我們都曾經(jīng)對(duì)電影里呈現(xiàn)出來(lái)的一些電腦制作的精美畫(huà)面驚嘆不已，可很多人不知道的是，如果沒(méi)有數(shù)學(xué)，我們就無(wú)法看到諸如《侏羅紀(jì)公園》里的恐龍和《指環(huán)王》里的奇景，尤其是Gollum超炫的旋轉(zhuǎn)。

這些令人嘖嘖稱奇的畫(huà)面是怎么做出來(lái)的呢？答案是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)視覺(jué)學(xué)。本文將簡(jiǎn)單討論一下一部電影是如何在數(shù)學(xué)的幫助下制作完成的。我們首先討論如何描述我們所看到的電影畫(huà)面，然后我們將討論如何鮮活地呈現(xiàn)這些電影畫(huà)面。

場(chǎng)景設(shè)置

首先，目標(biāo)都用諸如三角形等簡(jiǎn)單多胞形組成的網(wǎng)格來(lái)表示

使用電腦制作一部電影的第一步是創(chuàng)造電影故事的人物以及這些人物所處的環(huán)境。這些目標(biāo)都是用一些相連的多邊形（通常是三角形）組成的曲面來(lái)表示。電腦要將每一個(gè)三角形的頂點(diǎn)記錄下來(lái)。而且非常重要的一點(diǎn)是，電腦需要知道用于表示一個(gè)人物或目標(biāo)的三角形的外部。注意一個(gè)三角形的外部是可以由右手旋轉(zhuǎn)法則唯一確定的。這里右手旋轉(zhuǎn)法則的意思是指我們的右手只有唯一的一個(gè)方式可以順著一個(gè)三角形的給定的頂點(diǎn)順序握緊拳頭。這時(shí)候大拇指將指向三角形的一面，而這一面我們就定義為三角形的外部。讀者可以試一下下面這個(gè)簡(jiǎn)單的例子。你可以發(fā)現(xiàn)三角形（A,B,C）的外部（或者叫外部法向量）正好與三角形(A,C,B)的外部方向相反。

根據(jù)右手旋轉(zhuǎn)法則，（A,B,C）的外法向與（A,C,B）的外法向方向相反

我們用三角形組成的網(wǎng)格來(lái)表示一個(gè)目標(biāo)的表面。接下來(lái)我們就應(yīng)該對(duì)每個(gè)三角形著色了。其中很重要的一點(diǎn)是我們需要準(zhǔn)確地描述我們所關(guān)心的場(chǎng)景的光照。這一任務(wù)通常是由一種叫光線追蹤的過(guò)程完成。從我們的視點(diǎn)出發(fā)，我們反向追蹤那些一個(gè)目標(biāo)發(fā)出的通過(guò)反射后會(huì)進(jìn)入我們眼睛的光線。如果一個(gè)光源發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)一個(gè)小平面（也就是組成目標(biāo)的表面的一個(gè)三角形）的反射后會(huì)進(jìn)入我們的眼睛，那這個(gè)小平面就應(yīng)該是亮色。這樣看上去就像是這個(gè)小平面被該光源照亮。反之，這個(gè)小平面就著上更暗的顏色。

從我們的視角出發(fā)，反向光線追蹤一個(gè)小平面。這個(gè)小平面會(huì)反射一個(gè)光源的光線嗎？

為了通過(guò)光線反向追蹤到一個(gè)特定的小平面，我們需要用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)表示一個(gè)目標(biāo)的表面，并且需要求解一些涉及到光線和這個(gè)小平面所確定的二維平面的幾何方程。這時(shí)候向量的概念就很重要了。對(duì)我們關(guān)心的場(chǎng)景，我們可以建立一個(gè)以視點(diǎn)為原點(diǎn)（即（0,0,0）這一點(diǎn)）的三維坐標(biāo)系統(tǒng)。一個(gè)向量v=(a,b,c)表示的是一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的矢量，其中在各個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)值分別是a,b和c。我們可以將向量v乘以一個(gè)常數(shù)。比如說(shuō)，v乘以2，我們得到的新向量定義為

