十五-十六世紀(jì)的歐洲人對(duì)于遙遠(yuǎn)的東方有著諸多幻想，這種幻想很大一部分來自于《馬可波羅游記》。在《馬可波羅游記》中（游記里中國(guó)處于元朝忽必烈時(shí)期，也就是成吉思汗遠(yuǎn)征歐洲不久），東亞被描述成為物資豐饒、建筑堂皇、交通便利的所在，活脫脫一個(gè)白富美的神圣形象。白富美通常是可望不可即的，更何況當(dāng)時(shí)歐洲和東亞之間隔了一個(gè)高富帥——土耳其人建立的奧斯曼帝國(guó)。高富帥身強(qiáng)體壯，沒法強(qiáng)行逾越；而《馬可波羅游記》只是一本“美女圖冊(cè)”而非“泡妞指南”，因此要想追到白富美，還得另想它法。

有人會(huì)說，既然高富帥霸占了陸地，那么走水路不就好了唄！從現(xiàn)在的科技看來，條條大路都能通羅馬，確實(shí)再簡(jiǎn)單不過了。但是要注意，當(dāng)時(shí)歐洲大部分人認(rèn)為地球是平的[1]，如果船航行到地球邊界，會(huì)發(fā)生如下慘案：

追求白富美的道路是坎坷的

所以當(dāng)時(shí)歐洲大部分人都放棄了對(duì)白富美的追求。而麥哲倫則不同，他不僅“色膽包天”，而且堅(jiān)信地球是圓的：只要心夠狠，往西走也能追到東方的白富美。心動(dòng)不如行動(dòng)，他在1519年組建了一支兩百多號(hào)人的隊(duì)伍，開始了通往東方的極樂之旅[2]。

麥哲倫

可想而知，由于技術(shù)的落后，麥哲倫的這次環(huán)航之旅充滿了四伏危機(jī)與艱難險(xiǎn)阻，兩百多人的隊(duì)伍最后只有十八人生還，而麥哲倫本人也在菲律賓被當(dāng)?shù)赝林錃?span>（盡管是他作死在先，硬要強(qiáng)行征服菲律賓）。無論如何，麥哲倫和他的隊(duì)伍以親身實(shí)踐，甚至以生命的代價(jià)將世界上首部“泡妞手冊(cè)”印刻在了歷史的車輪上，成為了世界近代史的標(biāo)志性事件。有詞為證：

永遇樂·環(huán)游　by 小編

黃禍西沖，絲路既斷，鼠疫平川。奧斯帝國(guó)，轉(zhuǎn)物提資，困獸無東遷。黃金似夢(mèng)，極樂難尋，天門此消彼現(xiàn)。辟航路，先輩作古，英杰縱橫江山。

朽木驚濤，脆帆危桿，唯聞東風(fēng)相伴。天涯客處，浪子何居？孤海任飄散?？缪笕d，殖民四處，壯志魂歸西天。告后人，世若圓球，天下通連。

其中最后一句話常常作為結(jié)論出現(xiàn)在歷史課本上——麥哲倫環(huán)航世界證明了地球是圓的。衛(wèi)星圖片告訴我們地球確實(shí)是圓（接近于球形）的，但這是二十世紀(jì)以后的事了。出生在十五世紀(jì)麥哲倫真的證明了地球是圓的嗎？如果麥哲倫的航行發(fā)生在十九世紀(jì)，那么當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家會(huì)告訴我們答案：未必如此。

數(shù)學(xué)家們對(duì)局部和整體有著強(qiáng)烈的敏感性。如何從局部的信息推斷整體的輪廓，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本思想，并且這一思想誘發(fā)了大量前沿概念的產(chǎn)生（例如流形、向量叢、纖維從、層、譜序列等）。盡管麥哲倫環(huán)航了世界，但他只是走了其中的一條航線而已，如何從一條航線這一局部信息就能給出“地球是圓的”這一整體性的結(jié)論呢？

