“數(shù)”無(wú)疑是數(shù)學(xué)最主要的研究對(duì)象（之一？），數(shù)是最簡(jiǎn)單的，也是最復(fù)雜的。對(duì)于數(shù)，你知道多少呢？就讓我這個(gè)半瓶子先來(lái)晃蕩一下，也許非數(shù)學(xué)專業(yè)的朋友會(huì)有興趣。科學(xué)網(wǎng)上高手如云，我是拋磚引玉，錯(cuò)了自有高人指正。

1. 自然數(shù)與整數(shù)

    小孩兩、三歲就開(kāi)始數(shù)數(shù)了。通常的目標(biāo)是從一數(shù)到十，再到一百，等等。在小孩心目中，“數(shù)”總是與個(gè)數(shù)聯(lián)在一起的，一個(gè)手指頭是“1”，兩個(gè)手指頭是“2”，等等，小孩開(kāi)始學(xué)加減法也是掰著手指頭數(shù)的。這其實(shí)也就是人類最早對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)。通常我們用十進(jìn)制數(shù)就是因?yàn)槿祟愑惺畟€(gè)手指頭。從計(jì)算機(jī)科學(xué)看，人類如果一開(kāi)始就使用二進(jìn)制或三進(jìn)制很可能更方便。瑪雅人計(jì)數(shù)大概是手指頭，腳趾頭一齊上，所以是20進(jìn)制。

    小孩數(shù)數(shù)為什么不從零開(kāi)始呢？因?yàn)?/span>“零”其實(shí)并不好懂。你可以說(shuō)，“零”對(duì)應(yīng)“沒(méi)有”，但在數(shù)中加入“沒(méi)有”對(duì)小小孩也許并不好理解。零的記號(hào)“0”是印度人發(fā)明的，被稱為是“對(duì)世界文明的杰出貢獻(xiàn)”。

    在自然數(shù)（以及0）上做加、減法也很自然。那是東西的增、減。減是加的逆運(yùn)算。要使減法總能做，就必須引入“負(fù)數(shù)”?！?/span>負(fù)數(shù)”也是印度人首先引入的，他們把它看作財(cái)產(chǎn)和債務(wù)的對(duì)立或直線的兩個(gè)方向。現(xiàn)在我們看“負(fù)數(shù)”覺(jué)得很合理，但其實(shí)，遲至十八世紀(jì)英國(guó)還有數(shù)學(xué)家對(duì)負(fù)數(shù)發(fā)出抗議。由于引進(jìn)“負(fù)數(shù)”，就有了整數(shù)（記作Z）。整數(shù)使得加法和它的逆運(yùn)算總能實(shí)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)上把它抽象成一種結(jié)構(gòu)，稱為“群”。

    一個(gè)非空集合S，加上一個(gè)運(yùn)算?，稱為一個(gè)群，如果它滿足

    （i）封閉性：設(shè)a,b∈S，則a?b∈S；

    （ii）結(jié)合律：(a?b)?c=a?(b?c)；

    （iii）單位元：存在e∈S，使對(duì)任意a∈S，有a?e=e?a=a；

    （iv）逆元：對(duì)任意a∈S，存在唯一的逆元a?1∈S，使得a?a?1=a?1?a=e。

如果一個(gè)群還滿足

（v）交換律：a?b=b?a，則稱其為阿貝爾群。

    容易檢驗(yàn)整數(shù)及其加法，(Z,+)，是一個(gè)阿貝爾群。

    自然數(shù)分為兩類，一類數(shù)只能被“1”和自己整除，稱為素?cái)?shù)，如果除“1”和自己外，還有其他整數(shù)因子，則稱為合數(shù)。素?cái)?shù)無(wú)窮多，這是歐幾里德在公元前270年證明的：反證，設(shè)其有限，將所有素?cái)?shù)相乘再加一，它除了“1”和自己沒(méi)有其他因子，所以也是素?cái)?shù)。它又比所有素?cái)?shù)都大，故得矛盾。

