一、解決“雞兔同籠”問題策略中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識，數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)思想的具體表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法合在一起，稱為數(shù)學(xué)思想方法。解決問題的策略是以一定的數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，在特定問題情境中，為實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)而制定并在實施過程中不斷調(diào)適、優(yōu)化，以使問題得以有效解決的最佳系統(tǒng)決策與設(shè)計。在解決“雞兔同籠”問題的過程中所使用的不同的解決問題的策略背后，一定隱含了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。筆者從中挖掘出的以下數(shù)學(xué)思想方法，對于教師提高對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識能力和滲透意識都十分必要。

1．轉(zhuǎn)化的思想方法

教材首先將《孫子算經(jīng)》中的原題：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？”通過小精靈的提示：“我們可以先從簡單的問題入手。”轉(zhuǎn)化成了例題：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”同樣是基本的“雞兔同籠”問題，其中數(shù)量由大到小的變化，既為分析和解決問題提供了方便，也巧妙滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。

轉(zhuǎn)化是指將有待解決的問題，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去，以求得問題的解決。教學(xué)中常常用到的化“難”為“易”， 化“繁”為“簡”， 化“生”為“熟”， 化“數(shù)”為“形”， 化“曲”為“直”， 化“圓”為“方”等都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的轉(zhuǎn)化的思想方法。

2．猜想的思想方法

讓學(xué)生先根據(jù)例題中的“從上面數(shù)，有8個頭?！贝竽懖聹y“雞和兔各有幾只？”再根據(jù)“從下面數(shù)，有26只腳?！眮硇⌒那笞C。在猜想不正確的情況下，學(xué)生逐步感受到“如果總腳數(shù)猜多了，就要多猜雞少猜兔的只數(shù)；如果總腳數(shù)猜少了，要多猜兔少猜雞的只數(shù)?！币舱窃谶@樣的過程中，學(xué)生參與探究的熱情更高了，開展探究的勇氣更大了，解決問題的思路更明了。

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家、數(shù)學(xué)解題方法論的開拓者波利亞說，“數(shù)學(xué)事實首先是被猜想，然后是被證實。”數(shù)學(xué)猜想是人們在已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行直覺試探，從而形成某種假設(shè)的一種思維活動和思想方法。讓學(xué)生先“估”后“數(shù)”、先“估”后“算”、先“估”后“量”、先“猜想”后“列式求解”等，都決定了猜想的思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位與作用。

3．列舉的思想方法

如果把各種猜想的結(jié)果有序填寫到教材上的表格之中（見下表），即為全部猜想的有序列舉。從表中不難看出“雞3只、兔5只”就是滿足問題要求的答案。觀察表中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，還可發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)雞的只數(shù)每減少1只，兔的只數(shù)每增加1只，腳的只數(shù)就會增加2只?！边@一規(guī)律將為下面的數(shù)學(xué)思想方法的滲透作好了孕伏。這也正是列舉和列表的數(shù)學(xué)思想方法在解決這一問題中的靈活運用。

在許多情況下，有些實際問題往往還無法建立合適的數(shù)學(xué)模型，而通過列舉的數(shù)學(xué)思想方法卻能非常方便地找到答案，進(jìn)而也為進(jìn)一步建立數(shù)學(xué)模型打開了一扇明亮的窗。

4．畫圖的思想方法

使用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將大數(shù)目的“雞兔同籠”問題轉(zhuǎn)變成小數(shù)目的“雞兔同籠”問題后，使得用畫出直觀圖的思想方法來解決這一問題成為可能。第一步：畫出8個頭和26只腳；第二步：給8個頭都配上兩只腳；第三步：將多出的10只腳添加在其中的5個頭上。

經(jīng)歷上述畫圖過程后，用假設(shè)的思想方法解決“雞兔同籠”問題的思路逐步清晰可見。畫圖的思想方法已成為小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種需要。學(xué)生在自己畫圖的活動中，能感悟策略、發(fā)展思維、體會方法和獲得思想。

5．假設(shè)的思想方法

教材指出，還可以這樣想：如果籠子里都是雞，那么就有8×2＝16只腳，這樣就多出26－16＝10只腳。一只兔比一只雞多2只腳，也就是有10÷2＝5只兔。所以籠子里有3只雞，5只兔。學(xué)生順勢指出，還可以這樣想：如果籠子里都是兔，那么就有8×4＝32只腳，這樣就少出32－26＝6只腳。一只雞比一只兔少2只腳，也就是有6÷2＝3只雞。所以籠子里有3只雞，5只兔。

假設(shè)的數(shù)學(xué)思想方法的運用，不僅為快捷解決問題提供了便利，更為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力開辟了途徑。但是，要正確而恰當(dāng)?shù)剡\用假設(shè)法，就必須深刻把握其“設(shè)而不假”的關(guān)鍵要領(lǐng)，即假設(shè)的內(nèi)涵與問題本身并不矛盾，否則，就會造成“失之毫厘，謬以千里”的后果。

