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哈密頓 南京大學 易照華 哈密頓，W．R．(Hamilton，William Rowan)1805年8月4日生于愛爾蘭都柏林；1865年9月2日卒于都柏林．力學、數(shù)學、光學． 哈密頓的父親阿其巴德(Archibald Rowan Hamilton)為都柏林市的一個初級律師．哈密頓自幼聰明，被稱為神童．他三歲能讀英語，會算木；五歲能譯拉丁語、希臘語和希伯來語，并能背誦荷馬史詩；九歲便熟悉了波斯語，阿拉伯語和印地語．14歲時，因在都柏林歡迎波斯大使宴會上用波斯語與大使交談而出盡風頭． 哈密頓自幼喜歡算術(shù)，計算很快．1818年遇到美國“計算神童”Z．科耳本(Colburn)后對數(shù)學產(chǎn)生了更深厚的興趣．1820年再相逢時，哈密頓已閱讀了I．牛頓(Newton)的《自然哲學的數(shù)學原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，并對天文學有強烈愛好，常用自己的望遠鏡觀測大體；還開始讀P．S．拉普拉斯(Laplace)著作《天體力學》(Mécanique cé1este)，1822年指出了此書中的一個錯誤．同年開始進行科學研究工作，對曲線和曲面的性質(zhì)進行了系列研究，并用于幾何光學．他的報告送交愛爾蘭科學院后，R．J．布林克萊(Brinkley)院士評論說：“這位年輕人現(xiàn)在是這個年齡(17歲)的第一數(shù)學家．” 1823年7月7日，哈密頓以入學考試第一名的成績進入著名的三一學院，得到正規(guī)的大學訓練，后因成績優(yōu)異而多次獲得學院的古典文學和科學的最高榮譽獎．他在1823到1824年間完成了多篇有關(guān)幾何學和光學的論文，其中在1924年12月送交愛爾蘭皇家科學院會議的有關(guān)焦散曲線(caustics)的論文，引起科學界的重視． 1827年6月10日，年僅22歲的哈密頓被任命為敦辛克天文臺的皇家天文研究員和三一學院的天文學教授． 哈密頓有兄弟姐妹八人，家庭負擔很重；為減輕父親經(jīng)濟壓力，他畢業(yè)后帶著三個妹妹住到敦辛克天文臺．哈密頓不擅長天文觀測，在天文臺工作的五年中，仍主要從事理論研究；但因與外界很少聯(lián)系，工作成果并未引起重視． 1832年，哈密頓成為愛爾蘭皇家科學院院士后非常活躍，與學術(shù)界人士廣泛交流討論，包括一些詩人和哲學家．他從S．T．科勒里奇(Coleridge)的作品中了解到I．康德(Kant)的哲學，熱情地讀完康德主要著作《純理性批判》(Kritik der Reinen Vernunft)．康德哲學觀點對哈密頓后期的工作有很大影響． 1834年，哈密頓發(fā)表了歷史性論文“一種動力學的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成為動力學發(fā)展過程中的新里程碑．文中的觀點主要是從光學研究中抽象出來的． 在對復數(shù)長期研究的基礎(chǔ)上，哈密頓在1843年正式提出了四元數(shù)(quaternion)，這是代數(shù)學中一項重要成果． 由于哈密頓的學術(shù)成就和聲望，1835年在都柏林召開的不列顛科學進步協(xié)會上被選為主席，同年被授予爵士頭銜．1836年，皇家學會因他在光學上的成就而授予皇家獎?wù)拢?837年，哈密頓被任命為愛爾蘭皇家科學院院長，直到1845年．1863年，新成立的美國科學院任命哈密頓為14個國外院士之一． 哈密頓的家庭生活是不幸福的．早在1823年，他愛上了一位同學的姐姐卡塞琳·狄斯尼(Catherine Disney)，但遭到她的拒絕，哈密頓卻終身不能忘情．在戀愛生活中一再碰壁之后，他于1833年草率地同海倫·貝利(Helen Bayly)結(jié)婚．雖然生育二子一女，終因感情不合而長期分居．哈密頓經(jīng)常不能正規(guī)用餐，而是邊吃邊工作．