從勾股定理到費爾馬大定理

中國科學院應用數(shù)學所 副所長 曹道民

　　提起歌德巴赫（Goldbach）猜想，很多三十多歲的人都聽說過，因為我國的數(shù)學家曾對這猜想作出過杰出的貢獻，特別是陳景潤的結(jié)果到現(xiàn)在還是最好的。陳景潤的事跡在八十年代曾在全國廣泛流傳，影響到當時很多的青年人，現(xiàn)在四十歲上下的從事數(shù)學研究的人，包括我自己，就是受到影響而走上科學研究之路的。

　　如果有人問起上世紀數(shù)學界中最重要的結(jié)果是什么，我相信很多人會說是費爾馬（Fermat）大定理。這個懸置長達350多年的、比歌德巴赫猜想更著名的難題在1995年被英國數(shù)學家維爾斯(Wiles)徹底解決。1996年3月維爾斯因此榮膺沃爾夫（Wolf）獎10W馬克。

　　首先，讓我們來介紹費爾馬大定理。

　　學過平面幾何的人都知道，設a、b為直角三角形的直角的兩條邊長，則斜邊的邊長c跟a、b滿足關系式c² = a² + b² 。中國人稱它為《商高定理》，因為在古代的數(shù)學書籍《周髀算經(jīng)》里記載古代數(shù)學家商高談到這個關系式。更普遍也稱為勾股定理，這是因為在《周髀算經(jīng)》》中記載著“勾三，股四，弦五”，并且清楚地討論了它們與直角三角形的關系，其后的著作中也有其他的勾股數(shù)。如《九章算術》中還有（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等7組數(shù)。在西方，上述公式稱為畢達哥拉斯定理，這是因為西方的數(shù)學及科學來源于古希臘，古希臘流使下來的最古老的著作是歐幾里得的《幾何原本》，而其中許多定理再往前追溯，自然就落在畢達哥拉斯的頭上，要知道畢達哥拉斯被推崇為“數(shù)論的始祖”。

　　如果勾股定理的公式c² = a² + b²中的 a ，b ，c未知數(shù)，是第一個不定方程（即未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)）也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導到各式各樣的不定方程，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個范式。

　　法國人費爾馬（Pierre de Fermat, 1601-1665）雖然學的是法律，從事的也是律師的職業(yè)，但他對數(shù)學卻有濃厚的興趣，在公余時間常讀數(shù)學書，并自己從事一些數(shù)學研究。他在閱讀希臘數(shù)學家丟番圖（Diophontus）的《算術》一書中論述求解x² + y² = z² 的一般解的問題時，在書的空白處，用筆寫下這樣的心得：“反過來說不可能把一個立方數(shù)分拆為兩個立方數(shù)的和，一個四方數(shù)分拆成兩個四方數(shù)之和。更一般地，任何大于二的方數(shù)不能分拆為同樣方數(shù)的兩個之和。我已發(fā)現(xiàn)了一個絕妙的證明，但因為空白太小，寫不下整個證明”。用數(shù)學語言來表達，費爾馬的結(jié)論是：

　　當n≥3時, xⁿ + yⁿ = zⁿ 沒有正整數(shù)解。

　　人們不相信費爾馬找到了這個結(jié)論的證明，或者正如成千上萬的后來人一樣，自以為證明出來而實際上搞錯了，因為許多有名的數(shù)學家都試圖證明它，但都以失敗而告終。然而費爾馬確實創(chuàng)造了無窮下降方法，證明了n = 4 的情況。n = 3 的情況是瑞士大數(shù)學家歐拉（Leonard Euler, 1707- 1783）在1753年給出的。19世紀初實際上只有n = 3，n = 4兩種情況得到證明。而n = 5的情況則是在經(jīng)歷了半個多世紀，一直到1823年至1825年才首次完全證明。費爾馬大定理對當時的數(shù)學家是一個最大的挑戰(zhàn)。為了表示學術界對它的重視，1816年法國科學院首次為費爾馬大定理設立了大獎。許多大數(shù)學家，其中包括當時頂尖的數(shù)學家，法國的高斯和法國的柯西都曾熱衷于這個問題。

　　在早期嘗試解決費爾馬大定理的英雄豪杰里有一位巾幗英雄，她是德國的蘇菲·日爾曼（Sophie Germain, 1776-1831）。小時候她是一個很害羞、膽怯的女孩，靠自學閱讀和研究數(shù)學。由于當時女姓在數(shù)學上受到歧視，她就用一個男性化名同一些大數(shù)學家通信，其中包括高斯和勒讓德，她的才能使得這些一流的數(shù)學家大為驚訝。

　　我們現(xiàn)在回過頭來看看勾股定理

a² + b² = c²

　　如果我們在方程兩邊同除以c²，我們得到

= 1

　　設= x , = y, 則要找正整數(shù)a, b, c 滿足a² + b² = c² 等價找有理數(shù)x, y, 使得（x, y）滿足x² +y² = 1。 (x, y) 可以看成是平面上單位圖上的一個點，x, y都為有理數(shù)的點(x, y)稱為有理點。這樣我們就把由勾股定理得到的方程是否有正整數(shù)解化為平面上的單位圓上是否有有理點。同樣xⁿ + yⁿ = zⁿ是否有正整數(shù)解等價于平面上的曲線xⁿ + yⁿ =1上是否有有理點的問題。我們稱由方程xⁿ + yⁿ =1定義的曲線為費爾馬曲線。

