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霍普夫 胡 作玄 (中國(guó)科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所) 霍普夫，Ｈ．(Hopf，Heinz)1894年11月19日生于德國(guó)布雷斯勞(今波蘭符勞斯瓦夫)；1971年6月3日卒于瑞士澤利康(Zollikon)．?dāng)?shù)學(xué)． 霍普夫的青年時(shí)代在家鄉(xiāng)度過(guò)，1914年入布雷斯勞大學(xué)學(xué)習(xí)，由于第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)，旋即被征入伍．1917年夏天休假時(shí)，他大膽地去聽(tīng)Ｅ．施密特(Schmidt)集合論的課程，其中講述Ｌ．Ｅ．Ｊ．布勞威爾(Brouwer)用連續(xù)映射度證明維數(shù)不變性．這次聽(tīng)講決定了他未來(lái)數(shù)學(xué)的方向．1920年，他先后在柏林大學(xué)、海德堡大學(xué)及格丁根大學(xué)繼續(xù)求學(xué)． 1920年，施密特到柏林大學(xué)任教授，霍普夫跟著他學(xué)習(xí)．在施密特的指導(dǎo)下，1925年霍普夫在柏林大學(xué)獲博士學(xué)位，論文題目是“論流形的拓?fù)渑c度量的關(guān)系”( ber Zusammenh nge zwisc－h(huán)en Topologie und Metrik von Mannigfaltigkeiten)．1925年他到格丁根大學(xué)進(jìn)修一年，受到Ｅ．諾特(Noether)的強(qiáng)烈影響，并結(jié)識(shí)蘇聯(lián)來(lái)的數(shù)學(xué)家П．С．亞歷山德羅夫，兩人結(jié)下終身友誼． 1926年他在柏林大學(xué)取得授課資格，任講師．1927—1928年冬季學(xué)期，他和亞歷山德羅夫在洛克菲勒基金會(huì)的資助下，到普林斯頓大學(xué)訪問(wèn)．當(dāng)時(shí)，普林斯頓由于О．維布侖(Veblen)、Ｓ．萊夫謝茨(Lefschetz)及Ｊ．Ｗ．亞歷山大(Alexander)的工作已成為世界拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)中心．霍普夫同他們的交往使他獲益非淺．他在美國(guó)發(fā)表兩篇論文，推廣萊夫謝茨不動(dòng)點(diǎn)的工作，并開(kāi)始研究同倫映射問(wèn)題．1928年夏天他和亞歷山德羅夫又在格丁根聚首，每個(gè)人開(kāi)一門(mén)課，而且共同組織拓?fù)鋯?wèn)題討論班．這時(shí)Ｒ．庫(kù)朗(Courant)邀請(qǐng)他們?yōu)樗骶幍摹包S皮叢書(shū)”撰寫(xiě)拓?fù)鋵W(xué)，他們接受了邀請(qǐng)，但是低估了其困難，兩人花了七年時(shí)間，《拓?fù)鋵W(xué)》第一卷(Topologie I)才得以在1935年問(wèn)世，而預(yù)期的第二卷則因種種原因根本無(wú)法提到議事日程． 1931年，霍普夫被瑞士蘇黎士理工大學(xué)聘為正教授，從此在瑞士創(chuàng)建一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的中心．20多年間培養(yǎng)了許多人才，例如Ｅ．施蒂費(fèi)爾(Stiefel)、Ｂ．?？寺?Eckmann)、Ｗ．吉森(Gysin)、Ｈ．薩梅爾森(Samelson)等都是拓?fù)浼捌渌I(lǐng)域的專家．霍普夫也成為第二次世界大戰(zhàn)前后歐洲拓?fù)鋵W(xué)最有影響的權(quán)威．其間，他積極參與國(guó)際數(shù)學(xué)活動(dòng)，從1932年蘇黎士到1966年莫斯科，他參加了歷屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，而且從1955—1958年擔(dān)任國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席．1935年他參加莫斯科國(guó)際拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)，結(jié)識(shí)了當(dāng)時(shí)所有的大家．1950年他參加慶祝Ｆ．塞韋里(Severi)70壽誕的國(guó)際會(huì)議，這是戰(zhàn)后第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家的大型聚會(huì)．