    素?cái)?shù)雖然無(wú)窮多，但在越大的自然數(shù)里分布越稀。一個(gè)粗略的估計(jì)是，當(dāng)n大的時(shí)候，大約有n/logn個(gè)小于n的素?cái)?shù)。這稱為素?cái)?shù)定理。素?cái)?shù)的分布是數(shù)論中最引人關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題，至今不知其解。黎曼猜想正是因?yàn)榕c素?cái)?shù)分布有關(guān)，被稱為數(shù)論中最重要（可能也是最困難）的一個(gè)猜想。

2. 有理數(shù)與無(wú)理數(shù)

    早期的數(shù)是和幾何聯(lián)在一起的，用尺規(guī)作圖很容易做出一條線段的m/n。因此，分子與分母都是整數(shù)的數(shù)稱為有理數(shù)，也就是合理的數(shù)。古代畢達(dá)哥拉學(xué)派（公元前500年左右）將數(shù)學(xué)作為宗教來(lái)崇拜，他們對(duì)數(shù)學(xué)做了許多杰出貢獻(xiàn)，包括畢氏定理（勾股定理）、正多面體等。但他們只承認(rèn)有理數(shù)，相信“萬(wàn)物皆數(shù)”。派中一人因說(shuō)出他發(fā)現(xiàn)了正方形對(duì)角線與邊不能公度（即不是有理數(shù)），就被眾人沉入海底。

    到底什么是無(wú)理數(shù)？中學(xué)數(shù)學(xué)將其定義為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，這在數(shù)學(xué)上是不嚴(yán)格的。一種較為普遍應(yīng)用的定義是所謂“戴德金（Dedekind）分割”。將所有有理數(shù)分為兩組（A|B），A為上類，B為下類，即A中每個(gè)數(shù)都比B中數(shù)大。那么，或者A中有最小數(shù)，或B中有最大數(shù)，這時(shí)，分割就定義了這個(gè)界數(shù)（有理數(shù)）。第三種情況是A中沒(méi)有最小數(shù)且B中沒(méi)有最大數(shù)，這時(shí)，分割就定義了一個(gè)無(wú)理數(shù)。有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。于是，有理數(shù)的所有可能分割就與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。這個(gè)定義有點(diǎn)麻煩，但用它定義實(shí)數(shù)運(yùn)算或研究實(shí)數(shù)性質(zhì)都極其方便。

    大家熟悉的無(wú)理數(shù)，最多的是用根式表示的，如2√，也有不能用根式表示的，如π，e…。實(shí)數(shù)可能是自然科學(xué)中用得最多的數(shù)域。

3. “數(shù)”集合的大小

    一個(gè)有限集，它的大小可以用其數(shù)量來(lái)表示。這個(gè)數(shù)也稱集合的勢(shì)（Cardinal Number）。一個(gè)集合S，它的勢(shì)一般用|S|表示。對(duì)于一個(gè)有限集，設(shè)|S|=k，那么，它有多少不同的子集呢？答案是2k。這是因?yàn)樵谝粋€(gè)子集里，S的每個(gè)元有兩種可能：屬于或不屬于這個(gè)子集。

    那么，兩個(gè)無(wú)限集怎么比大小呢？數(shù)學(xué)上是這么定義的：對(duì)兩個(gè)無(wú)限集A和B，如果存在一個(gè)一對(duì)一的映射，則稱它們勢(shì)相等（一樣多），如果A與B的一個(gè)子集一一對(duì)應(yīng)，但A與B不能一一對(duì)應(yīng)，則B的勢(shì)比A大。

    “數(shù)”從一開(kāi)始就是用來(lái)表示物體數(shù)量的多少，于是一類數(shù)有多少本身也成了一個(gè)重要問(wèn)題。自然數(shù)是可數(shù)的，它的勢(shì)稱為可數(shù)勢(shì)，記為?0. 那么，整數(shù)是不是可數(shù)的呢？如果令0?1，1?2，?1?3，2?4，?2?5…就可見(jiàn)整數(shù)與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)。于是，整數(shù)可數(shù)。也就是：整數(shù)與自然數(shù)一樣多！你也許會(huì)問(wèn)：自然數(shù)是整數(shù)的子集，怎么會(huì)一樣多呢？這個(gè)多少，是由我們定義所決定的。無(wú)限集的一個(gè)特點(diǎn)就是，它可以與自己的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)。

