矩形ABCD中，E、F是AD、CD的中點(diǎn)，連接BE、BF，∠ABE=2∠FBC，BE=5，則BF=________

方法一：平行+中點(diǎn)

延長(zhǎng)BE交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BF交AD于點(diǎn)M，連接CE

E為AD的中點(diǎn)，故AE=DE，又∠AEB=∠DEN，∠BAE=∠NDE，得△ABE≌△DNE；同理得△BCF≌△MDF，

而CD=AB，DE=AE，∠BAE=∠CDE，得△CDE≌△BAE，EC=BE=5

設(shè)∠M=α，則∠END=∠ABE=∠ECD=2α，∠CFG=∠DFM=90°-α，得∠CGF=90°-α，CF=CG

EM||BC，EG：GC=EM：BC=3：2，得EG=3，GC=2，于是CF=2，CD=4，

DE=3，BC=6，由勾股定理得BF=2

點(diǎn)評(píng)：此法由中點(diǎn)聯(lián)想而得，中點(diǎn)+平分線，聯(lián)想到延長(zhǎng)后得全等，利用角度關(guān)系得到等腰三角形.

方法二：翻折、二倍角

延長(zhǎng)BE交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，E為AD的中點(diǎn)，故AE=DE，又∠AEB=∠DEN，∠BAE=∠NDE，得△ABE≌△DNE；設(shè)∠CBD=α，則∠G=∠ABE=2α；

將△BCF沿BC折疊得△BCH，則∠H=90°-α，于是∠GBH=90°-α，故GH=GB=10

設(shè)DF=m，則DG=2m，CF=CH=m，得5m=10,得m=2，AB=4，得AE=3，BC=6，故BF=2

點(diǎn)評(píng)：此法由二倍角關(guān)系聯(lián)想到折疊法得等腰三角形，而延長(zhǎng)得全等可將兩角轉(zhuǎn)到一起.

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