比根號2更“無理”的數(shù)
大家中學(xué)時就學(xué)過，根號 2 是一個無理數(shù)，它不能表示成兩個整數(shù)之比，是一個看上去毫無規(guī)律的無限不循環(huán)小數(shù)。事實上，根號 2 只是最普通的無理數(shù)。在無理數(shù)大家庭中，還有很多比根號 2 更詭異的數(shù)。
大家中學(xué)時就學(xué)過，根號 2 是一個無理數(shù)，它不能表示成兩個整數(shù)之比，是一個看上去毫無規(guī)律的無限不循環(huán)小數(shù)。早在古希臘時代，人們就發(fā)現(xiàn)了這種奇怪的數(shù)，這推翻了古希臘數(shù)學(xué)中的基本假設(shè)，直接導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機。
事實上，根號 2 只是最普通的無理數(shù)。在無理數(shù)大家庭中，還有很多比根號 2 更詭異的數(shù)。
（注：從歷史角度來看，把“無理數(shù)”理解成“無理的數(shù)”其實是一種錯誤的做法。中國最初對 irrational number 的翻譯是不對的，irrational 這個單詞本應(yīng)該取“不可比的”之義）
代數(shù)數(shù)與超越數(shù)
根號 2 雖然是無理數(shù)，不過也不是那么沒規(guī)律了。它是方程 x 2 - 2 = 0 的其中一個解。如果某個數(shù)能成為一個整系數(shù)多項式方程（a n · x n + … + a 1 · x + a 0 = 0）的解，我們就把它叫做“代數(shù)數(shù)”（algebraic number）。那些用根號表示出來的無理數(shù)，全都是代數(shù)數(shù)。
不是代數(shù)數(shù)的實數(shù)統(tǒng)統(tǒng)被稱為“超越數(shù)”（transcendental number），它不滿足任何一個整系數(shù)多項式方程。超越數(shù)無疑是更“怪”的數(shù)，是否存在這樣的數(shù)在數(shù)學(xué)史上早有爭論。1844 年，法國數(shù)學(xué)家柳維爾（Joseph Liouville）構(gòu)造了第一個超越數(shù)——柳維爾數(shù)（Liouville number）。這個數(shù)是 0.110001000000000000000001… ，其中小數(shù)點后面第 1，2，6，24，120，... 位是 1，其余位都是 0。柳維爾證明了這個數(shù)是一個超越數(shù)，它不滿足任何整系數(shù)多項式方程。
1873 年，法國數(shù)學(xué)家夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）證明了自然底數(shù) e 是一個超越數(shù)。1882 年，德國數(shù)學(xué)家林德曼（Ferdinand von Lindemann）證明了圓周率 π 是一個超越數(shù)。
但是，人們對超越數(shù)的了解還是太少。至今數(shù)學(xué)家們?nèi)匀徊恢溃?#960; + e、π - e、π·e、π/e 是否是超越數(shù)。雖然如此，大家還是普遍相信它們都是超越數(shù)，畢竟它們不大可能恰好滿足一個各項系數(shù)都是整數(shù)的多項式方程。
可計算數(shù)與不可計算數(shù)
圓周率的小數(shù)展開看上去似乎是完全隨機的，但畢竟是有辦法算出來的。如果你想知道 π 的小數(shù)點后第一億位是多少，我總能在有限的時間里算出答案來。
1975 年，計算機科學(xué)家格里高里·蔡廷（Gregory Chaitin）研究了一個很有趣的問題：任意指定一種編程語言中，隨機輸入一段代碼，這段代碼能成功運行并且會在有限時間里終止（不會無限運行下去）的概率是多大。他把這個概率值命名為了“蔡廷常數(shù)”（Chaitin's constant）。
這聽起來有點不可思議，但事實上確實如此——蔡廷常數(shù)是一個不可計算數(shù)（uncomputable number）。也就是說，雖然蔡廷常數(shù)是一個確定的數(shù)字，但現(xiàn)已在理論上證明了，你是永遠無法求出它來的。
可定義數(shù)與不可定義數(shù)
盡管蔡廷常數(shù)算不出來，不過我們卻知道蔡廷常數(shù)是什么。它有一個明確的定義。但是，并不是所有的數(shù)都能夠用有限的文字描述出來的。原因很簡單，因為長度有限的文字段落是可以逐一枚舉的（雖然有無窮多），而全體實數(shù)是不能枚舉的，因此總存在一些不可能用語言描述出來的數(shù)。這種數(shù)就叫做不可定義數(shù)（undefinable number）。
自然數(shù)也好，有理數(shù)也好，根號 2 也好，圓周率也好，蔡廷常數(shù)也好，它們都有明確的定義，都屬于可定義數(shù)的范疇。事實上，整個人類歷史上所有文獻提到過的所有實數(shù)都是可定義的，因為它們都已經(jīng)被我們描述出來了。但是，由于可定義數(shù)與全體實數(shù)的數(shù)量根本不在一個級別上，不可定義的數(shù)遠遠多于可定義的數(shù)。
那么，誰發(fā)現(xiàn)了第一個不可定義數(shù)呢？答案是，從沒有人發(fā)現(xiàn)過不可定義的數(shù)，以后也不會有人找到不可定義的數(shù)。因為不可定義數(shù)是無法用語言描述的，我們只能用非構(gòu)造的方式證明不可定義數(shù)的存在性，但卻永遠沒法找出一個具體例子來。
好在，雖然有那么多數(shù)是沒有辦法描述的，但數(shù)學(xué)家們也不會損失什么。每一個值得研究的數(shù)一定都有著優(yōu)雅漂亮的性質(zhì)，這些性質(zhì)就已經(jīng)讓它成為了能夠被定義出來的數(shù)。
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