“拓撲”是我們常常會聽見一個數(shù)學(xué)名詞，乍聽起來，它好像是一個很“玄”的東西，但實際上它并不神秘，“拓撲”已經(jīng)成為一種再基本不過的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)語言，沒有這樣的基本結(jié)構(gòu)，就不可能有今天的數(shù)學(xué)。那么，“拓撲”到底是一種怎樣的數(shù)學(xué)概念呢？

拓撲結(jié)構(gòu)

從定義上來說，拓撲是賦予在集合上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在滿足規(guī)定的三條公理后，這個集合連同這個結(jié)構(gòu)就成為一個拓撲空間，這個結(jié)構(gòu)就被稱為“拓撲”。也就是說，“拓撲”是人為規(guī)定出來的一種結(jié)構(gòu)，它的基本組成元素是所謂的“開集”?？梢钥吹?，這樣原始的拓撲是非常寬松的，它并沒有給集合太強的約束，在這種情況下，集合上的拓撲結(jié)構(gòu)往往非常多，其中最簡單的拓撲由兩個元素組成，也就是空集和集合本身，這種拓撲稱為“最粗”的拓撲，相對的，就有“最細”的拓撲，它由集合的所有子集組成。顯而易見的是，這兩種拓撲都是滿足拓撲公理的。

歐式空間是我們非常熟悉的空間，它帶有一個普通的歐式距離結(jié)構(gòu)，這種距離也就是平常我們所接觸的空間距離。歐式空間這樣重要的空間顯然應(yīng)該成為一個拓撲空間，那么它的拓撲結(jié)構(gòu)是怎么樣的呢？對于距離空間而言，它擁有一個由距離所誘導(dǎo)出來的拓撲結(jié)構(gòu)，以一維歐式空間直線為例，它在距離拓撲下的開集就是開區(qū)間，閉集就是閉區(qū)間，這樣的拓撲對于距離空間而言是非常自然的，它常常被稱為距離拓撲。

對于一個集合來說，如果它沒有任何附加的結(jié)構(gòu)，那么就很難在上面進行數(shù)學(xué)操作，因為這樣的集合太松散了，以至于幾乎無法討論。所以我們需要對集合賦予結(jié)構(gòu)，也就是加上一些約束條件，使得它可以成為數(shù)學(xué)活動的舞臺，而拓撲就是這樣一種基本的結(jié)構(gòu)。除了拓撲之外，當然還有其他許多重要數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，例如群結(jié)構(gòu)，對集合規(guī)定運算并使得元素滿足一些條件后，它就成為了一個群。

給定一個拓撲空間后，我們就要研究它的性質(zhì)，因而有了緊集，稠密性，連通性等概念。而僅僅研究一個拓撲空間顯然是不夠的，有了不同的拓撲空間之后，首先關(guān)心的問題是它們有什么區(qū)別。拓撲學(xué)這門學(xué)科所關(guān)注的是空間在連續(xù)變化下保持不變的性質(zhì)，也就是所謂的拓撲不變量，在這種情況下，我們不再關(guān)心空間的具體形狀，如果一個空間可以由另一個空間連續(xù)變化而來，那么應(yīng)該將它們視為同一個東西，這也就是“同胚”的概念，典型的例子就是咖啡杯可以連續(xù)變化為類似于甜甜圈的圓環(huán)。而著名的龐加萊猜想就是單連通閉三維流形的同胚分類問題。

在學(xué)習(xí)微積分時，我們都知道函數(shù)的連續(xù)性是由“δ-ε”語言所嚴格定義的，但實際上，它完全被包含在了拓撲范圍內(nèi)。兩個拓撲空間之間映射的連續(xù)性被定義為：如果開集的原像為開集，那么映射連續(xù)?？梢钥吹剑唉?ε”語言完全就是這種拓撲語言的特例，而微積分所關(guān)心的不過是歐式空間而已。有了拓撲之后，我們所能研究的空間范圍就大大地擴展了，例如函數(shù)本身也能構(gòu)成拓撲空間，這些空間就成為了泛函分析的研究對象。