    中學(xué)時(shí)看過(guò)一個(gè)講“無(wú)窮大”的故事，說(shuō)一家人請(qǐng)客，來(lái)了無(wú)窮多客人。天下雨，每個(gè)客人帶一把傘來(lái)。宴會(huì)中來(lái)了個(gè)小偷，偷走了幾把傘。等宴會(huì)結(jié)束，每個(gè)客人還能拿到一把傘，誰(shuí)也沒(méi)發(fā)現(xiàn)傘少了。

    表面上比整數(shù)“大”得多的有理數(shù)集，其實(shí)也是可數(shù)的。這不難，可以用分母大小排序。那么，實(shí)數(shù)是不是可數(shù)的呢？如果它可數(shù)，把實(shí)數(shù)排成x1, x2, x3, ?。定義一個(gè)數(shù)z，它小數(shù)點(diǎn)后第一位與x1 小數(shù)點(diǎn)后第一位不一樣，小數(shù)點(diǎn)后第二位與x2小數(shù)點(diǎn)后第二位不一樣，小數(shù)點(diǎn)后第三位與x3小數(shù)點(diǎn)后第三位不一樣，如此等等，那么，z應(yīng)該排第幾位呢？那一位都不是。因此，實(shí)數(shù)集不可數(shù)。實(shí)數(shù)集的勢(shì)稱連續(xù)勢(shì)，記作?.

    所謂連續(xù)統(tǒng)假定就是說(shuō)，不存在一個(gè)集合，它的勢(shì)比?0大，又比?小。

    實(shí)際上，我們可以證明：2?0=?. 也就是，可數(shù)集的所有子集具連續(xù)勢(shì)。還可以證明，任何集合S都不可能跟它的子集族2S等勢(shì)。因此，世界上不存在最大的集合，因?yàn)樗淖蛹逡欢ū人?/span>。

4. 復(fù)數(shù)

    最早引進(jìn)并系統(tǒng)使用復(fù)數(shù)的是意大利數(shù)學(xué)家R. Bombelli（1526-1572），其目的就是為了解方程，例如x2+1=0。于是有了a+bi，這里a,b是實(shí)數(shù)，i2=?1。如果說(shuō)，引進(jìn)“負(fù)數(shù)”還有一定實(shí)際背景的話，那么，“復(fù)數(shù)”從一開(kāi)始真的是人類頭腦的自由創(chuàng)造物。中國(guó)傳統(tǒng)注重實(shí)用，關(guān)于“負(fù)數(shù)”或“復(fù)數(shù)”這些概念都沒(méi)有在中國(guó)古代數(shù)學(xué)書(shū)中出現(xiàn)。

    使用復(fù)數(shù)對(duì)解方程確實(shí)意義重大。代數(shù)方程理論的一個(gè)漂亮結(jié)果就是“代數(shù)基本定理”，它斷言：一個(gè)n次方程有且僅有n個(gè)根。當(dāng)然，這些根未必都能用公式表出。中學(xué)生學(xué)過(guò)二次方程求根公式，根包括復(fù)根或重根。其實(shí)，3次及4次方程求解也不難。5次或5次以上方程沒(méi)有公式解。這在后面還會(huì)談到。

    復(fù)數(shù)以及以復(fù)數(shù)為變量的復(fù)變函數(shù)，后來(lái)得到許多應(yīng)用。最簡(jiǎn)單的是電學(xué)中交流電的幅值與相位的表示。還記得早年學(xué)復(fù)變函數(shù)時(shí)對(duì)保角變換導(dǎo)出的茹科夫斯基曲線印象深刻，它可以用來(lái)計(jì)算飛機(jī)機(jī)翼升力。看來(lái)，純粹數(shù)學(xué)不必依賴于應(yīng)用，一個(gè)好的數(shù)學(xué)理論大概總會(huì)被后來(lái)人用上。

5. 代數(shù)數(shù)與超越數(shù)

    無(wú)理數(shù)可以分成兩類，一類像2√，31/3+2，等等，它們是某個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式的根。這類數(shù)叫代數(shù)數(shù)。不是代數(shù)數(shù)的無(wú)理數(shù)，稱為超越數(shù)。我們最熟悉的超越數(shù)有π，e等。

