我一直覺得，數(shù)學(xué)中的各種常數(shù)是最令人敬畏的東西，它們似乎是宇宙誕生之初上帝就已經(jīng)精心選擇好了的。那一串無限不循環(huán)的數(shù)字往往會(huì)讓人陷入一種無底洞般的沉思——為什么這串?dāng)?shù)字就不是別的，偏偏就是這個(gè)樣呢。除了那些眾所周知的基本常數(shù)之外，還有很多非主流的數(shù)學(xué)常數(shù)，它們的存在性和無理性同樣給它們賦予了濃重的神秘色彩。今天，就讓我們一起來看一看，數(shù)學(xué)當(dāng)中到底有哪些神秘的無理常數(shù)。

 
√2 ≈ 1.4142135623730950488

    古希臘的大哲學(xué)家 Pythagoras 很早就注意到了數(shù)學(xué)與大千世界的聯(lián)系，對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展有著功不可沒的貢獻(xiàn)。他還創(chuàng)立了在古希臘影響最深遠(yuǎn)的學(xué)派之一—— Pythagoras 學(xué)派。 Pythagoras 學(xué)派對(duì)數(shù)字的認(rèn)識(shí)達(dá)到了審美的高度。他們相信，在這個(gè)世界中“萬物皆數(shù)”，所有事物都可以用整數(shù)或者整數(shù)之比來描述。
    第一個(gè)無理數(shù) √2 的發(fā)現(xiàn)者就是一位 Pythagoras 學(xué)派的學(xué)者，他叫做 Hippasus 。據(jù)說，一日 Hippasus 向 Pythagoras 提出了這樣的問題：邊長(zhǎng)為 1 的正方形，對(duì)角線長(zhǎng)度能用整數(shù)之比來表示嗎？ Pythagoras 自己做了一些思考，證明了這個(gè)數(shù)確實(shí)無法用整數(shù)之比來表示。由于這一發(fā)現(xiàn)觸犯了學(xué)派的信條，因此 Pythagoras 殺害了 Hippasus 。
    利用勾股定理可知，這個(gè)數(shù)是方程 x^2 = 2 的唯一正數(shù)解，我們通常就記作 √2 。 √2 可能是最具代表性的無理數(shù)了，我們之前曾經(jīng)介紹過很多 √2 的無理性的證明。無理數(shù)的出現(xiàn)推翻了古希臘數(shù)學(xué)體系中的一個(gè)最基本的假設(shè)，直接導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，整座數(shù)學(xué)大廈險(xiǎn)些轟然倒塌。
    無理數(shù)雖說無理，在生產(chǎn)生活中的用途卻是相當(dāng)廣泛。例如，量一量你手邊的書本雜志的長(zhǎng)與寬，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的比值就約為 1.414 。這是因?yàn)橥ǔＳ∷⒂玫募垙埗紳M足這么一個(gè)性質(zhì)：把兩條寬邊對(duì)折到一起，得到一個(gè)新的長(zhǎng)方形，則新長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之比和原來一樣。因此，如果原來的長(zhǎng)寬比為 x : 1 ，新的長(zhǎng)寬比就是 1 : x/2 。解方程 x : 1 = 1 : x/2 就能得到 x = √2 。

 
圓周率 π ≈ 3.1415926535897932385

    不管圓有多大，它的周長(zhǎng)與直徑的比值總是一個(gè)固定的數(shù)。我們就把這個(gè)數(shù)叫做圓周率，用希臘字母 π 來表示。人們很早就認(rèn)識(shí)到了圓周率的存在，對(duì)圓周率的研究甚至可以追溯到公元以前；從那以后，人類對(duì)圓周率的探索就從未停止過。幾千年過去了，人類對(duì)圓周率的了解越來越多，但卻一直被圓周率是否有理的問題所困擾。直到 1761 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家 Lambert 才證明了 π 是一個(gè)無理數(shù)。
    π 是數(shù)學(xué)中最基本、最重要、最神奇的常數(shù)之一，它常常出現(xiàn)在一些與幾何毫無關(guān)系的場(chǎng)合中。例如，任意取出兩個(gè)正整數(shù)，則它們互質(zhì)（最大公約數(shù)為 1 ）的概率為 6 / π^2 。