數(shù)學(xué)家可以提出很多地球形狀的假設(shè)來擬合麥哲倫的航行結(jié)果，例如：

地球的可能形狀

所以單從一次航行的結(jié)果看來，我們是無法判斷出地球長(zhǎng)什么樣的。

那么如果假設(shè)麥哲倫和超級(jí)賽亞人一樣擁有無窮精力，把每條環(huán)球航路都試了個(gè)遍，是不是就能肯定地球是圓的了呢？答案依舊是否定的，這充其量只能排除“莫比烏斯帶”的情況（因?yàn)槟葹跛箮У倪吘壥羌獾?，船繞不過去）。如果地球是圓的，那么從同一個(gè)地點(diǎn)出發(fā)的幾條航線如下圖所示：

盡管這幾條航線南轅北轍，他們之間存在某種“相似性”（例如上圖中這幾條航線可以通過繞球心旋轉(zhuǎn)相互轉(zhuǎn)換）。而如果地球是一個(gè)圓環(huán)面，情況就不一樣了：

無論怎么“連續(xù)”變換，我們可以發(fā)現(xiàn)，這兩種航線都是不可能重合的。在數(shù)學(xué)里面，用同倫變換（Homotopy，也就是我們平常所說的拓?fù)渥儞Q）來表示這種“連續(xù)”的變換。這里的“連續(xù)”加了一個(gè)引號(hào)，是因?yàn)樵诓煌臄?shù)學(xué)分支里面，“連續(xù)變換”有不同的含義，以下是大致總結(jié)：

我們可以從中看出，就算是看似相似的兩個(gè)分支（例如代數(shù)拓?fù)渑c微分拓?fù)洌@兩個(gè)分支的基本思想有較大的差別），對(duì)同一個(gè)直觀概念也有不同的理解方式，而正是這些不同的理解方式造成了數(shù)學(xué)分支的多元化發(fā)展，也同時(shí)鑄就了這些不同分支之間的相輔相成。尊重并了解不同分支的不同思維習(xí)慣，是全面掌握這一分支的前提。相信上面這張表對(duì)讀者們了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展情況會(huì)有很大幫助。

我們回到圓環(huán)面的話題。我們把那兩條“同床異夢(mèng)”的航線的同倫等價(jià)類（見下圖）分別記作a和b。龐加萊（對(duì)，就是龐加萊猜想的提出者和混沌系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)者）在1895年首次給出了兩條不同航線a和b之間的“乘法”（這種乘法非常符合幾何直觀）[3]，因而賦予這些航線的同倫等價(jià)類以群的結(jié)構(gòu)。龐加萊把這個(gè)群稱作基本群（fundamental group），記作π1(M)（M在這里表示任一曲面，比如此處的圓環(huán)面。為簡(jiǎn)單起見我們只考慮道路聯(lián)通的曲面）。

圓環(huán)面的基本群有兩個(gè)自由生成元，且兩者互不相關(guān)，因此圓環(huán)面的基本群就是Z×Z，（兩個(gè)整數(shù)群的直積，不熟悉群論的讀者可以跳過），而球的基本群則是平凡（trival）的。不同曲面（幾何對(duì)象）的異同，可以在一定程度上從基本群的異同中看出端倪，這樣就把一個(gè)直觀卻難以描述的拓?fù)鋯栴}轉(zhuǎn)換為了一個(gè)抽象卻可以計(jì)算的代數(shù)問題。

一些細(xì)心的讀者注意到，基本群π1(M)中間有一個(gè)“1”，那么有沒有π0(M)，π2(M)，πn(M)呢？答案是肯定的，這些群被統(tǒng)稱為同倫群（homotopy group，嚴(yán)格定義可參考[6]的第一和四章），而基本群π1(M)又被稱作第一同倫群。數(shù)字“1”表示麥哲倫走的航線是一維的，如果航線是n維的（n維球面），對(duì)應(yīng)的同倫群就是第n同倫群（見下圖）。一個(gè)有趣的現(xiàn)象是，二維及以上的同倫群都是交換群，但基本群一般說來不是交換群。這也賦予了基本群在代數(shù)拓?fù)漕I(lǐng)域的特殊地位。

