圖 1. 兔子曲面的球面參數(shù)化（蘇科華作）。

2017年1月11日，美國數(shù)學(xué)協(xié)會（American Mathematical Society）宣布2017年沃爾夫獎（Wolf Prize）授予 Charles Fefferman和Richard Schoen。沃爾夫是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的終身成就獎，Schoen是丘先生的弟子，獲得沃爾夫獎名至實歸。美國數(shù)學(xué)協(xié)會宣稱Schoen在調(diào)和映照的正則性方面和Yamabe方程方面的研究影響深遠(yuǎn)。（'His work on the regularity of harmonic maps and minimal surfaces had a lasting impat on the field. His solution of the Yamabe problem is based on the discovery of a deep connection to general relativity.'）Schoen將調(diào)和映照從流形推廣到抽象的度量空間，他有關(guān)Yamabe方程的工作，對于曲面參數(shù)化的研究產(chǎn)生了至關(guān)重要的影響。

計算機圖形學(xué)中曲面參數(shù)化領(lǐng)域的許多算法是基于曲面調(diào)和映照理論（harmonic mapping），其內(nèi)在原因包括諸多方面：

1. 理論完備 調(diào)和映照理論歷經(jīng)數(shù)百年的發(fā)展，已經(jīng)非常完善。調(diào)和映照的存在性、唯一性、光滑性都有艱深而精細(xì)的理論驗證。

2. 有效逼近 求解調(diào)和映照等價于求解橢圓型偏微分方程，數(shù)值上可以用有限元方法求解，解的收斂階，誤差估計都有經(jīng)典結(jié)果。
   

3. 數(shù)值穩(wěn)定 根據(jù)橢圓型偏微分方程理論，其解連續(xù)依賴于邊界條件。同時，線性橢圓型偏微分方程的有限元逼近是正定的線性系統(tǒng)，因此具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。

4. 普適性 經(jīng)典調(diào)和映照理論適用于具有各種拓?fù)涞那?，現(xiàn)代調(diào)和映照理論適用于非流形的度量空間，例如帶度量的圖（metric graph）。

5. 微分同胚 在適當(dāng)?shù)耐負(fù)浜蛶缀螚l件下，調(diào)和映照是光滑的微分同胚，這一點對于曲面參數(shù)化而言是至關(guān)重要的。

同時，相對于復(fù)雜的非線性方法，離散調(diào)和映照的工程實現(xiàn)難度低，容易上手開發(fā)。因此，在絕大多數(shù)的商用電影制作、游戲開發(fā)軟件中，基于調(diào)和映照的參數(shù)化方法被廣泛應(yīng)用。

圖1給出了從兔子曲面到單位球面的一個調(diào)和映射的實例。直觀上，我們可以把兔子想象成是由一張橡皮膜制成，映射將兔子曲面罩在光滑的大理石球體表面，橡皮膜和拋光的大理石表面間的摩擦力小到可以被忽略，因此橡皮膜可以在球面上自由滑動。這種自由滑動，在數(shù)學(xué)上可以用同倫變換來描述。無論兔子曲面如何滑動，映射的整體拓?fù)湫再|(zhì)保持不變。直觀上，兔子曲面被此映射罩在球面上，罩的代數(shù)層數(shù)就是整體拓?fù)洳蛔兞?，其?yán)格定義是所謂的映射“拓?fù)涠取薄Ｍ瑫r，同倫變換會使得橡皮膜彈性形變的勢能持續(xù)減小，到達(dá)平衡態(tài)時，彈性勢能達(dá)到極小值，映射就是所謂的調(diào)和映照。因此，直觀上，調(diào)和映照極小化彈性形變的勢能。

開始的時候，兔子曲面罩在球面上有可能有皺褶，局部上兔子曲面多層折疊。可以證明，經(jīng)過彈性形變之后，所有的折疊都會被展開，所有的皺褶都會被熨平，最終整個兔子曲面均勻光滑地貼在球面上。數(shù)學(xué)上，這意味著拓?fù)淝蛎骈g的調(diào)和映照是微分同胚。