 
自然底數(shù) e ≈ 2.7182818284590452354

    在 17 世紀(jì)末，瑞士數(shù)學(xué)家 Bernoull 注意到了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：當(dāng) x 越大時(shí)， (1 + 1/x)^x 將會(huì)越接近某個(gè)固定的數(shù)。例如， (1 + 1/100)^100 ≈ 2.70481 ， (1 + 1/1000)^1000 ≈ 2.71692 ，而 (1 + 1/10000)^10000 則約為 2.71815 。 18 世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家 Euler 仔細(xì)研究了這個(gè)問題，并第一次用字母 e 來表示當(dāng) x 無窮大時(shí) (1 + 1/x)^x 的值。他不但求出了 e ≈ 2.718，還證明了 e 是一個(gè)無理數(shù)。
    e 的用途也十分廣泛，很多公式里都有 e 的身影。比方說，如果把前 n 個(gè)正整數(shù)的乘積記作 n! ，則有 Stirling 近似公式 n! ≈ √2 π n (n / e)^n 。在微積分中，無理數(shù) e 更是大顯神通，這使得它也成為了高等數(shù)學(xué)中最重要的無理數(shù)之一。

 
黃金分割 φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.6180339887498948482

    把一根線段分為兩段，分割點(diǎn)在什么位置時(shí)最為美觀？分在中點(diǎn)處，似乎太對(duì)稱了不好看；分在三等分點(diǎn)處，似乎又顯得有些偏了。人們公認(rèn)，最完美的分割點(diǎn)應(yīng)該滿足這樣一種性質(zhì)：較長(zhǎng)段與較短段的長(zhǎng)度比，正好等于整條線段與較長(zhǎng)段的長(zhǎng)度比。這個(gè)比值就叫做黃金分割，用希臘字母 φ 來表示。若令線段的較短段的長(zhǎng)度為 1 ，則 φ 就滿足方程 φ = (1 + φ) / φ ，可解出 φ = (1 + √5)/2 。
    在美學(xué)中，黃金分割有著不可估量的意義。在那些最偉大的美術(shù)作品中，每一個(gè)細(xì)節(jié)的構(gòu)圖都充分展示了黃金分割之美。在人體中，黃金分割也無處不在——肘關(guān)節(jié)就是整只手臂的黃金分割點(diǎn)，膝關(guān)節(jié)就是整條腿的黃金分割點(diǎn)，而肚臍則位于整個(gè)人的黃金分割點(diǎn)處。
    在數(shù)學(xué)中，黃金分割 φ 也展示出了它的無窮魅力。例如，在正五角星中，同一條線上三個(gè)點(diǎn) A 、 B 、 C 就滿足 AB : BC = φ 。再比如，在 Fibonacci 數(shù)列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … 中，相鄰兩數(shù)之比將會(huì)越來越接近于 φ 。