他去世后，在他的論文手稿中找到不少肉骨頭和吃剩的三明治等殘物． 哈密頓工作勤奮，思想活躍．發(fā)表的論文一般都很簡潔，別人不易讀懂，但手稿卻很詳細，因而很多成果都由后人整理而得．僅在三一學院圖書館中的哈密頓手稿，就有250本筆記及大量學術(shù)通信和未發(fā)表論文．愛爾蘭國家圖書館還有一部分手稿． 他的研究工作涉及不少領(lǐng)域，成果最大的是光學、力學和四元數(shù)．他研究的光學是幾何光學，具有數(shù)學性質(zhì)；力學則是列出動力學方程及求解；因此哈密頓主要是數(shù)學家．但在科學史中影響最大的卻是他對力學的貢獻． 1．經(jīng)典力學的新里程碑 經(jīng)典力學自牛頓創(chuàng)立(1687)以后，到J．L．拉格朗日(Lagrange)建立“分析力學”(1788)之前，稱為牛頓力學；1788年以后稱拉格朗日力學；1834年，哈密頓的著名論文“一種動力學的普遍方法”發(fā)表后，又稱為哈密頓力學，它是力學發(fā)展中的新里程碑，在現(xiàn)代力學和物理學中有廣泛應用．哈密頓的貢獻主要有下列三個內(nèi)容． (1)哈密頓原理 哈密頓在1824—1832年間對幾何光學的系列研究基礎(chǔ)上，認為可找到一種普遍原理，他認真研究了L．歐拉(Euler)和拉格朗日的最小作用原理，用拉格朗日函數(shù) L=T-V，(1) 建立了等式 其中T，V為所討論的力學系統(tǒng)總動能和勢能．勢能V不僅為廣義坐標qi的函數(shù)，還依賴廣義速度qi(=dqi/dt)和時間t．當V只依賴于廣義坐標時，S就可化為拉格朗日原理中的作用．另外，哈密頓認為力學系統(tǒng)的實際運動不一定使作用S為最??；故哈密頓提出的原理叫做穩(wěn)定作用原理．由S的一階變分為0，可導出力學系統(tǒng)的運動方程．雖然方程中的函數(shù)有改變，但仍稱為拉格朗日運動方程： (2)哈密頓正則方程組 從哈密頓原理求出的運動方程(3)是二階常微分方程組．1835年，哈密頓利用廣義動量 作為另一組變量，并引入一個新的函數(shù) H是pi，qi，t的函數(shù)．用H可把運動方程(3)式化為一階方程組： 這樣的方程組后來被稱為哈密頓正則方程組，函數(shù)H則稱為哈密頓函數(shù)；pi，qi稱正則共軛變量． 哈密頓在提出正則方程組(5)時指出，可選擇適當?shù)淖儞Q，使變換后的新變量仍為正則共軛變量，但新哈密頓函數(shù)可能少包含某些新坐標——循環(huán)坐標．每增加一個循環(huán)坐標，運動方程可降低二階，由此可作為正則方程組的一種原則解法．這種使運動方程保持正則方程組形式的變換，稱為正則變換．后來有很大發(fā)展，并有廣泛應用． (3)哈密頓-雅可比方法 哈密頓結(jié)合作用和正則方程組的定義，引入輔助函數(shù)W 對于滿足正則方程組(5)式的解qi，pi有 由此可把W表示為廣義坐標qi和n個任意常數(shù)ai以及時間t的函數(shù)，而且滿足關(guān)系 (8)式實際上是函數(shù)W=W(qi，αi，t)對自變量qi，t的一個偏微分方程．這樣就把正則方程組(2)式的解與偏微分方程(8)式的解聯(lián)系起來了． 后來經(jīng)過C．G．J．雅可比(Jacobi)在1837—1842年的系列研究，利用正則變換使新哈密頓函數(shù)等于0，也得到偏微分方程(8)；而且證明，對(8)式的任意一個完全解(即解出的函數(shù)W包含全部n個廣義坐標qi，n個獨立積分常數(shù)ai和時間t)， W=W(qi，αi，t)，(9) 由相應關(guān)系 解出的 pi=pi(αi，βi，t)，qi=qi(αi，βi，t)(11) 就是原正則方程組(2)式的通解，其中βi為另外n個獨立積分常數(shù)． 這就給出了正則方程組的另一種原則解法，叫做哈密頓-雅可比方法；偏微分方程(8)就稱為哈密頓一雅-比方程．積分常數(shù)ai，βi稱為正則常數(shù)．這些成果不僅推動力學的發(fā)展，也在變分法和微分方程的發(fā)展中有重要作用． 