同倫群是描述曲面（幾何對(duì)象）連通性的最有效方式

到現(xiàn)在為止，讀者們也許對(duì)拓?fù)浜蛶缀蔚膮^(qū)別有了點(diǎn)懵懵懂懂的印象。我們所熟悉的幾何是一個(gè)古老的學(xué)科，它研究“形”的方方面面，例如線段長(zhǎng)度、面積大小、垂直平行關(guān)系等等。從這個(gè)角度看來，拓?fù)渌闶菐缀蔚囊粋€(gè)分支，只不過拓?fù)鋵W(xué)（特指代數(shù)拓?fù)洌?/span>的基本思想是以不變應(yīng)萬變，它只關(guān)心曲面（幾何對(duì)象）的內(nèi)在不變性（例如同倫群的結(jié)構(gòu)），而不關(guān)心曲面的面積、曲率等。麥哲倫的時(shí)代還沒有拓?fù)涞母拍?，所以才?huì)犯下這個(gè)以偏概全的錯(cuò)誤。

盡管同倫群能很好地描述曲面的連通性，它有有兩個(gè)最大的問題，一是高維同倫群計(jì)算過于復(fù)雜，需要綜合調(diào)用其他數(shù)學(xué)分支的思想（最常用的方法是纖維化）；二是不能很直觀地描述一些拓?fù)洳蛔兞俊＠鐖A環(huán)面上的“洞”（數(shù)學(xué)上稱之為虧格）就難以用同倫群來描述。

如何解決這一難題呢？在十九世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家貝蒂（Betti）從歐拉多面體公式中獲得靈感，使得任何曲面都可以有類似于歐拉公式那樣的結(jié)論。我們先來回憶一下歐拉多面體公式的定義：

這個(gè)公式只對(duì)多面體適用。要知道曲面可是很圓滑的，圓滑的人總是要比有棱有角的老實(shí)人難對(duì)付點(diǎn)。怎么把它推廣到任意曲面上去呢？答案：強(qiáng)行把圓滑的曲面進(jìn)行剖分，創(chuàng)造出它的棱和角。例如對(duì)于圓環(huán)面，可以考慮方體剖分（傳統(tǒng)的做法是三角剖分，但兩者并無實(shí)質(zhì)區(qū)別）：

這樣就可以應(yīng)用歐拉多面體公式了！不過正如上圖所示，同一個(gè)曲面可能有不同的剖分方式，而貝蒂則證明了無論如何剖分，面數(shù)-邊數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)都是一個(gè)常數(shù)，而且這個(gè)常數(shù)只和曲面上“洞”的個(gè)數(shù)（虧格）有關(guān)。這一結(jié)論可以被拓展到高維情景，并且貝蒂把高維“點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、邊數(shù)”的某種等價(jià)類定義為貝蒂數(shù)（Betti number，貝蒂稱之為“同調(diào)數(shù)”）。也許貝蒂不會(huì)想到，他的這一思想會(huì)成為現(xiàn)代代數(shù)拓?fù)涞暮诵乃枷搿?/span>

值得一提的是，就算強(qiáng)如龐加萊，也沒能發(fā)現(xiàn)貝蒂數(shù)中竟然也蘊(yùn)含著群的結(jié)構(gòu)（也就是同調(diào)群），這點(diǎn)令后來的數(shù)學(xué)家們感到詫異[5]。同調(diào)群的引入已經(jīng)是二十世紀(jì)以后的事情了，它能比貝蒂數(shù)更全面地反應(yīng)對(duì)應(yīng)曲面（幾何對(duì)象）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。所以若要確定某個(gè)曲面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，歸根結(jié)底，就是計(jì)算該曲面的同調(diào)群。同調(diào)群的準(zhǔn)確定義可以參考文獻(xiàn)[6]的第二章（第一章是講基本群，完全可以跳過）。