6．建模的思想方法

從運用假設(shè)的數(shù)學(xué)思想方法解決“雞兔同籠”問題的過程中，學(xué)生不難歸納出：雞的只數(shù)＝（頭的總個數(shù)×4－腳的總只數(shù)）÷（4－2），兔的只數(shù)＝（腳的總只數(shù)－頭的總個數(shù)×2）÷（4－2）。運用這個數(shù)學(xué)模型，無疑可以便捷的解決類似基本的“雞兔同籠”問題。

數(shù)學(xué)建模是解決實際問題的一種思考方法，它從量和形的側(cè)面去考查實際問題。盡可能通過抽象（或簡化）確定出主要的參量、參數(shù)，應(yīng)用有關(guān)的定律、原理建立起它們之間的某種關(guān)系，這樣一個明確的數(shù)學(xué)問題就是某種簡化了的數(shù)學(xué)模型。作為數(shù)學(xué)教師，有責(zé)任讓學(xué)生學(xué)習(xí)和初步掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法, 從而更積極主動地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這樣做將使學(xué)生終生受益。

7．代數(shù)的思想方法

教材指出，還可以用列方程的方法來解答，即：設(shè)有x只兔，那么就有（8－x）只雞。雞兔共有26只腳，就是：4x＋2(8－x) ＝26，x＝5，8－5＝3，即兔有5只、雞有3只。

代數(shù)的思想方法也就是列方程解決問題的思想方法。方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型，通過把生活語言“翻譯”成代數(shù)語言，根據(jù)問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的等量關(guān)系，在已知數(shù)與未知數(shù)之間建立一個等式，這就是方程思想的由來。這種解決問題的思想方法直接、簡單，可化難為易，特別是在解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時用代數(shù)的思想方法就更容易。

8．抬腳的解題方法

教材最后在“閱讀材料”中寫道：你知道古人是怎樣解決“雞兔同籠”問題（指《孫子算經(jīng)》中的原題）的嗎？假設(shè)讓雞抬起一只腳，兔抬起兩只腳，還有94÷2＝47只腳；這時每只雞一只腳，每只兔兩只腳，籠子里只要有一只兔，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1；這時腳的總數(shù)與頭的總數(shù)之差47－35＝12，就是兔的只數(shù)。

以上十分形象的“抬腳法”，是一種特殊而巧妙的解決問題的策略，所以教材將其編排在課后的閱讀材料中，既留給了學(xué)生一個自主探究、廣泛交流的學(xué)習(xí)空間，又讓學(xué)生進(jìn)一步感受到了我國古代數(shù)學(xué)的魅力。

二、教學(xué)“雞兔同籠”問題過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法的有效策略

細(xì)細(xì)品味上述數(shù)學(xué)思想方法，我們不禁感嘆到“雞兔同籠”問題中數(shù)學(xué)思想方法的多樣、深刻與靈巧。但也正是如此，使得雞兔同籠”問題的教學(xué)的挑戰(zhàn)性陡增。如何通過一節(jié)課或這個單元的教學(xué)，才能有效提升學(xué)生對之前的教學(xué)中已經(jīng)滲透過的數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，才能合理滲透在之前的教學(xué)中尚未滲透過的新的數(shù)學(xué)思想方法，已成為教學(xué)中不可回避的另一個重要問題。

1．強(qiáng)化滲透意識

數(shù)學(xué)思想方法的意義和價值決定了其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位和作用。因此，課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，……，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?！倍?/span>數(shù)學(xué)思想方法又常常隱藏于教材之中，這就要求教師在校本研修的過程中，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的理論學(xué)習(xí)，把對基本的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識作為專業(yè)發(fā)展的必修課；要在吃透教材的基礎(chǔ)上，深刻挖掘隱含于教材字里行間的數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想方法對于學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的不可替代的作用；要在日常教學(xué)中，明確數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，不斷增強(qiáng)自覺滲透數(shù)學(xué)思想方法的意識。

2．遵循滲透原則

滲透，即把數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識技能、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗看成一個有機(jī)聯(lián)系的整體，在新、舊知識的學(xué)習(xí)和新、舊經(jīng)驗的運用中加以適當(dāng)滲透，而不是刻意添加數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)容，更不是片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的概念，要讓學(xué)生在潛移默化中去感受、領(lǐng)悟、積累和提升認(rèn)識，運用并逐步將數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化為良好的思維品質(zhì)。因而，教學(xué)中務(wù)必遵循由感性到理性、由具體到抽象、由特殊到一般的滲透原則，使學(xué)生的認(rèn)識過程返樸歸真，讓學(xué)生在自覺狀態(tài)下，始終以探索者的姿態(tài)參與到知識的形成和規(guī)律的揭示過程中去，從中不僅僅獲得知識技能，發(fā)展活動經(jīng)驗，更重要的是與此同時領(lǐng)悟、運用、內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法。