經(jīng)過(guò)15年的滄桑，他與老朋友亞歷山德羅夫再度相逢，共度一段幸福時(shí)光．他于1964年退休，1967年夫人去世后，他的健康也逐步變壞，1971年4月，重病住院，再也沒(méi)能恢復(fù)． 霍普夫一生發(fā)表近70篇論文，合著《拓?fù)鋵W(xué) I》一書(shū)，他的《整體微分幾何》(文獻(xiàn)[6])講演筆記于1983年出版． 霍普夫的主要貢獻(xiàn)分述如下． 1．代數(shù)拓?fù)鋵W(xué) (1)把群引入組合拓?fù)?霍普夫在諾特的影響下，正式把抽象代數(shù)引入拓?fù)鋵W(xué)．原來(lái)的工具是線性代數(shù)——矩陣和行列式，他把它們轉(zhuǎn)化為阿貝爾群及其同態(tài)，由此，原來(lái)的貝蒂(Betti)數(shù)及撓系數(shù)納入阿貝爾群之中而成為同調(diào)群．這個(gè)概念首先出現(xiàn)在他1928年推廣萊夫謝茨的不動(dòng)點(diǎn)公式的論文“歐拉－龐加萊公式的推廣” (Eine verallgemeinerung der Euler Poincaré)中．在他與亞歷山德羅夫合著的《拓?fù)鋵W(xué) I》中，他們系統(tǒng)總結(jié)了當(dāng)時(shí)的點(diǎn)集拓?fù)浼按鷶?shù)拓?fù)涞睦碚?，特別是Ｃ．若爾當(dāng)(Jordan)定理，區(qū)域不變性定理、對(duì)偶定理、映射度、不動(dòng)點(diǎn)定理及向量場(chǎng)理論．但就在1935年，隨著上同調(diào)、同倫論、纖維叢的引進(jìn)，拓?fù)鋵W(xué)的面貌產(chǎn)生巨大改變． (2)同倫論 霍普夫是同倫論的奠基者之一．在他之前，Ｈ．龐加萊(poincaré)引進(jìn)的基本群是第一個(gè)同倫群，布勞威爾利用拓?fù)涠燃坝成漕愖C明了一些定理，但是，基本群一般不一定是阿貝爾群而與其他同倫群大相徑庭．布勞威爾只是用拓?fù)涠燃坝成漕愖鳛楣ぞ?，而?duì)映射類本身并沒(méi)有研究．真正從拓?fù)浣嵌葋?lái)研究同倫論的是霍普夫．他明確提出兩空間映射的同倫等價(jià)關(guān)系，證明同維數(shù)球面Sn之間的映射的唯一的同倫不變量就是布勞威爾度． 1931年他對(duì)S3到S2的映射的同倫類的工作引起了轟動(dòng)．原來(lái)一般認(rèn)為所有映射都同倫于常數(shù)映射，結(jié)果他證明有可數(shù)無(wú)窮多，他通過(guò)霍普夫映射具體構(gòu)造出這些類，并引進(jìn)這些映射的霍普夫不變量的概念．一般認(rèn)為，這個(gè)結(jié)果標(biāo)志著同倫論的誕生．它直接影響Ｗ．胡爾維茨(Hurewicz)在1935—1936年間定義同倫群的概念，霍普夫構(gòu)造法也直接引導(dǎo)到纖維空間同倫群的研究．后來(lái)，荷蘭數(shù)學(xué)家Ｈ．弗洛登塔爾(Freudenthal)綜合霍普夫及胡爾維茨的研究，證明霍普夫分類的完備性并發(fā)現(xiàn)懸垂映射．從此同倫論成為拓?fù)鋵W(xué)中一個(gè)熱門(mén)．霍普夫在1935年也把上述結(jié)果推廣到S2n－1到Sn的映射中去，從而產(chǎn)生廣義霍普夫不變量． 除了同倫群之外，霍普夫還研究由n維多面體到Sn的映射的同倫分類問(wèn)題，其后這導(dǎo)致上同倫群的研究．1933年他對(duì)這種情形證明只用同調(diào)方法即可完全分類．在這篇論文中霍普夫刻畫(huà)同倫類集合[X；Sn]的元素，其中X是n維有限單純復(fù)合形，他證明f，g屬于同一類當(dāng)且僅當(dāng)它們定義相同的同態(tài)：Hn(X；Z)→Hn(Sn；Z)及Hn(X；Z／mz)→ Hn(Sn；Z／mz)(m≥ 2)． (3)群流形 1939年起，霍普夫試圖把李群的結(jié)果推廣到一般情形，引進(jìn)H流形及H空間的概念．H流形是具有么元的連續(xù)乘法的緊流形，1941年他證明H流形具有多項(xiàng)式上同調(diào)環(huán)，每個(gè)生成元均為奇數(shù)維．這推廣了當(dāng)時(shí)已知的四大類典型李群的同調(diào)的結(jié)果．他完全用同調(diào)表述他的結(jié)果，工具是逆同態(tài)．似乎霍普夫不喜歡上同調(diào)，也從來(lái)沒(méi)有用過(guò)它．