哥廷根數(shù)學(xué)的人和事

taotao_2016 2024-12-29 發(fā)布于遼寧

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哥廷根曾是世界數(shù)學(xué)的中心，被譽為數(shù)學(xué)圣地。本文將主要介紹哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的歷史，包括柏林大學(xué)數(shù)學(xué)的興起對學(xué)術(shù)研究的意義，著重于黎曼去世之后和克萊因之前多位偉大數(shù)學(xué)家的貢獻與影響。哥廷根數(shù)學(xué)發(fā)展受多種因素影響，歷經(jīng)起伏，其發(fā)展歷程展示了數(shù)學(xué)發(fā)展與大學(xué)、人才、政策等方面的緊密聯(lián)系。

撰文 | 王濤

哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的興起堪稱是數(shù)學(xué)史上最為璀璨的篇章之一，在20世紀的前30年里，哥廷根這座不起眼的小城絕對是世界數(shù)學(xué)的中心，被譽為數(shù)學(xué)圣地，有數(shù)學(xué)的“麥加”之稱。偉大的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)、濃厚的學(xué)術(shù)氛圍使每一個數(shù)學(xué)人陶醉，而哥廷根數(shù)學(xué)的人和事更是一道靚麗的風(fēng)景線。

哥廷根數(shù)學(xué)的偉大傳統(tǒng)，為高斯（C.F. Gauss，1777-1855）首創(chuàng)。其繼任者都是德國最有聲望的數(shù)學(xué)家，如狄利克雷（P.G.L. Dirichlet，1805-1859）和黎曼（G.F.B. Riemann，1826-1866）。雖然他們推進了高斯的事業(yè)，但和高斯一樣，他們都未能給哥廷根帶來黃金歲月。不僅如此，1866年，隨著19世紀最富獨創(chuàng)性的數(shù)學(xué)家黎曼的去世，哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)進入了一段相對比較困難的時期。而與此同時，德國幾乎所有的大學(xué)——萊比錫、哥尼斯堡、埃爾朗根、波恩——都有知名的數(shù)學(xué)教授。在克萊因（F. Klein，1849-1925）1886年到達哥廷根大學(xué)之前，哥廷根大學(xué)并不具有優(yōu)勢，數(shù)學(xué)教授席位一度空缺甚至找不到合適的替代者，這與當(dāng)時柏林大學(xué)數(shù)學(xué)人才濟濟、興旺發(fā)達的局面形成了鮮明的對比。

柏林大學(xué)數(shù)學(xué)的興起

19世紀中葉的德意志遠不是一個統(tǒng)一的國家，而是分為大大小小的邦國。哥廷根位于漢諾威王國內(nèi)，柏林位于普魯士王國內(nèi)。其中普魯士柏林大學(xué)的興起絕對值得一提。

1806年第四次反法同盟失敗，作為同盟國之一的普魯士幾乎全軍覆沒，不久，柏林也陷落。拿破侖殘忍地對待了普魯士，這使得普魯士發(fā)誓要報仇。施泰因、哈登堡、洪堡從政治、經(jīng)濟、軍事和教育各個方面對普魯士進行了改革，其中教育改革是重中之重。1809年，出生于波茨坦貴族家庭的威廉·馮·洪堡（Wilhelm von Humboldt，1767-1835）出任普魯士教育文化部部長，掌管普魯士所有的教育文化事務(wù)，在短暫的任期內(nèi)，洪堡改革了普魯士引以為傲的教育制度。洪堡建立了新的教育制度，設(shè)初等教育、中等教育和高等教育三個層次；采用新的教學(xué)法，規(guī)定只有受過訓(xùn)練的合格教師才能任教。不少德國頂級數(shù)學(xué)家都曾在中學(xué)任教，包括晚年被視為德意志民族英雄的魏爾斯特拉斯（K. Weierstrass，1815-1897），當(dāng)時很多成果都需要他拍板才能獲得認可，比如1882年林德曼（C.L.F. Lindemann，1852-1939）證明π的超越性。

