǔn)平面環(huán)帶的共形映射；再將標(biāo)準(zhǔn)環(huán)帶的內(nèi)外圓形邊界填滿(mǎn)，打開(kāi)另外兩個(gè)邊界；計(jì)算拓?fù)洵h(huán)帶到標(biāo)準(zhǔn)平面環(huán)帶的共形映射。如此循環(huán)往復(fù)，原來(lái)曲面的邊界會(huì)越來(lái)越圓，直至收斂到一個(gè)平面圓域。

圖10、圓域反射示意圖。

我們?cè)谧C明Koebe的迭代算法收斂性時(shí)，使用了復(fù)雜的角標(biāo)系統(tǒng)。這里，我們?cè)噲D簡(jiǎn)化迭代算法的說(shuō)明。如圖10所示，我們考慮復(fù)平面去掉三個(gè)圓洞，其邊緣記為，初始區(qū)域記為；關(guān)于反射，所得的像是；的邊界曲線(xiàn)記為；關(guān)于反射，所得的區(qū)域是；的邊界曲線(xiàn)是；關(guān)于反射，所得區(qū)域是。如此反復(fù)，以致無(wú)窮。

圖 11. 反射樹(shù)。

這一過(guò)程，可以用樹(shù)來(lái)描述，并且用遞歸算法實(shí)現(xiàn)。如圖11所示，

1. 每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)初始平面圓域的多重反射像；

2. 每條邊上有一個(gè)標(biāo)號(hào)，代表一個(gè)邊界圓；

3. 每個(gè)節(jié)點(diǎn)的角標(biāo)，等于從根到此節(jié)點(diǎn)的路徑上所有邊的標(biāo)號(hào)。

圖12、第（k）重反射樹(shù)。

假設(shè)，經(jīng)過(guò)了第重循環(huán)，我們得到的樹(shù)如圖12所示，以為根節(jié)點(diǎn)的子樹(shù)記為。到第重循環(huán)，反射樹(shù)演化為：

圖13、第（k+1）重反射樹(shù)。

圖 14. 面積估計(jì)。

如圖14所示，我們將所有的圓同心放大倍，黑色的圓放大成紅色的。然后將關(guān)于反射，黑色的圓反射成黑色的圓，紅色的圓反射成藍(lán)色的圓。紅色的圓彼此相離，因此藍(lán)色的圓彼此相離。由此，我們得到如下估計(jì)，

這里代表曲線(xiàn)所包圍區(qū)域的面積。同時(shí)，

。

由此，我們得到：

。

由此，我們得到對(duì)于任意一個(gè)內(nèi)結(jié)點(diǎn)而言，父親結(jié)點(diǎn)邊界包圍區(qū)域的面積不小于所有兒子結(jié)點(diǎn)邊界所包圍的面積和乘以。利用這一關(guān)鍵的估計(jì)，我們可以得到Koebe迭代算法的收斂性。