我們知道，靜止的電荷系統(tǒng)在空間中激發(fā)的靜電場可以通過庫侖定律計(jì)算。但是，并非所有靜電問題都能夠預(yù)先知道電荷的分布狀況。如果不知道電荷的分布狀況，就無法用庫侖定律直接求解靜電場。在這種情況下，需要尋找靜電場所滿足的微分方程，這可以用高斯定律和環(huán)路定理通過矢量場論的計(jì)算得到。

設(shè)想空間中有一個封閉的曲面  ，高斯定律說，靜電場通過該封閉曲面的電通量只與面內(nèi)的總電量有關(guān)：其中的體積分是對封閉曲面所包圍的區(qū)域  實(shí)施的，該封閉曲面的大小和形狀是任意的，如下左圖所示。利用矢量場論中的奧—高公式可以將這個積分形式的方程轉(zhuǎn)變成微分方程。

首先，利用奧-高公式將通過閉合曲面  的電通量轉(zhuǎn)化成電場強(qiáng)度的散度對  所包圍的區(qū)域的體積分：另一方面，由于  和  的大小及形狀是任意的，因此，為了使上述等式中最后一個等號有效，兩個體積分中的被積函數(shù)必須相等：這就是電場強(qiáng)度所滿足的其中一個偏微分方程。

作為偏微分方程，僅有散度方程并不夠，還需要電場強(qiáng)度的旋度方程，這可由環(huán)路定理和斯托克斯公式得到。

設(shè)想空間中有一條閉合曲線，靜電場的環(huán)路定理說，靜電場對閉合曲線的環(huán)路積分恒等于零：其中閉合曲線的大小是任意的。利用矢量場論中的斯托克斯公式可以將這個積分形式的方程轉(zhuǎn)變成微分方程。

根據(jù)斯托克斯公式，如上右圖所示，靜電場的環(huán)路積分等于它的旋度對以積分環(huán)路為邊界的任意曲面的積分：積分環(huán)路和曲面的任意性導(dǎo)致面積分中的被積函數(shù)必須等于零：這正是電場強(qiáng)度所滿足的另一個偏微分方程，它表明靜電場是無旋場。前面給出的靜電場的散度方程則說明，電荷分布區(qū)是激發(fā)電場的源頭。

靜電場的散度方程與旋度方程一起，構(gòu)成一組完備的線性偏微分方程，配合相應(yīng)的邊條件就能夠得到唯一的解。如果要求電場強(qiáng)度在無窮遠(yuǎn)處等于零，那么，求解這組方程就能夠得到唯一的一個解，它就是庫侖解。