3．把握滲透關(guān)聯(lián)

當(dāng)轉(zhuǎn)化、猜想、列舉、畫圖、假設(shè)、建模、代數(shù)、抬腳等多種數(shù)學(xué)思想方法同時作用于“雞兔同籠”問題中時，它們之間必然存在相互關(guān)聯(lián)之處。轉(zhuǎn)化為猜想、列舉、畫圖等提供了便捷，猜想是列舉的開始，列舉則是假設(shè)的前奏，畫圖是對列舉的結(jié)果的形象呈現(xiàn)和為假設(shè)提供的直觀支撐，假設(shè)是對前面諸法的有效提升，建模則是假設(shè)的必然結(jié)果，代數(shù)是假設(shè)的聯(lián)想產(chǎn)物，抬腳無非是假設(shè)的另一種特殊形式。教學(xué)時，教師要善于把它們聯(lián)系起來看，結(jié)合起來用，以提高教學(xué)實效?？梢?，不同的數(shù)學(xué)思想方法并不是彼此孤立、互不聯(lián)系的，較低層次的數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)過抽象和概括，便上升為較高層次的數(shù)學(xué)思想方法，而較高層次的數(shù)學(xué)思想方法則對較低層次的數(shù)學(xué)思想方法有著指導(dǎo)意義，其往往是通過較低層次的思想方法來實現(xiàn)自身的運用價值。

4．突出滲透重點

如果按思想方法的作用給其分類，轉(zhuǎn)化是解決“雞兔同籠”問題中的基礎(chǔ)性的思想方法，不可少之；猜測、列舉、畫圖、抬腳是解決“雞兔同籠”問題中的頗有局限性的思想方法，雖為假設(shè)做好了鋪墊或延伸，但會受到數(shù)目大小或奇偶性的限制，不能廣泛用之；真正能夠適應(yīng)于此類問題的具有普遍意義的一般性方法，無疑還是假設(shè)和代數(shù)的思想方法。如果按思想方法的新舊給上述思想方法分類，轉(zhuǎn)化、猜想、列舉、畫圖、建模和代數(shù)的思想方法，都是在前面教學(xué)中教師多次滲透、學(xué)生領(lǐng)悟較深的思想方法，惟有假設(shè)和抬腳才是本節(jié)課中新出現(xiàn)的思想方法，而抬腳不過是特殊的假設(shè)，且具有很強(qiáng)的局限性。由此看來，學(xué)生真正最需要獲得的，又能適應(yīng)解決問題普遍性要求的一種新的數(shù)學(xué)思想方法就是假設(shè)。

5．找準(zhǔn)滲透途徑

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)和“數(shù)學(xué)廣角”中最本質(zhì)、最精彩、最具有教育價值的部分。教師要讓學(xué)生在解決問題的過程中，適時為學(xué)生找到適當(dāng)?shù)臐B透途徑，使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)思想方法的靈活運用，感受數(shù)學(xué)思想方法的無窮魅力，逐步提高數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識水平和運用技能。概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、問題的解決過程、練習(xí)的訓(xùn)練過程、復(fù)習(xí)的展開過程、課外的閱讀過程等，都是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法的極好途徑。試想，在“雞兔同籠”問題的教學(xué)中，如果把猜想的思想方法放在與列表的思想方法的結(jié)合中滲透，把畫圖的思想方法放在對個別學(xué)困生的輔導(dǎo)中滲透，把代數(shù)的思想方法放在對假設(shè)的思想方法的補(bǔ)充中滲透，把抬腳的解題方法放在課外的閱讀中滲透，課堂是否會更具藝術(shù)、更有實效呢？

日本數(shù)學(xué)家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書中寫道：不管他們（指學(xué)生）從事什么業(yè)務(wù)工作，即使把所教給的知識(概念、定理、法則和公式等)全忘了，唯有銘刻在他們心中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法都隨時隨地地發(fā)生作用，使他們受益終生。隨著社會的發(fā)展，要想實現(xiàn)“終身學(xué)習(xí)”和“人的可持續(xù)發(fā)展”，重要的是在教育中發(fā)展學(xué)生的能力，使之掌握獲得知識和進(jìn)一步學(xué)習(xí)的方法，逐漸掌握蘊涵在知識內(nèi)的數(shù)學(xué)思想方法。只有這樣，才能使學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)的價值和力量。小學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的啟蒙時期，這一階段注意向?qū)W生滲透基本的數(shù)學(xué)思想顯得尤為重要。