圖 2. 小女孩雕塑的球面參數(shù)化。

更進(jìn)一步，我們仔細(xì)觀察圖2中小女孩雕塑到單位球面的調(diào)和映照，女孩的眉眼、口鼻、耳朵和發(fā)髻被映到球面上后，局部形狀被完美保持。這意味著拓?fù)淝蛎骈g的調(diào)和映照是保角變換（共形變換）。

圖3. 球面調(diào)和映照不唯一，彼此相差一個莫比烏斯變換。

我們知道，通過球極投影，我們可以把單位球面保角地映射到拓展復(fù)平面上（復(fù)平面并上一個無窮遠(yuǎn)點），拓展復(fù)平面到自身的共形變換群為莫比烏斯變換群（Mobius Transformation Group）。這意味著拓?fù)淝蛎嬷g的調(diào)和映射不唯一，彼此相差一個莫比烏斯變換。圖3就顯示了兩個從小女孩雕塑到單位球面的調(diào)和映照，兩個調(diào)和映照之間相差一個莫比烏斯變換和球極投影映射（及其逆映射）的復(fù)合映射。

由此，我們觀察到了拓?fù)淝蛎骈g調(diào)和映射的存在性，唯一性，正則性，以及和共形映射之間的關(guān)系。下面，我們探討在不同拓?fù)淝樾蜗拢{(diào)和映照的各種性質(zhì)。

,

調(diào)和函數(shù)極小化調(diào)和能量，其對應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程是

,

給定邊值條件 ，調(diào)和函數(shù)滿足拉普拉斯方程，

,

根據(jù)經(jīng)典的橢圓型偏微分方程理論，例如Riesz 表示定理，拉普拉斯方程的解存在。同時，調(diào)和函數(shù)滿足均值性質(zhì)（mean value property）：給定一點, 一條環(huán)繞 p點的曲線，

，

由均值性質(zhì)，我們得到極大值原理，調(diào)和函數(shù)的極大值（極小值）一定取在邊界上。調(diào)和函數(shù)光滑性，可以由Weyl引理得到。如果曲面邊界足夠光滑，邊值條件足夠光滑，則調(diào)和函數(shù)是光滑的。

調(diào)和映射的微分同胚性質(zhì)由Rado定理來保證：如果是調(diào)和映射，其在邊界上的限制是拓?fù)渫撸╤omeomorphism），則在內(nèi)部映射為微分同胚（diffeomorphism）。這一定理的證明充分利用了調(diào)和函數(shù)的極大值原理，同時利用了莫爾斯理論（Morse Theory）。其基本思路如下：假設(shè)映射不是微分同胚，則存在一個內(nèi)點，映射的Jacobi矩陣退化，存在常數(shù)，

,

因此為調(diào)和函數(shù)，點為的奇異點，由極大值原理，點不可能是極大值或極小值，必為鞍點（saddle point）。那么，點附近的等值線（level set）有兩個分支，兩個分支和曲面的邊界有4個交點。另一方面，在單位圓盤上的等值線是直線段，和邊界有兩個交點。這意味著曲面邊界上的4個點，被映射到圓盤邊界上的兩個點，因此不是拓?fù)渫?。由此?dǎo)出矛盾，假設(shè)錯誤。調(diào)和映射的微分同胚性質(zhì)，是這種參數(shù)化方法被廣泛應(yīng)用的根本原因之一。

共形映射必為調(diào)和映射，但是調(diào)和映射未必是共形映射。從分析角度而言，如果兩個調(diào)和函數(shù)共軛，即他們滿足柯西-黎曼方程：

那么調(diào)和映射是共形映射。幾何上來看，我們選擇3個邊界點，固定他們的像，，沿著滑動其他邊界點的像點，然后計算調(diào)和映射。如此變化邊界條件，使得調(diào)和能量進(jìn)一步減小，當(dāng)調(diào)和能量達(dá)到最小時，所得的調(diào)和映射為共形映射。由此，我們得到了黎曼映照定理，即存在從拓?fù)鋱A盤曲面到單位圓盤的共形映射。