他還應(yīng)用上述理論證明緊李群G的秩(極大環(huán)面T的維數(shù))等于外代數(shù)H*(G；Q)的生成元的數(shù)目，且G／T的歐拉示性數(shù)等于G的外爾(Weyl)群的階． (4)同調(diào)代數(shù) 霍普夫是同調(diào)代數(shù)奠基人之一，他于1941年引進(jìn)第一個(gè)群的同調(diào)的例子．他的研究來(lái)源于胡爾維茨1936年的一個(gè)結(jié)果．如果一個(gè)多面體的高維同倫群均平凡，則其基本群唯一決定其同調(diào)群．霍普夫得出2維同調(diào)群的具體結(jié)果：如X是連通單純復(fù)合形，π1(X)＝G，且所有高階同倫群均為O，則對(duì)任何G的表示序列O→R→F→G→O，其中F為自由群， [F，R]為F與R生成的換位子群．這實(shí)際上是G的同調(diào)群，只是沒(méi)有名稱．在后來(lái)的論文中，霍普夫繼續(xù)引進(jìn)同調(diào)代數(shù)的工具——自由消解序列來(lái)求高階群的同調(diào)． 2．微分幾何 (1)整體微分幾何 雖說(shuō)霍普夫的主要貢獻(xiàn)是拓?fù)鋵W(xué)，但他的主要興趣是幾何學(xué)，特別是整體微分幾何學(xué)．亞歷山德羅夫認(rèn)為，他最關(guān)心的課題是“整體微分幾何學(xué)中的拓?fù)鋯?wèn)題與拓?fù)鋵W(xué)中的幾何問(wèn)題”，即拓?fù)渑c幾何的邊緣地帶．當(dāng)時(shí)，局部微分幾何學(xué)已發(fā)展成熟，但拓?fù)鋵W(xué)的工具還不具備，因此，整體微分幾何學(xué)方興未艾．其中最主要的問(wèn)題自然是局部及整體關(guān)系的問(wèn)題，這也構(gòu)成他的博士論文的主題．他的博士論文后來(lái)分成兩部分發(fā)表，一部分是“論克里福德－克萊因空間問(wèn)題”(Zur Clifford－Klei－nschen Raumproblem)，另一部分是“論閉超曲面的全曲率”( berdie Curvatura integra geschlossener Hyperfl chen)．前者繼續(xù)Ｗ．基靈(Killing)的工作，對(duì)于三維單連通常曲率完備黎曼流形從整體上等距于歐氏空間、球狀空間或雙曲空間這個(gè)基本定理給出一個(gè)嚴(yán)密的證明，并且通過(guò)構(gòu)造一系列球狀空間型完成其分類． 他對(duì)整體微分幾何的另一個(gè)貢獻(xiàn)是引進(jìn)完備性概念，后來(lái)同Ｗ．林諾(Rinow)一起更確切地引進(jìn)完備曲面的概念． (2)W曲面 霍普夫研究W曲面，即三維空間中的曲面，每點(diǎn)兩個(gè)主曲率k1，k2之間存在關(guān)系W(k1，k2)＝0.1950年，他推廣Ｈ．李伯曼(Liebmann)在1900年證明的一個(gè)定理，證明在所有虧格為0的閉曲面中，球面是唯一具有常中曲率曲面．這里他去掉了凸性假設(shè)． 解析的W曲面，臍點(diǎn)處x只取以下諸值． 0，∞；－1，3±1，5±1，…，(2m＋1)±1，…． (3)復(fù)流形 霍普夫是首先對(duì)復(fù)流形進(jìn)行研究的數(shù)學(xué)家之一．他最早證明不是所有閉、偶數(shù)維定向流形都允許復(fù)結(jié)構(gòu)，甚至連近復(fù)結(jié)構(gòu)也沒(méi)有．如球面S4，S8等．他還引進(jìn)新的復(fù)流形如S2m－1×S′．1948年，他引入著名的霍普夫曲面，它是非代數(shù)曲面也非環(huán)面的解析曲面，通過(guò)它的構(gòu)造，還得出一系列非代數(shù)解析曲面．1955年，他引入霍普夫σ過(guò)程，通過(guò)這個(gè)過(guò)程對(duì)于復(fù)解析曲面進(jìn)行局部變換，使所得曲面有更好的性質(zhì)．這是代數(shù)幾何相應(yīng)變換的推廣． 3．其他 霍普夫?qū)?shù)論也有多種研究，對(duì)拓?fù)淙旱亩?，以及點(diǎn)集拓?fù)湟灿姓撌觯? 最后我們引用陳省身為《整體微分幾何》所寫(xiě)的序言的一段來(lái)概括霍普夫的工作：“霍普夫是一位能通過(guò)特款發(fā)現(xiàn)重要數(shù)學(xué)思想和新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)家，在最簡(jiǎn)單的背景中，問(wèn)題的核心思想或其難點(diǎn)，通常變得十分明澈，霍普夫的數(shù)學(xué)表述是精確性和明澈性的典范．” |
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來(lái)自： l1hf > 《數(shù)學(xué)家》