哈密頓的力學貢獻很快在天體力學中廣泛應用，用哈密頓正則方程組和正則變換建立天體運動方程及相應解法，促使天體力學在19世紀后期形成了發(fā)展高潮． 但在19世紀的數(shù)學界，對哈密頓力學有爭議．例如著名數(shù)學家F．克萊因(Klein)就說過：哈密頓的結(jié)果很漂亮，但沒有用．以后的情況否定了這種看法． 20世紀以來，在現(xiàn)代物理學各分支，如波動力學、量子力學、相對論、原子物理學的建立過程中，哈密頓力學都起了重要作用．量子力學 理學的基石．50年代以后，一批數(shù)學和力學家們用現(xiàn)代數(shù)學提高了哈密頓力學的深度，其中代表作是蘇聯(lián)著名力學家B．И．阿諾德(ApHoлЬД)所著的《經(jīng)典力學的數(shù)學方法》(Mathe－matical methods of classical mechanics，1974年出俄文版，1978年出英譯本)．該書在辛流形(symplectic manifold)上建立哈密頓力學，使哈密頓力學現(xiàn)代化． 人們還發(fā)現(xiàn)，哈密頓正則方程組在計算方法上有特殊優(yōu)點，只要適當建立相應的數(shù)值積分方法，可使誤差積累很慢，適用于計算步數(shù)很大的課題．中國計算數(shù)學家馮康等建立的辛積分法，符合哈密頓方程組的特點，計算效果很好，受到國際上的重視． 2．四元數(shù)的創(chuàng)立者 哈密頓研究四元數(shù)花的時間最多，前后約30年．早在1827年，他就開始研究復數(shù)性質(zhì)，到1837年正式提出復數(shù) 不是a與bi的和，而是實數(shù)a，b的有序偶(a，b)．只要明確有序偶的運算規(guī)則，就可不用i而建立全部復數(shù)理論．由此誕生復數(shù)代數(shù)． 復數(shù)可以表示平面上的向量，但實用向量應是三維的，是否有“三維復數(shù)”？1830年后，不少著名數(shù)學家如 C．F．高斯(Gauss)等都在探求．哈密頓在弄清復數(shù)之后，仍按實數(shù)性質(zhì)探求這種具有三個分量的“復數(shù)”．他終于成功了，可是所得的新數(shù)只能是四個分量，而且不符合乘法交換律．哈密頓在1843年把所得的新數(shù)命名為四元數(shù)，它的一般形式為 p=a＋bi+cj+dk， (12) 其中a，b，c，d是實數(shù)；a稱為四元數(shù)的數(shù)量部分，另三項是向量部分．i，j，k稱定性單元，類似于三維坐標軸方向的單位向量；b，c，d為某點在三維坐標系中的坐標，即四元數(shù)的向量分量．研究成果載于他的《四元數(shù)講義》(Lectures on quaternion，1853)． 哈密頓定義四元數(shù)的和差即為數(shù)量部分及各向量分量的和差；四元數(shù)的乘積中，各分量相乘仍用實數(shù)乘法規(guī)則，但定義 這樣，四元數(shù)的乘法不符合交換律，但符合結(jié)合律． 哈密頓還引進了四元數(shù)P的逆 p-1=(a-bi－cj-dk)/N(p)， (14) 而 N(p)=a2+b2+c2＋d2 (15) 稱為四元數(shù)P的模． 另外，哈密頓還提出了以后通用的微分算子 對于任一函數(shù)u(x，y，z)，有 哈密頓創(chuàng)立四元數(shù)后非常高興，自認為與微積分一樣重要，會成為數(shù)學和物理學中的一種關(guān)鍵工具．雖然這種估計有點過分，但四元數(shù)的創(chuàng)立，對后來代數(shù)學的發(fā)展確有重大作用，因為人們可以脫離實數(shù)和復數(shù)的傳統(tǒng)規(guī)則，根據(jù)需要自由地創(chuàng)造各種數(shù)系，建立相應的代數(shù)學．不久后發(fā)展起來的向量代數(shù)和線性結(jié)合代數(shù)(linear associative algebra)都受到四元數(shù)的直接推動． 3．