利用黎曼映照定理，我們可以極大地簡化理論層面的討論。首先，調(diào)和能量在源曲面的共形變換下不變，因此調(diào)和函數(shù)（調(diào)和映射）在源曲面的共形變換下不變。我們用黎曼映照，將曲面保角地映到平面圓盤，那么曲面上的調(diào)和函數(shù)變成了平面圓盤上的調(diào)和函數(shù)，這時調(diào)和函數(shù)的解可以用邊值條件和泊松核（Poisson Kernel）的卷積來直接寫出：泊松核定義為

,

調(diào)和函數(shù)的公式為

。

這一公式顯式地給出了調(diào)和映射解的存在性，唯一性和正則性證明。

對于一般的散度型的橢圓偏微分算子，

，這里矩陣

處處正定，我們可以從幾何上加以討論。從幾何上講，我們可以找到一個定義在平面參數(shù)區(qū)域上的黎曼度量，使得橢圓型微分算子是度量下的Laplace算子。進(jìn)一步，我們可以找到度量的等溫坐標(biāo)

，

則微分算子成為標(biāo)準(zhǔn)的Laplace算子，

。這意味著散度型橢圓偏微分方程可以轉(zhuǎn)化成經(jīng)典的Laplace方程，只不過是變換了度量和邊值條件。

對于拓?fù)鋸?fù)雜的曲面，調(diào)和映照的理論也非常完備。給定度量曲面之間的映射

，我們采用復(fù)等溫坐標(biāo)，， 并且。我們定義微分算子

由此定義

那么映射的調(diào)和能量密度為

映射的調(diào)和能量為

由此，我們可以看到調(diào)和能量只和源曲面的共形結(jié)構(gòu)有關(guān)，和具體的共形黎曼度量無關(guān)。由此，我們得到調(diào)和能量的歐拉-拉格朗日方程為

,

內(nèi)蘊的非線性熱流方程為

。

調(diào)和映射和共形映射的關(guān)系 我們定義曲面間映射所誘導(dǎo)的二次微分，霍普夫微分：

我們可以證明，如果霍普夫微分為全純二次微分，則映射必為調(diào)和映射；如果霍普夫微分為0，則映射必為共形映射。由此，我們看到，共形映射必為調(diào)和映射，反之則不然。但是，拓?fù)淝蛎嫔纤械娜兌挝⒎直厝粸?。因此，拓?fù)淝蛎骈g的所有的調(diào)和映射，其霍普夫微分為全純二次微分，必然為0。我們得到拓?fù)淝蛎骈g的所有調(diào)和映射必為共形映射。

調(diào)和映射的微分同胚性 丘成桐先生曾經(jīng)證明過如下的定理。如果源曲面和目標(biāo)曲面同為虧格為g的封閉曲面，調(diào)和映射的度為一，目標(biāo)曲面上的曲率處處為負(fù)，那么調(diào)和映射必為微分同胚。

我們用反證法給出簡略證明。假設(shè)在某一內(nèi)點，雅克比行列式為負(fù)，因此區(qū)域

非空。研究函數(shù)

則它在D的邊界上為0， 在D的內(nèi)部處處為負(fù)，因此函數(shù)為上調(diào)和函數(shù)(super harmonic), 在D的內(nèi)部處處為正，那么雅克比行列式