 
Khinchin 常數(shù) K ≈ 2.6854520010653064453

    每一個(gè)實(shí)數(shù)都能寫成 a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + …)) 的形式，其中 a₀, a₁, a₂, ... 都是整數(shù)。我們就把 [a₀; a₁, a₂, a₃, …] 叫做該數(shù)的連分?jǐn)?shù)展開。和小數(shù)展開比起來，連分?jǐn)?shù)展開具有更加優(yōu)雅漂亮的性質(zhì)，這使得連分?jǐn)?shù)成為了數(shù)學(xué)研究中的必修課。
    在 1964 年出版的一本連分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)課本中，數(shù)學(xué)家 Khinchin 證明了這樣一個(gè)驚人的結(jié)論：除了有理數(shù)、二次整系數(shù)方程的根等部分特殊情況以外，幾乎所有實(shí)數(shù)的連分?jǐn)?shù)展開序列的幾何平均數(shù)都收斂到一個(gè)相同的數(shù)，它約為 2.685452 。例如，圓周率 π 的連分?jǐn)?shù)展開序列中，前 20 個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)約為 2.62819 ，前 100 個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)則為 2.69405 ，而前 1 000 000 個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)則為 2.68447 。
    目前，人們對(duì)這個(gè)神秘常數(shù)的了解并不太多。雖然 Khinchin 常數(shù)很可能是無理數(shù)，但這一點(diǎn)至今仍未被證明。而 Khinchin 的精確值也并不容易求出。 1997 年， David Bailey 等人對(duì)一個(gè)收斂極快的數(shù)列進(jìn)行了優(yōu)化，但也只求出了 Khinchin 小數(shù)點(diǎn)后 7350 位。

 
Conway 常數(shù) λ ≈ 1.3035772690342963913

    你能找出下面這個(gè)數(shù)列的規(guī)律嗎？

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, …

    這個(gè)數(shù)列的規(guī)律簡(jiǎn)單而又有趣。數(shù)列中的第一個(gè)數(shù)是 1 。從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都是對(duì)前一個(gè)數(shù)的描述：第二個(gè)數(shù) 11 就表示它的前一個(gè)數(shù)是“ 1 個(gè) 1 ”，第三個(gè)數(shù) 21 就表示它的前一個(gè)數(shù)是“ 2 個(gè) 1 ”，第四個(gè)數(shù) 1211 就表示它的前一個(gè)數(shù)是“ 1 個(gè) 2 ， 1 個(gè) 1 ”……這個(gè)有趣的數(shù)列就叫做“外觀數(shù)列”。
    外觀數(shù)列有很多有趣的性質(zhì)。例如，數(shù)列中的數(shù)雖然會(huì)越來越長(zhǎng)，但數(shù)字 4 永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)。 1987 年，英國(guó)數(shù)學(xué)家 John Conway 發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)數(shù)列中，相鄰兩數(shù)的長(zhǎng)度之比越來越接近一個(gè)固定的數(shù)。最終，數(shù)列的長(zhǎng)度增長(zhǎng)率將穩(wěn)定在某個(gè)約為 1.303577 的常數(shù)上。 John Conway 把這個(gè)常數(shù)命名為 Conway 常數(shù)，并用希臘字母 λ 表示。 John Conway 證明了 λ 是一個(gè)無理數(shù)，它是某個(gè) 71 次方程的唯一實(shí)數(shù)解。

 
Champernowne 常數(shù) C₁₀ ≈ 0.1234567891011121314

    把全體正整數(shù)從小到大依次寫成一排，并在最前面加上一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，便得到了一個(gè)無限小數(shù) 0.1234567891011121314… 。這個(gè)數(shù)是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Champernowne 于 1933 年構(gòu)造出來的，他把它命名為 Champernowne 常數(shù)，用符號(hào) C₁₀ 表示。與其它的數(shù)學(xué)常數(shù)相比，Champernowne 常數(shù)有一個(gè)很大的區(qū)別：這個(gè)數(shù)僅僅是為了論證一些數(shù)學(xué)問題而人為定義出來的，它并未描述任何一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象。
    Champernowne 常數(shù)有很多難能可貴的性質(zhì)。首先，容易看出它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，因此它也就是一個(gè)無理數(shù)。其次，它還是一個(gè)“超越數(shù)”，意即它不是任何一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式方程的解。它還是一個(gè)“正規(guī)數(shù)”，意即每一種數(shù)字或者數(shù)字組合出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都是均等的。在眾多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中， Champernowne 常數(shù)都表現(xiàn)出了其非凡的意義。