幾何光學的重要貢獻 哈密頓的第一個研究課題就是幾何光學，早在進大學前就開始了，所花的時間僅次于四元數(shù)．他的主要貢獻是用數(shù)學分析方法來研究幾何光學，并把所得結(jié)果推廣到動力學，從而提出哈密頓原理，大多數(shù)結(jié)果載于1827年發(fā)表的論文“光束理論”(Theoryof systems of rays)及后來的補充中，具體貢獻如下． (1)等作用曲面 點光源射出的光束經(jīng)曲面鏡反射或折射后，存在與光線正交的曲面族．哈密頓證明多次反射或折射后同樣存在這種曲面族．在證明過程中，用到他本人發(fā)展了的最小作用原理，認為起點在垂直于光線的曲面上變化，經(jīng)多次反射或折射后，相應的終點定出了垂直于光線的一個曲面．哈密頓稱這些曲面為等作用面．把光當作微?；虿〞r，結(jié)論都相同．這就把幾何光學與力學中最小作用原理聯(lián)系起來，哈密頓后來稱這種原理為變作用原理(prnciple of varying action) (2)特征函數(shù) 根據(jù)多次反射(或折射)后的光束與一曲面族正交，將坐標為(x，y，z)的光線方向余弦記為α，β，γ，它們應為x，y，z的函數(shù)．哈密頓認為，方向余弦必須是某函數(shù)的梯度，即存在函數(shù)V=V(x，y，z)，有： 因此V應滿足偏微分方程： 哈密頓稱此方程的解V(x，y，z)為特征函數(shù)．顯然，若在均勻各向同性介質(zhì)中，V代表光源到(x，y，z)處的光線長度，則是一個解．哈密頓宣稱：“特征函數(shù)包含了幾何光學的全部．” 在1832年發(fā)表的“光束理論”第三個補充中，哈密頓把特征函數(shù)推廣到能用于初始點變化，以及不均勻和各向異性介質(zhì)的情況．這樣，利用特征函數(shù)可把光學系統(tǒng)表示為初始和最終光線有關(guān)變量的函數(shù)；用最小作用原理可定出兩固定點之間的光程，于是特征函數(shù)就把光學長度表示為變初始點和終端點的函數(shù)．哈密頓還把特征函數(shù)用于其他領(lǐng)域，取得下列重要結(jié)果． ?、俟茴D在第三個補充中，用特征函數(shù)研究A．F．菲涅耳(Fresnel)的光波曲面后發(fā)現(xiàn)：在雙軸晶體情況，存在四個劈錐狀尖點，他由此預言：單光線以適當方向射入雙軸晶體后，在晶體內(nèi)折射成一個錐面，射出晶體后成為一個窄柱面；光線聚焦成一錐面射入雙軸晶體后，在晶體內(nèi)與單光線一樣，射出晶體后成為一個窄錐面．這個預言在1832年底，由三一學院的H．洛依德(Lloyd)用實驗證實． ②光線作為粒子運動時，與質(zhì)點的力學運動相似．哈密頓從1833年起，用特征函數(shù)研究動力學課題．最初把特征函數(shù)作為一質(zhì)點從初始點到終端點運動過程的作用，后來才推廣到n個質(zhì)點系統(tǒng)的情況，從最小作用原理到變作用原理，終于形成了著名的哈密頓原理．相應的特征函數(shù)V具體表示為V=tH+S．(18) 其中t為時間，H為n體系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)，S即(2)式定義的作用． 另外，哈密頓的研究工作還涉及數(shù)學力學和光學的廣泛領(lǐng)域，提出了不少新的看法．例如，他由動力學普遍方法引伸出所謂主關(guān)系算法(calculus of Principal relation)，用變分法解某些全微分方程；提出用速端曲線(hodograph)表示軌道運動；又提出不僅研究光的動力學，還要研究光在晶狀介質(zhì)傳播中黑暗的動力學，并命名為暗動力學(skotodynamics)；他對光在介質(zhì)中傳播的研究導致群速度(group velocity)和相速度(phase velocity)的區(qū)分．可惜這些工作未能深入開展下去． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學家》