在D的內(nèi)部處處為正，這和D的定義相矛盾。

調(diào)和映射的唯一性 調(diào)和映射的唯一性和目標(biāo)曲面的曲率具有非常緊密的聯(lián)系。封閉曲面間的調(diào)和映射，如果目標(biāo)曲面上的高斯曲率處處為負(fù)，且M在N上的像不是一條閉測地線，則同倫的調(diào)和映射必然重合。一種想法是基于調(diào)和能量的凸性，設(shè)定二階光滑同倫連接著兩個調(diào)和映射，

我們計算調(diào)和能量的二階導(dǎo)數(shù)

這里切矢量場定義為，聯(lián)絡(luò)算子，源曲面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基為，目標(biāo)曲面上的高斯曲率為。我們選取測地同倫，亦即為測地線，則

,

那么最后一項恒為0。因此調(diào)和能量的二階導(dǎo)數(shù)恒正，調(diào)和能量為嚴(yán)格凸。 同時在時間為0和1點處，映射為調(diào)和映射，調(diào)和能量關(guān)于時間的一階導(dǎo)數(shù)為0，由此我們有

并進(jìn)一步我們得到必然處處為0，因此起始和終點處的調(diào)和映射重合。

調(diào)和映射的存在性  根據(jù)調(diào)和映射理論，如果兩個曲面間有一個微分同胚，那么存在一個和此微分同胚同倫的調(diào)和映射。如果曲面間有一個非同胚的映射，那么是否一定存在一個與之同倫的調(diào)和映射？這個問題的答案是否定的。調(diào)和映射的存在性被整體拓?fù)錀l件所限定。如果輔助函數(shù) 不恒為0，那么輔助函數(shù)零點的總階數(shù)和曲面的拓?fù)浼坝成涞挠成涠戎g有著整體的關(guān)系

這一關(guān)系制約著調(diào)和映照的存在。

調(diào)和映射的推廣 調(diào)和映照可以被推廣到非流形情形，例如更為一般的度量空間。其中有一種特例非常重要，從曲面到帶度量的圖（metric graph）的調(diào)和映射。圖的萬有覆蓋空間是樹（Tree），樹上任意兩點之間的最短路徑唯一。我們知道，高斯曲率為負(fù)的曲面上，任意兩點之間，每一個同倫類中存在唯一的測地線。由此，我們可以想像樹的曲率為負(fù)，圖的曲率為負(fù)。Gromov和Schoen定義了圖的雙曲性質(zhì)，證明了從曲面到圖的調(diào)和映照的存在性和唯一性，其誘導(dǎo)的霍普夫微分也是全純二次微分。

傳統(tǒng)的伽遼金方法就是在曲面的泛函空間中構(gòu)造有限維子空間，將曲面任意函數(shù)向子空間投影，用這一投影來近似原函數(shù)。依隨子空間維數(shù)的增加，近似函數(shù)趨近原函數(shù)。有限元方法將曲面三角剖分，每一個三角形用歐式三角形來近似，形成三角網(wǎng)格。曲面上的函數(shù)用網(wǎng)格上的分片多項式函數(shù)來近似。有限元法將橢圓型偏微分方程（如Lapalce方程）轉(zhuǎn)換成等價的變分形式（調(diào)和能量優(yōu)化），將線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程組來求解。在曲面參數(shù)化算法中，通常人們應(yīng)用分片線性元，用分片線性函數(shù)來進(jìn)行近似。給定一個三角形，給定線性函數(shù)，通過直接計算，我們得到函數(shù)在三角形上的調(diào)和能量為

，

整個三角網(wǎng)上的調(diào)和能量為

,

這里被稱為是余切權(quán)重，是邊所對的兩個角的余切之和。通過對調(diào)和能量求導(dǎo)，我們得到離散拉普拉斯算子，

,

由，我們得到離散調(diào)和函數(shù)的均值性質(zhì)，

，

即每個頂點的值等于其相鄰頂點值的加權(quán)平均。由此，我們可以得到離散調(diào)和映射的迭代算法：在每一次迭代中，我們將每個頂點的像移到與其相鄰頂點像的加權(quán)重心。