因此，2v是一個(gè)與v同方向的，但長(zhǎng)度是v兩倍的向量。

現(xiàn)在我們看一下v這個(gè)表達(dá)式，其中λ  是一個(gè)變量。也就是說(shuō)，λ  可以是任意實(shí)數(shù)。由于此時(shí)長(zhǎng)度是個(gè)變量了，這個(gè)表達(dá)式也就僅僅能表示一個(gè)確定的方向，而無(wú)法表示一個(gè)有確定長(zhǎng)度的矢量。換句話說(shuō)，這個(gè)表達(dá)式表示了包含向量v的整條線。它表示了一條與v同樣方向的從原點(diǎn)出發(fā)的直線，或者說(shuō)從我們視點(diǎn)出發(fā)的光線。

由三角形小平面確定的二維平面可以由三條信息來(lái)描述：一個(gè)頂點(diǎn)（記為a1）的位置,以及表示從a1到a2和a3這兩條直線的向量。

下面的方框里，我們列出兩類表達(dá)式：即從視點(diǎn)出發(fā)的光線方程以及三角形小平面確定的二維平面方程。為了確定一條光線是否通過(guò)一個(gè)三角形小平面和他們相交的位置，以及計(jì)算反射光線方程，這兩類表達(dá)式在我們需要求解的方程里都會(huì)出現(xiàn)。

光線方程：r=λ  v，其中λ  是一個(gè)實(shí)數(shù)，v是一個(gè)向量。

定點(diǎn)是a 1   ，a 2   和a 3   的三角形確定的平面方程：

Doom 3和Neverwinter nights等電腦游戲需要?jiǎng)討B(tài)光照

通過(guò)光線追蹤技術(shù)，我們可以制作出很逼真的場(chǎng)景。但這個(gè)過(guò)程非常耗時(shí)。如果用電腦來(lái)制作電影，這或許不是什么大問(wèn)題。但是對(duì)于電腦游戲制作等，我們需要不停地快速改變場(chǎng)景的光照。這時(shí)使用光線追蹤技術(shù)的話，速度就顯得不夠了。對(duì)于諸如陰影、散焦、多重反射等更復(fù)雜的現(xiàn)象，動(dòng)態(tài)地建立數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà)這些情節(jié)是不容易的。這時(shí)候，我們需要更復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，比如預(yù)計(jì)算輻射傳輸和光能傳輸。

我們需要的只是一點(diǎn)想象力

場(chǎng)景的設(shè)置和光照都準(zhǔn)備好了，等導(dǎo)演一喊“開(kāi)拍”，我們的人物就要?jiǎng)悠饋?lái)了?，F(xiàn)在我們看一下如何呈現(xiàn)鮮活的電影畫(huà)面。

一個(gè)目標(biāo)需要完成的最基本的動(dòng)作就是順著一個(gè)給定的軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度。坐標(biāo)幾何學(xué)為我們提供了工具，使得我們可以準(zhǔn)確地計(jì)算目標(biāo)旋轉(zhuǎn)后的每一個(gè)點(diǎn)的位置，而且，這一工具十分的快速有效。

為了理解這一工具，我們還是先補(bǔ)充一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)。我們知道25這個(gè)數(shù)有兩個(gè)平方根，即+5和-5，因?yàn)?span id="owbywda" class="MathJax_Preview">(+5) 2 =(?5) 2 =25  。但是-25的平方根又是多少呢？為了求解負(fù)數(shù)的平方根，數(shù)學(xué)家定義了一個(gè)新的數(shù)。這個(gè)數(shù)用i來(lái)表示，并且i 2 =?1  。這樣，因?yàn)?span id="9z8hixn" class="MathJax_Preview">(±5i) 2 =25i 2 =?25  ，所以我們可以得到?25 ? ? ?  √ =±5i  。

由于i的引入，類似于x 2 =?1  這樣的方程也可以求解了。事實(shí)上，形式上寫(xiě)成z=x+iy這樣的復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)工具，盡管歷史上曾經(jīng)有很多人不喜歡這個(gè)想象出來(lái)的數(shù)。

業(yè)余數(shù)學(xué)家Jean-Robert Argand在1806年最先給出了復(fù)數(shù)和i這個(gè)數(shù)的幾何解釋。Argand將復(fù)數(shù)與二維平面中的點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)了：即復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分與虛數(shù)部分分別由兩個(gè)坐標(biāo)軸來(lái)表示。比如，1+i這個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)到(1,1)這個(gè)點(diǎn)。一般的情形是，a+bi這個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)(a,b)這個(gè)點(diǎn)。

復(fù)數(shù)的乘法有幾何解釋---旋轉(zhuǎn)