洪堡的教育改革得到了普魯士國王威廉三世的支持，威廉三世不僅接受了洪堡的建議，甚至不惜將豪華的王宮——海因利希宮貢獻出來作校舍，籌建一所重點大學(xué)。就這樣，一所以國王的名字——弗里德里?！ね拇髮W(xué)成立了，這就是現(xiàn)在著名的柏林大學(xué)。國王威廉三世甚至用自己的家底每年為柏林大學(xué)撥款15萬塔勒。當(dāng)時他給教授們說道：“這個國家必須用它精神上的力量來彌補它物質(zhì)上的損失，……，教育不僅不會使國家貧窮，相反教育是擺脫貧困的最好手段！”

由于洪堡巨大的貢獻，柏林大學(xué)也被稱為“洪堡大學(xué)”。

在柏林大學(xué)的創(chuàng)辦和發(fā)展過程中，亞歷山大·馮·洪堡(Alexander von Humboldt，1769-1859)發(fā)揮了重要的作用。亞歷山大·馮·洪堡是威廉·馮·洪堡的弟弟，著名的自然科學(xué)家和探險家。他是世界上第一個大學(xué)地理系——柏林大學(xué)地理系的首任系主任。亞歷山大·馮·洪堡非常喜歡數(shù)學(xué)，對德國數(shù)學(xué)界的影響很大。比如，1826年他曾給年輕的狄利克雷寫過推薦信，推薦他到柏林大學(xué)任職；幫助雅克比（C.G.J. Jacobi，1804-1851）爭取過津貼，還與克羅內(nèi)克（L. Kronecker，1823-1891）熟識；此外，他還幫助過高斯、史坦納（Steinner，1796-1863）和庫默爾（E.E. Kummer，1810-1893）任教授等職位。為了紀念這位偉大的科學(xué)家，柏林大學(xué)于1860年設(shè)立了著名的洪堡基金。得到資助的學(xué)者一般被稱為洪堡學(xué)者，我國有不少學(xué)者都曾得到過洪堡基金的資助。

這所比哥廷根大學(xué)創(chuàng)辦晚75年的柏林大學(xué)賦予了大學(xué)以新的含義——學(xué)術(shù)研究。大學(xué)的意義不僅在于教學(xué)，還在于科學(xué)研究，探求真理，這就是柏林大學(xué)的理念，這一理念代表著新型大學(xué)的發(fā)展方向。與純粹由普魯士人建立的新型研究型大學(xué)相比，由英國人建立的哥廷根大學(xué)似乎更注重紳士教育，這點在高斯身上體現(xiàn)得淋漓盡致。但不管怎么說，19世紀30年代柏林大學(xué)正式有了數(shù)學(xué)系，狄利克雷被聘為柏林大學(xué)的教授。

哥廷根數(shù)學(xué)的陣痛

柏林大學(xué)的興起是普魯士整個國家興旺發(fā)達的一個縮影。普魯士逐漸地強大起來并試圖完成時代賦予它的使命——結(jié)束德國分裂的局面。從哥廷根大學(xué)畢業(yè)的普魯士首相俾斯麥開始了德意志鐵與血的統(tǒng)一。1866年，也就是黎曼去世的那一年，普奧戰(zhàn)爭爆發(fā)并以《布拉格和約》而告終，戰(zhàn)時協(xié)助奧地利的漢諾威被普魯士吞并，哥廷根大學(xué)的地位一落千丈。而與之相反，柏林則從普魯士這個邦國的首都一躍成為北德意志聯(lián)邦的首都，5年之后，柏林又成為整個德意志聯(lián)邦的首都，柏林大學(xué)的地位得到了極大的提升。有一件事能反映出柏林對于哥廷根的數(shù)學(xué)優(yōu)勢，黎曼去世后哥廷根曾試圖聘請柏林大學(xué)的克羅內(nèi)克，但克羅內(nèi)克婉言謝絕了，原因是柏林的學(xué)習(xí)、工作、生活環(huán)境使克羅內(nèi)克感到滿意。其實不僅如此，柏林大學(xué)的數(shù)學(xué)在魏爾斯特拉斯、庫默爾和克羅內(nèi)克的領(lǐng)導(dǎo)下已經(jīng)發(fā)展到一個相當(dāng)?shù)膶哟危诤瘮?shù)論、數(shù)論、幾何基礎(chǔ)方向都有很強的實力，并且形成了一個學(xué)派，這就是數(shù)學(xué)史上著名的柏林學(xué)派。