　　在中學數(shù)學里，我們對平面代數(shù)曲線有一些了解，在解析幾何里，對二次曲線進行了完整的分類。平面上二次代數(shù)曲線有

　　橢圓：；

　　雙曲線：，或；

　　拋物線：

　　代數(shù)幾何學在解決費爾馬大定理起到了非常大的作用。代數(shù)幾何學是解析幾何的自然延續(xù)，在解析幾何中，我們用坐標方法通過方程來表示曲線和曲面，代數(shù)幾何學通常只研究一次、二次曲線，即直線、橢圓、雙曲線及拋物線。三次及三次以上的曲線一般就不再仔細研究了。

　　代數(shù)幾何與解析幾何的一個主要不同點是，解析幾何用次數(shù)來對曲線和曲面分類，而代數(shù)幾何學則用一個雙有理變換不變量-虧格來對代數(shù)曲線進行分類。通過虧格g ，所有代數(shù)曲線可分為三大類：

　　g=0: 直線、橢圓、圓錐曲線；

　　g=1: 橢圓曲線；

　　g其他曲線，特別是費爾馬曲線。

　　費爾馬曲線的虧格 所以對的費爾馬方程，1929年英國數(shù)學家莫德爾（Lewis J. Mordell）提出著名的猜想：虧格的代數(shù)曲線上的有些點數(shù)目只有有限多個。1929年西格爾證明虧格的代數(shù)曲線上的整點（即坐標均為整數(shù)點）數(shù)目只有有限多個。

　　當然，一般有理數(shù)的數(shù)目要比整點數(shù)目多得多。

　　1983年，德國數(shù)學家法爾廷斯證明了莫德爾猜想。他的證明用到了多位數(shù)學家的成果。他的結(jié)果被認為是上世紀的一個偉大定理，他因此而獲得1986年的菲爾茲（Fields）獎。從莫德爾猜想我們推出：如果xn + yn = zn有非平凡的互素的正整數(shù)解，那么解的個數(shù)只有有限多個。希斯-布朗利用莫德爾猜想，證明了對于幾乎所有的素數(shù)，費爾馬大定理成立。

　　由于莫德爾猜想的證明，數(shù)學家看出了一系列猜想最終可導致證明費爾馬大定理。

　　1983年，史皮婁（Lucien Szpiro）提出史皮婁猜想，并證明由史皮婁猜想可以推出，對于充分大的指數(shù)，費爾馬大定理均成立。1985年，與塞爾（D.W.Masser）等人提出一系列等價猜想，其中一個稱為abc猜想，由它可推出史皮婁猜想。1987年，史皮婁又提出一系列猜想，由它們也能推出史皮婁猜想。這些猜想似乎更容易下手，但至今一個也沒有證明。

　　1987年，塞爾由伽羅華表示出發(fā)提出一些更強的猜想，稱為塞爾強（弱）猜想。由它不僅可以推出費爾馬大定理，還可推出許多其他猜想，但這條路最終也沒有能走通。

　　1971年，埃萊古阿計（Yres Hellegouarch），最早把橢圓曲線與費爾馬大定理聯(lián)系起來，然而，符萊（Gerhard Frdy）卻是第一個把方向扭轉(zhuǎn)到正確軌道上的人。1985年，符萊證明如果費爾馬方程（為不少于5的素數(shù)）有非零解（即，則可設計一條橢圓曲線其中不妨假定為互素的非零整數(shù)，顯然它是有理數(shù)域上的橢圓曲線。

　　日本數(shù)學家谷山豐（1927—1958）在1955年召開的會議上研究了橢圓曲線的參數(shù)化問題。一條曲線的參數(shù)化對于曲線表示和研究曲線的性質(zhì)有很大幫助，這在中學學習解析幾何時我們就已經(jīng)看到了。橢圓曲線是三次曲線，它也可以用一些函數(shù)進行參數(shù)表示。但是，如果參數(shù)表示所用的函數(shù)能用模形式，（模函數(shù)是上半復平面上處處亞純函數(shù)的一類，模形式是模函數(shù)的推廣），則我們稱之為模曲線。模曲線有很好的性質(zhì)。我們希望任一橢圓曲線都是模曲線，這就是谷山一志村猜想。此后，數(shù)學家把證明費爾馬大定理化為證明對某一類橢圓曲線，谷山一志村猜想成立。

　　英國數(shù)學家維爾斯正是沿著這一道路，在經(jīng)過漫長的7年探索，終于在1993年6月取得突破。最終在一九九五年完全證明費爾馬大定理。

　　作為本文的結(jié)束，我想給數(shù)學愛好者提出一點自己的建議：數(shù)學中有一些看上去很簡單的結(jié)論，如歌德巴赫猜想、費爾馬大定理等要去證明卻是非常困難的。許多數(shù)學愛好者認為只要有好的“靈感”就能用初等數(shù)學的方法或不多的數(shù)學工具就能解決世界難題，結(jié)果白白花費了許多寶貴的時間。最近經(jīng)常從報上、網(wǎng)上看到某某解決了某某難題，一些媒體不負責任的報道可能會誤導一些數(shù)學愛好者。讓讀者了解費爾馬大定理的解決過程，從而希望數(shù)學愛好者不要盲目地作世界難題，這正是本文的初衷之一。如果你真的熱愛數(shù)學，立志于攻克數(shù)學難題，那么應該先學習某一專業(yè)的基礎知識，了解這一問題的國際研究動態(tài)，搞清楚前人的工作，然后再開展自己的研究。