Argand還意識(shí)到復(fù)數(shù)的乘法也有一個(gè)幾何描述：旋轉(zhuǎn)。我們可以看一下(1,1)這個(gè)點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)1+i如果乘以i會(huì)得到什么結(jié)果：

即得到了(-1,1)這個(gè)點(diǎn)，也就是說(shuō)由原來(lái)的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度得到的點(diǎn)。再次乘以i,我們得到：

即得到（-1,-1）這個(gè)點(diǎn)，也就是說(shuō)又旋轉(zhuǎn)了90度。用數(shù)i去做乘法得到的效果是旋轉(zhuǎn)90度！事實(shí)上，不僅僅是90這個(gè)角度，任何的旋轉(zhuǎn)角度都可以通過(guò)乘以某一個(gè)復(fù)數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

3D畫(huà)面

數(shù)學(xué)家漢密爾頓(Sir William Rowan Hamilton)可能是都柏林三一學(xué)院(Trinity College Dublin)最有名的校友。他在人生的最后二十年一直致力于找到一個(gè)類似二維空間里的復(fù)數(shù)那樣的數(shù)來(lái)表示三維空間的旋轉(zhuǎn)。

Hamilton產(chǎn)生四元數(shù)靈感時(shí)經(jīng)過(guò)的Broome橋上的紀(jì)念牌匾

在他人生的最后時(shí)刻，漢密爾頓找到了答案。他把這些數(shù)命名為四元數(shù)，其表達(dá)式是

q=a 0 +a 1 i+a 2 j+a 3 k  ,

其中i 2 =j 2 =k 2 =?1  ,而a 0 ,a 1 ,a 2 和a 3   都是實(shí)數(shù)。

正如我們對(duì)復(fù)數(shù)的討論一樣，我們可以用幾何來(lái)解釋四元數(shù)并用他們來(lái)描述旋轉(zhuǎn)。但這時(shí)我們考慮的是三維空間里的旋轉(zhuǎn)。

具體來(lái)說(shuō)，我們用i,j,k來(lái)表示三維空間的基本平面：即i表示yz平面，j表示xz平面，k表示xy平面，它們各自的外部法向分別是x,y,z。

幾何上,i,j,k用來(lái)分別表示三維空間的三個(gè)基本平面

如果我們想將點(diǎn)a=(a 1 ,a 2 ,a 3 )  沿著一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸（方向由b=(b 1 ,b 2 ,b 3 )  給出）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)β度。我們先用旋轉(zhuǎn)軸向量b和旋轉(zhuǎn)角度β構(gòu)造兩個(gè)四元數(shù)q 1   和q 2   ：

q 1 =cos(β/2)+sin(β/2)(b 1 i+b 2 j+b 3 k), q 2 =cos(β/2)?sin(β/2)(b 1 i+b 2 j+b 3 k).   

然后，我們用這兩個(gè)四元數(shù)去乘一個(gè)數(shù)a。注意a表示為x,y,z三個(gè)坐標(biāo)軸的單位向量的組合，而乘法遵從適用于平面i,j,k以及單位向量的特殊準(zhǔn)則。這樣我們得到

a ′ =q 1 aq 2 。 

可以驗(yàn)證，a ′   這個(gè)點(diǎn)就是將a這個(gè)點(diǎn)繞著給點(diǎn)轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)β角度而得到的點(diǎn)。因此，正如二維空間里的旋轉(zhuǎn)可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示一樣，我們可以用四元數(shù)來(lái)表示三維空間里的旋轉(zhuǎn)。

漢密爾頓這一在都柏林的一座橋下散步時(shí)產(chǎn)生的靈感，成為刻畫(huà)三維空間里旋轉(zhuǎn)的最有效的工具。但是也有人不喜歡他定義的這個(gè)新乘法。物理學(xué)家Lord Kelvin就曾經(jīng)這樣評(píng)價(jià)四元數(shù)“雖然十分巧妙，但對(duì)任何接觸過(guò)它的人而言都絕對(duì)是一個(gè)禍患！”

從實(shí)用角度看，有人覺(jué)得四元數(shù)的一個(gè)不方便之處是兩個(gè)四元數(shù)相乘，其結(jié)果取決于二者相乘的次序，也即四元數(shù)乘法的不可交換性。舉例來(lái)說(shuō)，根據(jù)Hamilton的準(zhǔn)則，我們可以得到ij=k以及ji=-k?？墒?，如果我們將i,j,k看成是基本平面，那些令開(kāi)爾文(Lord Kelvin)和他同時(shí)代的人所擔(dān)心的四元數(shù)的性質(zhì)是顯而易見(jiàn)成立的。