    一個(gè)代數(shù)數(shù)，它所滿足的最低次代數(shù)方程的次數(shù)就稱為代數(shù)數(shù)的次。如2√是2次的，31/3+2 是3次的。一個(gè)代數(shù)數(shù)x如果是n次的，那么xt，t≥n就可以表示成：1,x,?,xn?1的一個(gè)有理線性組合。而具有這種性質(zhì)的數(shù)也必是代數(shù)數(shù)。

    代數(shù)數(shù)的有理倍數(shù)、乘積、倒數(shù)也都是代數(shù)數(shù)。不難證明，代數(shù)數(shù)也是可數(shù)的。

    有一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支叫代數(shù)數(shù)論。對(duì)此，除了名字我什么也不懂。由于代數(shù)數(shù)只有?0，那么，超越數(shù)就有?之多，也就是遠(yuǎn)比代數(shù)數(shù)多。但（以前看到過(guò)）要證明一個(gè)數(shù)是超越數(shù)卻很難。人們現(xiàn)在知道的獨(dú)立的超越數(shù)似乎還很少。

6. 數(shù)域

    通常說(shuō)，在一個(gè)數(shù)集合里，如果可以做“加、減、乘、除”，那么，這個(gè)集合就叫一個(gè)數(shù)域。嚴(yán)格地說(shuō)，一個(gè)集合S，其上有兩種運(yùn)算，記作+和×。如果

    （i）(S,+)是一個(gè)阿貝爾群，單位元記作0；

    （ii）(S?{0},×)也是一個(gè)阿貝爾群；

    （iii）加乘滿足分配律（如：(a+b)×c=a×c+b×c，等），

    那么，(S,+,×)就稱為一個(gè)域。

    最常用的數(shù)域是：（i）有理數(shù)域（Q）；（ii）實(shí)數(shù)域（R）；（iii）復(fù)數(shù)域（C）。那么，整數(shù)是不是域呢？代數(shù)數(shù)是不是域呢？留點(diǎn)懸念給大家吧。

    常用的還有一類域，是有限域：設(shè)p>1為素?cái)?shù)，記Zp={0,1,?,p?1}，在Zp上定義模p加法和模p乘法，它就是個(gè)域。例如，Z5={0,1,2,3,4}，加法定義為：a+b(mod5)，即1+2=3；3+4=2，等。同樣，乘法定義為：a×b(mod5)，即3×2=1，等。

    把2√添加到有理數(shù)域Q上，就能生成一個(gè)新的域Q(2√)={a+b2√|a,b∈Q}。這叫域的擴(kuò)張。有興趣不妨證明一下它的確是域。域的擴(kuò)張是伽略華理論的基礎(chǔ)。規(guī)矩不能三等分任意角，五次方程沒(méi)有公式解等都可以由它證明。這篇博文本想介紹，但已經(jīng)太長(zhǎng)，只好留以后再談了。

7. 復(fù)數(shù)、對(duì)偶數(shù)、雙曲數(shù)

    復(fù)數(shù)可以看著實(shí)系數(shù)的2維向量，這個(gè)向量空間以{1,i}為基底。特點(diǎn)是，兩個(gè)“向量”（復(fù)數(shù)）可以做乘法，結(jié)果還是一個(gè)“向量”。有乘法的向量空間在近世代數(shù)（或曰抽象代數(shù)）中稱為“代數(shù)”。跟“群”、“域”一樣，“代數(shù)”也是近世代數(shù)中一個(gè)重要代數(shù)結(jié)構(gòu)。把復(fù)數(shù)看成代數(shù)時(shí)不考慮除法。

    搞非線性控制的人都知道，微分流形上的向量場(chǎng)在李括號(hào)這種乘法下變成一個(gè)代數(shù)，稱為李代數(shù)。李代數(shù)是一個(gè)非常重要的非交換代數(shù)，因?yàn)槊總€(gè)李群都有一個(gè)自己的李代數(shù)。但一個(gè)李代數(shù)可以對(duì)應(yīng)多個(gè)李群，這涉及到復(fù)疊空間。中學(xué)學(xué)的三維向量加上叉積，就是最簡(jiǎn)單的李代數(shù)。

