2021年浙江麗水中考數(shù)學(xué)的這道壓軸題，對(duì)作圖的能力要求很高，不把圖形作出來，恐怕解不了。這是一道矩形上的動(dòng)點(diǎn)，和直角三角形的存在性問題。題目是這樣的：

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BE，作點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)F，且點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連結(jié)AF，BF，EF，過點(diǎn)F作GF⊥AF交AD于點(diǎn)G，設(shè)AD/AE=n.

(1)求證：AE=GE；

(2)當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，用含n的代數(shù)式表示AD/AB的值；

(3)若AD=4AB，且以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求n的值.

這道題要充分利用A，F(xiàn)關(guān)于BE對(duì)稱的關(guān)系，事實(shí)上，三角形AEB和三角形FBE也是關(guān)于BE對(duì)稱的。幾何壓軸題的第(1)小題，往往都沒有拋物線問題的第(1)小題那么簡(jiǎn)單，需要有比較好的邏輯思維能力。

證明：(1) ∵A, F關(guān)于BE對(duì)稱，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，

∵GF⊥AF，∴∠EFG=90度-∠AFE=90度-∠EAF=∠AGF，【這個(gè)等式含有比較大的信息量，既有互為鄰補(bǔ)角的定義，又也有等量替換，還有直角三角形兩個(gè)銳角互余定理的運(yùn)用】

∴GE=EF，∴AE=GE.

第(2)小題幾乎無法通過單純推理得到最后的結(jié)果。只能摸著石頭過河，通過求AE和AB之間的關(guān)系，去推算。最后有點(diǎn)“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。

解：(2)如圖，當(dāng)F落在AC上時(shí)，∠ACB=∠GAF, Rt△ABC∽R(shí)t△GFA，【因?yàn)樵瓐D不準(zhǔn)確，有必要的話，可以自己重新畫一個(gè)圖。】

又BE⊥AF，GF⊥AF，∴BE//GF,∴∠AEB=∠FGA，∴Rt△EAB∽R(shí)t△GFA，

∴Rt△ABC∽R(shí)t△EAB，【相似有也類似相等的替換定理。與同一個(gè)三角形相似的兩個(gè)三角形也相似】

∴AB/AE=BC/AB=AD/AB，即AE=AB^2/AD，AD/AE=AD^2/AB^2 =n,

∴AD/AB =根號(hào)n.【這個(gè)結(jié)果有點(diǎn)出乎老黃的意料】

由于原題提供的圖形和第(3)小題的題意出入較大，所以一定要自己作圖，否則很有可能會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。首先，第(2)小題其實(shí)是滿足第(3)小題的一種情形。

(3)(2)中∠CFG=90度, AD/AB=根號(hào)n=4, n=16;

當(dāng)∠CGF=90度時(shí), 如圖2, ∠DGC=∠GAF, 【如果在題目給的原圖上作圖，會(huì)錯(cuò)誤地發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角不可能相等?！?/p>

∴Rt△CDG∽R(shí)t△GFA∽R(shí)t△EAB ，∴CD/AE=DG/AB=(AD-2AE)/AB，

即AD/(4AE)=4(AD-2AE)/AD，化得：AD^2-16AE·AD+32AE^2=0，

解得：AD=8+4根號(hào)2 AE或AD=8-4根號(hào)2AE(舍去)，【當(dāng)AD=8-4根號(hào)2AE時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)在矩形ABCD外部】

∴n=AD/AE=8+4根號(hào)2.

當(dāng)∠FCG=90度時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)G與D重合，且點(diǎn)F在BC上時(shí)成立, 如圖3.【其實(shí)這種情形下，點(diǎn)F一定在矩形ABCD外部】

則Rt△CFG∽R(shí)t△BAF, ∴CF/AB=CD/BF,

又AB=BF=CD，∴CF/AB=1, CF=AB, AD=BC=CF+BF=2AB, 矛盾！【事實(shí)上，證明矛盾的方法有很多】

∴n=16或8+4根號(hào)2.

從初一開始，學(xué)生就要有意識(shí)地練習(xí)作圖能力。作圖能力對(duì)中考數(shù)學(xué)的幫助是很大的。