逼真畫(huà)面的制作

漢密爾頓的發(fā)明現(xiàn)在在圖形應(yīng)用領(lǐng)域里被廣泛的使用，用以描述目標(biāo)的移動(dòng)和動(dòng)作。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里，兩個(gè)最重要的工具是變形和插值。插值和一種叫關(guān)鍵幀的技術(shù)用來(lái)確定一個(gè)目標(biāo)的初始和終止形狀和位置，并使用計(jì)算機(jī)將中間狀態(tài)描述出來(lái)。下圖是一個(gè)例子。

茶壺的形狀在一系列時(shí)間點(diǎn)上的變化

讀者可以在網(wǎng)上下載一些程序，來(lái)看看Richard Wareham是如何通過(guò)動(dòng)畫(huà)來(lái)制作一條發(fā)育不完全的小蛇。給點(diǎn)幾個(gè)指定的點(diǎn)，這些程序便可以使用插值技術(shù)逐漸呈現(xiàn)出一條蛇的形狀。

變形則可以幫助我們由一些簡(jiǎn)單的目標(biāo)制作成復(fù)雜的目標(biāo)。如下圖所示，通過(guò)一些數(shù)學(xué)的處理，一塊搭在變形曲面上的布可以由一個(gè)很規(guī)則的曲面來(lái)生成。變形與插值都需要快速穩(wěn)定的數(shù)學(xué)技術(shù)以及與四元數(shù)相關(guān)的方法。

首先可以用物理知識(shí)來(lái)建立模型刻畫(huà)一塊搭在圓形曲面上的布	然后再想辦法生成一塊搭在變形曲面上的布

如何制作逼真的Gollum

上述技術(shù)都是制作經(jīng)典動(dòng)畫(huà)的核心技術(shù)。事實(shí)上這些技術(shù)制作出來(lái)的卡通人物是十分逼真的。但是，這些技術(shù)如果用來(lái)制作真人的話，我們馬上能看出來(lái)效果并不好。為了制作逼真的人物畫(huà)面，動(dòng)作抓取這個(gè)技術(shù)就很有必要了。

很多人物，例如電影版的《指環(huán)王》里的Gollum是由動(dòng)作抓取技術(shù)來(lái)完成的。通常我們需要安置一些反射器來(lái)表示一個(gè)人身體的關(guān)鍵部分，例如頭、肩膀、肘關(guān)節(jié)、膝蓋等。每一個(gè)人都由好幾套攝影器來(lái)拍攝，并且要用電腦記錄這些反射器的位置變換。我們?cè)儆萌S的數(shù)據(jù)來(lái)填充一個(gè)人的骨架。最后，前面所述的所有技術(shù)都會(huì)用來(lái)給骨骼部位添上肌肉，從而制作出鮮活的、有呼吸的、和會(huì)運(yùn)動(dòng)的人物。

我們根據(jù)分散在身體各個(gè)部位的反射器的運(yùn)動(dòng)來(lái)收集數(shù)據(jù)	骨骼的模型在數(shù)學(xué)上與這些數(shù)據(jù)匹配

如果你試過(guò)看完一部電影的完整的職員表，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一部成功的電影需要融合各種人才的聰明才智，比如編劇、導(dǎo)演、演員、服裝設(shè)計(jì)、布景等等等等。但是還有一個(gè)名字常常被電影的職員表所忽略，那就是數(shù)學(xué)家。假如沒(méi)有攝像追蹤技術(shù)或空間四元數(shù)旋轉(zhuǎn)物體，今天很多火爆的電影根本不可能與觀眾見(jiàn)面。所以，下次當(dāng)你再次走進(jìn)電影院享受這些數(shù)字技術(shù)帶來(lái)的精美場(chǎng)面時(shí)，不妨舉起你的爆米花向我們的幕后英雄----數(shù)學(xué)家致敬吧!

原文鏈接:	http://plus./content/maths-goes-movies?src=aop
作  者:	Joan Lasenby
翻  譯:	袁曉明博士，香港浸會(huì)大學(xué)
校  對(duì):	湯濤，香港浸會(huì)大學(xué)數(shù)學(xué)講座教授