但陣痛過后哥廷根終于迎來了自己的輝煌，這一輝煌締造出一個新的學(xué)派——哥廷根學(xué)派。到19世紀末期，隨著柏林三巨頭的去世，柏林大學(xué)的優(yōu)勢逐漸喪失，到20世紀初，局勢已經(jīng)完全逆轉(zhuǎn)過來了。1902年，隨著富克斯（I.L. Fuchs，1833-1902）的去世，柏林大學(xué)試圖聘請哥廷根的希爾伯特（D. Hilbert，1862-1943）來繼任這個位置，希爾伯特不僅拒絕了這一任命，相反他還建議克萊因要求德意志教育文化部部長阿爾道夫（F. Althoff，1839-1908）在哥廷根增設(shè)一個數(shù)學(xué)教授席位，并且聘請他的好友閔科夫斯基（H. Minkowski，1864-1909）來擔(dān)任這個位置，這一建議也被阿爾道夫采納?？巳R因與阿爾道夫相識于普法戰(zhàn)爭（1870-1871年），他們彼此非常尊重對方。由于這層關(guān)系的存在，阿爾道夫非常支持哥廷根數(shù)學(xué)的發(fā)展，這樣到了1902年，哥廷根在數(shù)學(xué)教授的數(shù)量上也趕上和超過了柏林大學(xué)，由此哥廷根數(shù)學(xué)開始了真正意義上的黃金時代。

在多數(shù)描寫哥廷根數(shù)學(xué)的資料中，過多的筆墨留在了高斯、狄利克雷、黎曼、克萊因和希爾伯特那里。然而黎曼1866年去世之后的繼任者是誰？在克萊因1886年到哥廷根任教授之前，哥廷根的數(shù)學(xué)又是如何發(fā)展的呢？

黎曼的繼任者——克萊布什

克萊布什（A. Clebsch，1833-1872）生于東普魯士的哥尼斯堡，1850年入哥尼斯堡大學(xué)，深受兩位老師黑塞（Hesse）和里奇勞特（F. Richelot）的影響，他們都是雅克比的學(xué)生。實際上，克萊布什從未與雅克比謀面，因為雅克比在他入學(xué)后第二年（1851年）就去世了，但克萊布什通過收集雅克比的全集而受到了雅克比的影響。1854年克萊布什到柏林深造。1858年到1863年在卡爾斯魯厄（Karlsruhe）任理論力學(xué)教授，其后又在吉森（Giessen）任數(shù)學(xué)教授。1868年克萊布什移居哥廷根，成為黎曼的繼任者。同年，他與紐曼（C.G. Neumann，1832-1925）一起創(chuàng)辦了一份重要的數(shù)學(xué)雜志《數(shù)學(xué)年刊》（Mathematische Annalen），這是一份非常有影響的雜志，希爾伯特從1902年起一直擔(dān)任該刊的主編。

克萊布什早期工作的興趣在數(shù)學(xué)物理方面，他對變分法和微分方程也有研究，但克萊布什最主要的工作是代數(shù)幾何。代數(shù)幾何是19世紀最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造之一，100多年來已發(fā)展成為數(shù)學(xué)的核心部分，它與所有數(shù)學(xué)分支都有著密不可分的聯(lián)系并推動著它們的發(fā)展。代數(shù)幾何學(xué)的研究對象是由多項式方程或方程組所定義的代數(shù)簇。代數(shù)簇的特殊情形是代數(shù)曲線和代數(shù)曲面。

克萊布什研究的主要是復(fù)數(shù)域上的代數(shù)曲線和代數(shù)曲面。代數(shù)幾何的中心問題是分類，19世紀中葉代數(shù)曲線的分類由黎曼所奠定，并由克萊布什繼承。為了對曲線進行分類，克萊布什首次引入連通、虧格等概念，證明了一系列有關(guān)定理?？巳R布什明確指出，代數(shù)幾何學(xué)研究雙有理變換及其不變量，而他本人正是以這種觀點研究代數(shù)曲線和代數(shù)曲面的。