Rado定理的離散版本也成立，從拓?fù)鋱A盤到平面凸區(qū)域的離散調(diào)和映射，如果邊界映射是拓?fù)渫?，則內(nèi)部也是拓?fù)渫摺?/p>

有限元法需要強有力的網(wǎng)格生成算法，對所用網(wǎng)格質(zhì)量有一定要求。對于平面區(qū)域，最為通用的方法當(dāng)推Delaunay Refinement算法，如果不存在過于尖銳的內(nèi)角，則三角剖分的最小內(nèi)角可以被保證。如果三角剖分質(zhì)量達(dá)到要求，則離散解收斂到連續(xù)解，考慮函數(shù)值和一次導(dǎo)數(shù)，解的誤差界為，這里為三角形邊長。

圖5. 佛像曲面的球面參數(shù)化（蘇科華作）。

調(diào)和映射方法在工業(yè)中被廣泛應(yīng)用，這可以歸功為完備的連續(xù)理論和離散理論，以及簡單穩(wěn)定的算法。同樣的想法可以應(yīng)用于三維體的參數(shù)化（volumetric parameterization）。但是，當(dāng)我們將曲面調(diào)和映射向三維推廣的時候，我們遇到了本質(zhì)困難：Rado定理在三維不成立。

圖6. 體調(diào)和映射。

如圖5所示，我們用曲面的調(diào)和映射將佛像曲面映到單位球面上，這一映射是保角的，因而是同胚映射。我們以這一映射為邊界條件，計算佛像內(nèi)部到球體內(nèi)部的調(diào)和映射，如圖6所示，理論上無法保證體調(diào)和映射一定是同胚映射。這是體參數(shù)化和曲面參數(shù)化的本質(zhì)區(qū)別之一。如何保證體映射是同胚，這是當(dāng)前參數(shù)化領(lǐng)域的主要熱點問題。

曲面間的調(diào)和映照問題等價于在曲面上求解幾何偏微分方程問題，解的存在性、唯一性、正則性強烈依賴于拓?fù)錀l件（虧格、同倫類、映射度等）和幾何條件（黎曼度量的高斯曲率）。很多理論結(jié)果非常令人驚異（驚艷），比較反直覺，例如拓?fù)淝蛎骈g的調(diào)和映照一定是共形映射，到負(fù)曲率空間的調(diào)和映照唯一并且是微分同胚等等。理論比較艱深，需要黎曼幾何、幾何偏微分方程等領(lǐng)域的知識。

從計算方法角度而言，離散調(diào)和映射的技術(shù)非常直觀簡單：固定初始映射的同倫類之后，循環(huán)迭代，局部減小調(diào)和能量。絕大多數(shù)的研究生都可以自己提出并實現(xiàn)這種算法。但是，工程的觀點聚焦于局部優(yōu)化，缺乏整體大局觀，整體解的性狀需要理論支撐。

目前，很少有學(xué)校的課程涵蓋調(diào)和映照理論，絕大多數(shù)時候在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的討論班中有所討論。但是，離散調(diào)和映射的算法，幾乎所有計算機圖形學(xué)的研究生課程都會涉及。從這個角度而言，計算機技術(shù)的普及將純粹數(shù)學(xué)請出了象牙塔，極大地促進(jìn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的傳播和發(fā)展。從另一個角度講，目前調(diào)和映照的算法只涉及了調(diào)和映照理論的極小部分，依然有廣闊的空間等待抽象理論到具體算法的實現(xiàn)。