和同倫群一樣，同調(diào)群也有維數(shù)之分，不同的是n維同調(diào)群反應(yīng)了n維單形（也就是n維的點(diǎn)線面）的信息，而n維同倫群則反應(yīng)了n維“航線”的信息。這一差異也最終導(dǎo)致了兩個(gè)概念的殊途而不同歸——同調(diào)群的計(jì)算比同倫群簡(jiǎn)單一些（盡管也很麻煩），且更能直觀反應(yīng)曲面的拓?fù)洳蛔兞?/strong>；而同倫群更能反應(yīng)曲面的各種連通性。

上一節(jié)中提到過，確定某個(gè)曲面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)就是計(jì)算該曲面的同調(diào)群。所以二十世紀(jì)代數(shù)拓?fù)湟粋€(gè)核心課題，就是如何計(jì)算不同曲面（幾何對(duì)象）不同維數(shù)的同調(diào)群。這個(gè)話題一直活躍到今天。

計(jì)算同調(diào)群看起來輕松，實(shí)際上頗為不易，因?yàn)楦呔S的幾何對(duì)象沒辦法直接想象出來，只能像寫家書一樣系情于紙筆，用低維曲面把高維曲面簡(jiǎn)化出來。于是我們自然會(huì)聯(lián)想到一個(gè)問題：有沒有辦法通過數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，把高維同調(diào)群和低維同調(diào)群“聯(lián)系”起來，從而通過低維的同調(diào)群推導(dǎo)出高維的同調(diào)群呢？這便是同調(diào)代數(shù)（Homological Algebra）這個(gè)數(shù)學(xué)分支的精髓所在。而這種“聯(lián)系”高維和低維同調(diào)群的手段，被稱之為長(zhǎng)正合鏈（Long exact sequence）。

有長(zhǎng)必有短。短正合鏈（Short exact sequence）中只囊括了三個(gè)相同維數(shù)曲面之間的關(guān)系，是很容易得到的?？刹豢梢詮亩陶湘湷霭l(fā)，得到一個(gè)長(zhǎng)正合鏈呢？以下定理（這個(gè)定理非常重要，但似乎沒有名字）告訴了我們答案：

這一張圖反應(yīng)了同調(diào)代數(shù)的一大精髓

上圖中最后一行的長(zhǎng)正合鏈，被廣泛地運(yùn)用于計(jì)算一些特殊幾何對(duì)象的同調(diào)群（例如實(shí)射影空間，通過選取不同的A，B和C來實(shí)現(xiàn)）。所以，同調(diào)代數(shù)在代數(shù)拓?fù)渲邪缪莸?，就是穿針引線的角色！

當(dāng)然對(duì)于一些比較復(fù)雜的幾何對(duì)象（例如旋轉(zhuǎn)群SO(n)等），光用上面這種方法是不行的。同調(diào)代數(shù)中的另外一種方法，譜序列（Spectrum sequence），可以完成這一任務(wù)。譜序列的思想來源可以追溯到復(fù)分析中的一個(gè)問題[7]（Mittag-Leffler問題，也就是如何用一些局部信息確定黎曼面上的一個(gè)全局亞純函數(shù)）。而這個(gè)問題的解和某種同調(diào)群（?ech同調(diào)群，這個(gè)同調(diào)群依賴于局部覆蓋的選取，可以看做是包含了局部信息的同調(diào)群）直接相關(guān)。而?ech上同調(diào)正是由譜序列的方法得到的。