克萊布什開創(chuàng)了德國的代數(shù)幾何學(xué)派，他和黎曼被稱為是經(jīng)典代數(shù)幾何的奠基人。他的學(xué)生布瑞爾（A.W.V. Brill，1842-1935）和M. 諾特（M. Nother，1844-1921）繼承發(fā)展了克萊布什的思想，他們都是當(dāng)時著名的代數(shù)幾何學(xué)家。而M. 諾特正是數(shù)學(xué)史上最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家E. 諾特（E. Nother，1882-1935）的父親，后來E. 諾特來到了哥廷根，在哥廷根數(shù)學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮了不可估量的作用。像M. 諾特和E. 諾特這樣父女同為杰出數(shù)學(xué)家的組合在數(shù)學(xué)史上似乎并不多見。

然而自高斯去世之后，哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)教授似乎中了一個魔咒：其繼任者都沒能在這個職位上干多長時間。狄利克雷在這個位置上只待了4年就去世了。而其繼任者黎曼在擔(dān)任這個職位3年后感染了胸膜炎，后期一直在意大利養(yǎng)病。作為黎曼的繼任者，克萊布什也沒能幸免，在他任教授4年后由于患白喉病而去世。

數(shù)學(xué)教授的頻繁更迭對哥廷根數(shù)學(xué)的發(fā)展相當(dāng)不利。

把自己置于危險境地——富克斯

克萊布什的繼任者是富克斯，富克斯于1874年來到哥廷根。然而富克斯來到哥廷根大學(xué)不到一年，便接受了海德堡大學(xué)的任命而離去，這又從側(cè)面說明了哥廷根當(dāng)時甚至與海德堡相比也沒有多大的優(yōu)勢，在康斯坦絲·瑞德《希爾伯特——數(shù)學(xué)世界的亞歷山大》（李文林、袁向東譯）中對海德堡大學(xué)給予了如下評述：

海德堡大學(xué)是德國所有大學(xué)中最討人喜歡和最富有浪漫色彩的學(xué)校。

當(dāng)時的德國大學(xué)之間人才可以自由流動，學(xué)生可以在第二個學(xué)期轉(zhuǎn)到別的學(xué)校聽課。比較碰巧的是，希爾伯特于1881年到海德堡大學(xué)聽課，富克斯剛好在那里任教。富克斯的授課方式與眾不同，給希爾伯特留下了很深的印象。富克斯課前一般不做準備，對要講解的內(nèi)容總是現(xiàn)講現(xiàn)推，習(xí)慣于在課堂上把自己“置于危險的境地”。這確實是一個難得的機會，可以看到一位數(shù)學(xué)家的思維過程。不可否認這對希爾伯特有很大影響，以致于后來希爾伯特在哥廷根授課前也只做一般的準備，課上有細節(jié)錯誤更是常事，然而這更有助于他忽然展開對某個事實的想法。這點與克萊因追求盡善盡美大不相同，克萊因總是比學(xué)生們提前到，以檢查他可能疏漏的地方而加以改正。當(dāng)然他們的報告都是經(jīng)典。

富克斯主要從事的是微分方程方面的研究，他在微分方程方面的巨大貢獻使得他成為微分方程的代名詞。富克斯在常微分方程的理論方面，做出了重要貢獻。他利用超幾何級數(shù)解線性微分方程，1866年富克斯在他的一篇論文中指出，在奇點鄰域內(nèi)的解可以用級數(shù)表出，研究這一問題的理論被稱為線性微分方程的富克斯理論。這一理論直接指向了龐加萊（J.H. Poincaré，1854-1912）的自守函數(shù)理論，另一方面通過克萊因與橢圓函數(shù)論相結(jié)合，并間接地引起了龐加萊與克萊因的競爭。這些問題成為19世紀70-80年代許多數(shù)學(xué)家研究的主要課題，而且在微分方程理論本身中也扮演著重要的角色。自守函數(shù)中有一類重要的函數(shù)稱為富克斯函數(shù)。這類函數(shù)在一種線性變換的作用下是不變的，這些變換可以形成一個群，叫做富克斯群，這都說明富克斯在線性常微分方程方面有著巨大的貢獻。