說了這么多，“拓撲”可能看起來還是很抽象，但從本質(zhì)來看，“拓撲”的本質(zhì)仍然在幾何的范疇之內(nèi)，但與傳統(tǒng)的幾何不同，“拓撲”將空間實體抽象成為了沒有形狀和大小的“點”，從而極大地拓展了“空間”這個概念。

拓撲學(xué)

最后我們再來看看“拓撲學(xué)”這門數(shù)學(xué)學(xué)科。拓撲是Topology的音譯，它原本的意思是地形地貌，后來被賦予了“位置分析”的內(nèi)涵。最早提出“位置分析”這種數(shù)學(xué)思想的是萊布尼茨，而拓撲學(xué)的真正起源恐怕要追溯到歐拉關(guān)于著名的“七橋問題”的研究。

拓撲學(xué)發(fā)展到今天，形成了點集拓撲學(xué)和代數(shù)拓撲學(xué)兩大分支，前者又稱一般拓撲學(xué)，它來源于康托關(guān)于集合論的工作，在弗雷歇和豪斯多夫給出了許多嚴格定義的概念以后，公理化的一般拓撲學(xué)才正式得以發(fā)展，這樣的數(shù)學(xué)思想在波蘭學(xué)派關(guān)于泛函分析和蘇聯(lián)學(xué)派關(guān)于函數(shù)空間的工作中得以發(fā)揚光大，后來法國布爾巴基學(xué)派進一步擴充了這一領(lǐng)域的內(nèi)容，基本形成了今天點集拓撲學(xué)的面貌，許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)內(nèi)容利用拓撲重新解釋以后變得更加清晰。

而代數(shù)拓撲學(xué)的創(chuàng)始人則是偉大的龐加萊，他創(chuàng)造性地將代數(shù)學(xué)的方法引進了拓撲學(xué)的研究中。來自拓撲本身的方法是非常稀少的，所以利用強有力的代數(shù)方法來研究拓撲是勢在必行的。龐加萊定義了如今被稱為同調(diào)群和基本群的基本代數(shù)拓撲不變量，而后隨著數(shù)學(xué)發(fā)展，代數(shù)拓撲逐漸分成了“同倫論”和“同調(diào)論”兩大分支。簡單來說，拓撲空間之間的映射是同倫的當且僅當其中一個可以連續(xù)變化為另一個，更進一步，映射的同倫關(guān)系實際上是等價關(guān)系，這些映射于是就被分為了不同的等價類。研究拓撲空間和映射的同倫分類就是同倫論的基本內(nèi)容，它的基本代數(shù)工具是同倫群，而例如著名的龐加萊猜想，它本質(zhì)上就是同倫論中的一個難題。

從目的上來說，同調(diào)論同樣是要構(gòu)造拓撲不變量，但同調(diào)所描述的關(guān)系就沒有同倫那樣強烈的幾何直觀意義，但好處在于擺脫過多的幾何直觀后，可以更加完全地利用代數(shù)方法。而且從當今的研究來看，同調(diào)論幾乎占據(jù)了主導(dǎo)地位，其中一個原因可能在于一般情況下同調(diào)群比同倫群更容易計算，也就更容易獲得拓撲空間的性質(zhì)。

最后說一下微分拓撲，有些時候它被稱為是拓撲學(xué)的第三個分支，但從本質(zhì)來說，它的方法并沒有超出同倫論和同調(diào)論的范圍，只不過它的研究對象更加特殊。拓撲空間本身非常一般，所以為了更好地適用于某些情況，還要加上一些限制，微分結(jié)構(gòu)就是其中一種，加上這種結(jié)構(gòu)后，拓撲空間就成為了“微分流形”，這就是微分拓撲的研究對象，同樣地，微分拓撲的目的仍然是尋找拓撲不變量，不過這里是在微分同胚下的不變量。例如黎曼幾何，它研究的就是黎曼流形，也即帶有黎曼度量的微分流形，這實際上就是傳統(tǒng)的歐式幾何的推廣，在歐式幾何里，那個流形就是歐式空間，度量就是普通的歐式度量。

以上大概就是拓撲結(jié)構(gòu)和拓撲學(xué)這門學(xué)科的大概含義，當然，這里是非常淺顯的概述，“拓撲”一詞背后的含義實際上是非常豐富和深刻的。