    那么，還有沒(méi)有其他的2維代數(shù)呢？其實(shí)，我們只要加一個(gè)ξ，那么{a+bξ|a，b∈R}就是一個(gè)2維向量空間。于是，只要定義乘法就可以了。定義乘法等價(jià)于定義ξ2。因?yàn)橹灰?font face="Times New Roman">ξ2定了，再由分配律，乘法也就定了。

    我們可以自由地定ξ2。當(dāng)ξ2=?1，就有復(fù)數(shù)；如果定義ξ2=0，那么，得到的2維代數(shù)中的元素稱為對(duì)偶數(shù)（Dual Number）；如果定義ξ2=1，那么，得到的2維代數(shù)中的元素稱為雙曲數(shù)（Hyperbolic Number）。

    對(duì)偶數(shù)與雙曲數(shù)在力學(xué)與工程中都有很多應(yīng)用。近年來(lái)，在控制論中也有人用。

    除了這三個(gè)2維代數(shù)，還有沒(méi)有其他實(shí)系數(shù)2維代數(shù)了呢？我曾經(jīng)用矩陣半張量積方法證明：在同構(gòu)等價(jià)意義下只有這三種。這大概是早已知道的結(jié)果，只是自己不知出處而已。 

8. 尋找其他數(shù)域

    在實(shí)系數(shù)的代數(shù)里，除了復(fù)數(shù)，還有其他數(shù)域嗎？容易證明，對(duì)偶數(shù)、雙曲數(shù)都不是數(shù)域（沒(méi)有除法）。于是2維代數(shù)中只有復(fù)數(shù)才是域了。那么，高維代數(shù)中會(huì)不會(huì)有域呢？

    多年前自己在國(guó)外“Comp. Math and Appl.”雜志上發(fā)表過(guò)一篇討論關(guān)于實(shí)系數(shù)有窮維代數(shù)結(jié)構(gòu)的文章。其實(shí)，當(dāng)時(shí)自己心里想找的就是這種域。文章最后還提到，不知這種域有沒(méi)有？審稿時(shí)沒(méi)碰上有關(guān)專家，結(jié)果給自己留了一條笑柄。

    其實(shí)，這是歷史上早已討論過(guò)的問(wèn)題。歷史上許多數(shù)學(xué)家，包括哈密頓，都尋找過(guò)“3維復(fù)數(shù)”，但當(dāng)然都失敗了。魏爾斯特拉斯在1861年證明了：實(shí)系數(shù)的有限維結(jié)合代數(shù)中，只有兩個(gè)數(shù)域：一維的實(shí)數(shù)域與二維的復(fù)數(shù)域。我們應(yīng)該感到高興：我們知道的這類數(shù)域不比數(shù)學(xué)家們少！

9. 四元數(shù)

    哈密頓沒(méi)找到“3維復(fù)數(shù)”，但他沒(méi)白忙呼，他找到了四元數(shù)。四元數(shù)集可表示為 {a+bi+cj+dk|a,b,c,d∈R}。其上的乘法怎么定義呢？令i2=j2=k2=?1，i×j=?j×i=k，j×k=?k×j=i，k×i=?i×k=j。

    容易證明，四元數(shù)每個(gè)非零元都有逆。實(shí)際上，它對(duì)加法是一個(gè)阿貝爾群，對(duì)乘法也是群，加乘滿足分配律。它或許是最接近于域的高維代數(shù)。缺的那一點(diǎn)就是乘法沒(méi)有交換律。

    四元數(shù)在力學(xué)中有很大用處，搞控制的人都知道，對(duì)一個(gè)剛體（如衛(wèi)星、導(dǎo)彈）的姿態(tài)，用四元數(shù)描述比用歐拉角描述的優(yōu)點(diǎn)在于，它可以避免90度或0度時(shí)三角函數(shù)間斷這種不連續(xù)困境。

10. 后記

    因?yàn)樯洗螌?xiě)關(guān)于數(shù)學(xué)的博文時(shí)，提到關(guān)于有理數(shù)與實(shí)數(shù)的連續(xù)統(tǒng)假定，還犯了個(gè)錯(cuò)，就有心寫(xiě)一篇關(guān)于數(shù)的博文。本文主要是憑記憶寫(xiě)的，沒(méi)有細(xì)查參考文獻(xiàn)，錯(cuò)誤難免，歡迎拍磚。