這里用到的 curl 和 div 兩個(gè)微分算子是這樣定義的。假設(shè) F = ( P, Q, R ) 是一個(gè)向量場(chǎng)，那么：

需要記住嗎？需要。怎么記住？背公式嗎？不需要。

數(shù)學(xué)是一門講邏輯推理的學(xué)科，也是一門不斷抽象簡(jiǎn)化的學(xué)科。上面這些公式可以濃縮為一個(gè)，微分形式的 Stokes 定理：

 稱之為微分形式， 是定向的幾何區(qū)域。d 是微分算子， 是邊界算子。尖括號(hào)代表某種形式的積分（作用）。

首先這個(gè)抽象的Stokes定理更加對(duì)稱，也更為簡(jiǎn)潔地揭示了圖一里各種公式的共性：一個(gè)微分過(guò)后的形式在一個(gè)區(qū)域上的作用等于原來(lái)的形式在這個(gè)區(qū)域邊界上的作用。

 數(shù)商測(cè)試：你覺(jué)得上面的公式漂亮嗎？美不美？

接著我們來(lái)看幾何區(qū)域和邊界算子。

幾何區(qū)域和邊界算子

 在微積分里是用來(lái)代表偏導(dǎo)數(shù)的。為什么一個(gè)幾何區(qū)域的邊界也用這個(gè)符號(hào)表示呢？

微分形式的Stokes定理就告訴你實(shí)際上幾何區(qū)域的邊界算子可以看成是微分算子的對(duì)偶算子，它就是幾何區(qū)域的某種意義上的求導(dǎo)。

 的幾何意義很好理解，就是區(qū)域 的邊界。比如線段的邊界就是兩個(gè)端點(diǎn)，平面區(qū)域的邊界就是條曲線，三維體的邊界就是一個(gè)曲面。 

但要小心的是定向。定理涉及到的幾何物體是有方向性的。

• 曲線的定向是很好理解的，北京到上海和上海到北京就是正好相反的定向。

• 曲面的定向稍微復(fù)雜一點(diǎn)。我們采用法線方向來(lái)定向。通俗地講一般的曲面都有兩面（正反或者里外），選定一個(gè)作為正方向，這就是曲面的定向。

• 體的定向就有點(diǎn)抽象，因?yàn)椤翱床坏健?。?jiǎn)單地講，每個(gè)體也有兩個(gè)方向：左手坐標(biāo)系或者右手坐標(biāo)系。一般我們選右手系作為正向。
  

點(diǎn)的定向也沒(méi)有直觀的幾何解釋。代數(shù)上來(lái)說(shuō)可以用正負(fù)號(hào) +，- 來(lái)表示。

 和  都有定向，在Stokes公式里，它們的定向必須協(xié)調(diào)一致?；蛘哒f(shuō)  的定向是由 的定向誘導(dǎo)的。抽象的定義太難理解。只要記住具體的例子就可以了。

• 3維封閉體，右手系定向，其表面的定向是外法線方向。

  
  

• 2維的曲面，法線方向和邊界曲線的方向遵守右手法則。對(duì)平面而言，法線方向是朝上，邊界曲線的方向就是逆時(shí)針?lè)较颉Ｈ绻矫鎱^(qū)域還包括洞，洞的邊界是順時(shí)針（為什么？）

• 1維的曲線，給了方向后，兩個(gè)端點(diǎn)的方向（就是 +，- 號(hào)了）取決于曲線的方向是進(jìn)還是出。如果是北京到上海的高鐵線，那么上海這個(gè)點(diǎn)就是 + 號(hào)，北京就是 - 號(hào)。

微分形式和外微分

比較難講清楚的是微分形式  和其外微分 。我們不追求嚴(yán)格性和一般性，只是給出一些易于操作的法則。

微分形式  就是 dx, dy, dz 及其外積的線性組合。

• 1-form：dx, dy, dz。在3維空間中，1形式長(zhǎng)這樣 P dx + Q dy + R dz. 其中系數(shù) (P,Q,R) 形成了一個(gè)向量場(chǎng)。

• 2-form：dxdy, dydz, dzdx. 在3維空間中，2形式長(zhǎng)這樣 P dxdy + Q dydz + R dzdx. 同樣的 (P,Q,R) 形成了一個(gè)向量場(chǎng)。

• 3-form: 3維空間的3形式：f dxdydz. 其中 f 是一個(gè)空間上的函數(shù)。

這里微分形式的維數(shù)取決于有幾個(gè)d。注意上面的公式是3維空間的。換成 2 維空間就有些不一樣（建議讀者自行寫出 R^2 的幾種微分形式）。

細(xì)心的讀者可能會(huì)問(wèn)：為什么沒(méi)有 dydx 呢？ 其實(shí)也有的，只是微分形式遵守反對(duì)稱準(zhǔn)則 dydx  = - dxdy. 這樣就可以只用 dxdy來(lái)表示了。 

為什么是反對(duì)稱？微分形式也是有幾何意義的。要講清楚有點(diǎn)復(fù)雜。2-form 作用在切空間中的兩個(gè)切向量時(shí)代表這兩個(gè)向量張成的平行四邊形的有向面積。為了簡(jiǎn)化解釋，我們省略了外積符號(hào), dxdy 更嚴(yán)格一點(diǎn)是 dx ^ dy。這個(gè)乘積和通常乘積最大的不同就是反對(duì)稱性。

 數(shù)商測(cè)試：有0-form嗎？3維空間里有4-形式嗎？

 就是對(duì)某個(gè)微分形式求導(dǎo)，不同維度的微分形式，具體求導(dǎo)的形式不同。還有點(diǎn)繞的是，微分形式不光是 dx，前面還有系數(shù)（矢量場(chǎng)或是向量場(chǎng)），求導(dǎo)是對(duì)這些系數(shù)函數(shù)求全微分，然后再和相應(yīng)的微分形式做外積。

復(fù)雜的變化不需要擔(dān)憂，只要記住下面兩條規(guī)則

1. 函數(shù) f 的全微分