由于依賴于局部覆蓋的選取，?ech同調(diào)群（homology或cohomology）在計(jì)算上具有很大的靈活性。但一個(gè)強(qiáng)烈依賴于局部幾何信息的群，如何揭示出所在曲面的拓?fù)湫再|(zhì)呢？這就是法國(guó)數(shù)學(xué)家勒雷（Jean Leray）在1946年得到的重要結(jié)果——勒雷定理[6,7]（當(dāng)覆蓋無限加細(xì)后，?ech同調(diào)群就是單純同調(diào)群）。其證明方法需要用到（纖維化）的思想，可參考[6]的第三章或[7]的第四章。

勒雷

值得一提的是，勒雷也是一位偏微分方程的專家。他的標(biāo)志性成果是把拓?fù)涠壤碚摰母拍钜敕蔷€性方程中，從而提供了一個(gè)研究偏微分方程的全新視角（例如文獻(xiàn)[12]第十一章）。這種方法常常被用作判斷微分方程解的存在性和解的個(gè)數(shù)，以及解的穩(wěn)定性。

盡管代數(shù)拓?fù)涫且婚T相對(duì)年輕的數(shù)學(xué)分支，其實(shí)它的主要思想都是來自于對(duì)幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)描述，這些思想的基礎(chǔ)就是第二和三章的內(nèi)容，看似不拘一格實(shí)則清晰直白，易于想象。有了基本思想的牽引，數(shù)學(xué)計(jì)算也只是瑣事一件。這和我們中小學(xué)階段的數(shù)學(xué)有很大區(qū)別，因?yàn)槲覀兇蠖剂?xí)慣了繁瑣的計(jì)算，這樣在相當(dāng)程度上抑制了我們的想象力。

國(guó)內(nèi)學(xué)生習(xí)慣的是這種繁瑣卻又重復(fù)的計(jì)算

除此之外，小編還希望通過這篇文章，讓讀者們初步感受到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的魅力，以及不同數(shù)學(xué)分支之間是如何交融在一起的。數(shù)學(xué)上許多很“天才”的構(gòu)想，都是受到了其他數(shù)學(xué)分支，甚至數(shù)學(xué)以外的學(xué)科的影響。例如本文中同調(diào)群的計(jì)算方法來自于同調(diào)代數(shù)，而譜序列的思想起源于復(fù)分析。初次學(xué)習(xí)這些概念的讀者一定會(huì)遇到很大困擾（小編就是如此），但如果能從歷史的角度觀察它們是如何一步步形成的（這個(gè)思想在小編的文章[13]中提到過），我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，許多看似不可思議的構(gòu)想實(shí)際上都是很符合直觀的。

其實(shí)理論數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)并沒有太大的鴻溝。例如代數(shù)拓?fù)?，不僅在粒子物理領(lǐng)域找到了自己的一席之地，最近還在神經(jīng)科學(xué)中（更準(zhǔn)確地，是描述位置細(xì)胞place cell之間的相互溝通）初露頭角[9-10]；其中緣由，正是從一個(gè)簡(jiǎn)單的小白鼠實(shí)驗(yàn)（小白鼠對(duì)地點(diǎn)的記憶更多取決于place cell網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而非幾何結(jié)構(gòu)）找到了靈感[11]。因此在二十一世紀(jì)的今天，生物學(xué)將會(huì)成為數(shù)學(xué)的發(fā)展方向之一。

最后，讀者們?nèi)粲袡C(jī)會(huì)環(huán)游全球，要特別注意航行方向。因?yàn)槿绻厍虿恍易兂闪艘粋€(gè)圓環(huán)面，而你卻繞著南北方向航行，那可就虧大了。

參考文獻(xiàn)：

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[2] https://en./wiki/Ferdinand_Magellan#Fleet

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[10] R. Ghrist et. al,Barcodes: the persistent topology of data.

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[13] https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyNjc2NzY4OA==&mid=2247483952&idx=1&sn=62cd64ee278786e3a4f4efb4a83770fb&chksm=e86a2417df1dad01db33cdaffaa191b2cbab5c75edbd480435bcdbe854c5d07ce6cca40d4d79#rd