在過去的十多年間，老顧在很多大學(xué)開設(shè)《計算共形幾何》課程，遇到了許多學(xué)者學(xué)生。大多數(shù)計算機背景的青年學(xué)生比較務(wù)實，有些學(xué)生急于獲得學(xué)位投身到信息工業(yè)之中，因而對于算法非常熱衷，對于理論比較冷淡；更有很多學(xué)生，他們具有強烈的好奇心和旺盛的求知欲，他們并不滿足“知其然”，更加追求“知其所以然”。在北美、香港、北京、長春，老顧經(jīng)常遇到這些學(xué)生，他們承受著巨大的生活和學(xué)業(yè)壓力，但是依然對艱深的理論孜孜以求。他們對于精粹而無用學(xué)問的追求和當(dāng)下主流價值觀念背道而馳。很多時候，他們的理念不被同學(xué)甚至導(dǎo)師所理解，他們和周圍的環(huán)境格格不入。他們的堅守和執(zhí)著非常令老顧感動。

從以上的討論我們看到，調(diào)和映照的理論需要很多非常深入的數(shù)學(xué)知識，橢圓型偏微分方程，微分幾何，代數(shù)拓?fù)?，黎曼面理論，黎曼幾何等等。在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，學(xué)生們需要花費七八年的時間才能完成這些課程，做到融會貫通、掌握精髓更加靡費時日；對于計算機科學(xué)背景的學(xué)生而言，自學(xué)這些課程幾乎是不可能的事情。老顧和清華大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院的肖杰院長曾經(jīng)交流過，肖教授傾向于認(rèn)為代數(shù)可以自學(xué)成才，但是分析只能采用傳統(tǒng)的師徒學(xué)制才能深刻掌握。老顧曾經(jīng)觀察過許多非常有才華的計算機背景的學(xué)生，他們不滿足于經(jīng)典計算機科學(xué)的內(nèi)容，自行探索更為深刻的數(shù)學(xué)理論層面。但是，如果一個年輕人不懂得索博列夫空間理論，他是無法嚴(yán)格證明偏微分方程解的存在性的。由于知識結(jié)構(gòu)的不足，他們經(jīng)常耽于哲學(xué)層面的空想，無法達(dá)到公認(rèn)的嚴(yán)格水平。他們中很多人花費海量時間閱讀，但是只學(xué)習(xí)工程技術(shù)方面的論文到達(dá)不了他們所期待的理論深度，閱讀數(shù)學(xué)文章，又缺乏必要的功力，很多時候他們飽受挫折，無奈放棄?？v然今天的網(wǎng)絡(luò)幾乎連接了一切，但是網(wǎng)絡(luò)只能提供相對膚淺的碎片化學(xué)習(xí)，對于偏微分方程理論這個層次的學(xué)習(xí)似乎幫助不大。

因此，老顧非常贊同跨領(lǐng)域培養(yǎng)的教育模式，例如結(jié)合數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)的加強班制度；也經(jīng)常鼓勵學(xué)生本科期間多學(xué)習(xí)純粹數(shù)學(xué)和物理，研究生期間再轉(zhuǎn)相對實用的方向。老顧經(jīng)常訪問法國里昂的大學(xué)，和計算機系的陳立銘教授探討過教育問題。陳教授介紹說：在法國的教育系統(tǒng)中，高中生經(jīng)過苛刻的選拔后，精英才俊會進(jìn)入特殊的大學(xué)，在那里他們四年時間只接受數(shù)學(xué)和物理方面的訓(xùn)練。這是法國數(shù)學(xué)一直傲視群雄的核心原因之一，也是法國航空工業(yè)發(fā)達(dá)強大的原因。（迄今為止，波音飛機的設(shè)計實際是用法國的CAD軟件）。

今天的中國，物質(zhì)文明日益強大，必將涌現(xiàn)精神貴族階層。老顧相信會有越來越多的青年才俊，不再為謀生所迫，遵從內(nèi)心召喚，大膽追求深刻理論的美學(xué)價值，為人類的精神文明作出杰出貢獻(xiàn)。

下一講，我們會給出共形幾何理論，泰希米勒空間理論和最優(yōu)傳輸理論的概覽，這些理論構(gòu)成了曲面參數(shù)化的理論基礎(chǔ)，其本身具有強烈的美學(xué)價值。