富克斯的繼任者——施瓦茨（1875-1892）

1875年富克斯離任之后，哥廷根終于迎來了一位在哥廷根任職超過10年以上的數(shù)學(xué)教授——施瓦茨（H.A. Schwarz，1843-1921），施瓦茨對哥廷根有相當(dāng)?shù)挠绊憽Ｊ┩叽牡礁缤⒏?，根?jù)他的報告內(nèi)容制定了一份詳盡的計劃：首先，介紹微分與積分周期覆蓋、解析幾何、二階曲面、雙曲率曲面和綜合幾何等初等內(nèi)容。然后介紹解析函數(shù)周期覆蓋、橢圓函數(shù)、極小曲面、超幾何級數(shù)以及函數(shù)論等其他領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)系教授斯特恩（M.A. Stern，1807-1894）的支持下，1878年數(shù)學(xué)物理研討會率先建立一個流動圖書館，這個圖書館一直在施瓦茨的管理下，直到他離開哥廷根。隨著烏爾里希（G.K.J. Ulrich，1798-1879）的去世，他又接管了數(shù)學(xué)工具和模型室?，F(xiàn)在我們能在哥廷根數(shù)學(xué)研究所第三層走廊的模型室里看到多達500多件的模型。

施瓦茨的數(shù)學(xué)成就，主要體現(xiàn)在三個方面，分別是分析學(xué)、微分方程和幾何學(xué)。施瓦茨深受其老師魏爾斯特拉斯的影響，對函數(shù)論情有獨鐘。特別是在微分方程方面，施瓦茨在研究二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)時，引入了一類線性變換群，這一工作為自守函數(shù)研究創(chuàng)造了條件。

短暫的繼任者——韋伯（1892-1895）

H. 韋伯（H. Weber，1842-1913）出生于海德堡，1863年獲得海德堡大學(xué)博士學(xué)位。畢業(yè)后韋伯在一系列學(xué)校任職，他曾在哥尼斯堡大學(xué)任教授。哥尼斯堡大學(xué)的數(shù)學(xué)因雅克比而聞名，從數(shù)學(xué)史來看，雅克比的名聲至少要比現(xiàn)在高得多，他被譽為他那個時代僅次于高斯的數(shù)學(xué)家，這也不難理解法國天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（E. Galois，1811-1832）在臨死前一再要求請高斯和雅克比就他研究問題的重要性公開發(fā)表看法。雅克比在數(shù)學(xué)史上保持著幾項記錄，他是數(shù)學(xué)史上最為努力的數(shù)學(xué)家；此外，數(shù)學(xué)討論班制度也是由他創(chuàng)造的。討論班是德國數(shù)學(xué)教育和科研的一大創(chuàng)造，在德國數(shù)學(xué)的興起中扮演著極為重要的角色，直到今天它仍是數(shù)學(xué)教學(xué)和科研的不二法門，世界各地也經(jīng)常定期或者不定期舉辦各種著名的數(shù)學(xué)討論班。

韋伯天賦極高，多才多藝，在數(shù)論和數(shù)學(xué)物理方面都作出過重要的貢獻，算得上是雅克比的傳人。而年輕的希爾伯特在哥尼斯堡大學(xué)學(xué)習(xí)期間，曾跟隨他學(xué)習(xí)過數(shù)論和函數(shù)論。巧合的是，當(dāng)1895年韋伯離任去斯特拉斯堡大學(xué)任職時，接替他的正是希爾伯特。

韋伯是第一個給出群抽象定義的數(shù)學(xué)家，在群論抽象化的過程中起著舉足輕重的作用。他最著名的論著是《代數(shù)學(xué)教程》（Lehrbuch der Algebra），《代數(shù)學(xué)教程》在很長的一段時間里被當(dāng)做了教材。

哥廷根的其他教師

蒂博（B.F. Thibaut，1775-1832），1797年任哥廷根講師，1805年任教授。高斯不擅長教學(xué)，沒有多少學(xué)生，也沒有人愿意選他的課，而蒂博則與高斯形成了鮮明對比，他被譽為哥廷根最好的授課老師，其修辭風(fēng)格甚至可以和歌德相比。蒂博的主要研究領(lǐng)域為微分方程和積分學(xué)。他于1832年將一批測地工具和模型捐贈給了學(xué)校，到1865年這些工具和模型被專門放在一個展廳里。這一展廳由烏爾里希負責(zé)，經(jīng)過施瓦茨和希爾伯特的經(jīng)營，特別是克萊因，他甚至為模型室拉到了贊助，從而使模型室獲得了穩(wěn)定的資金支持。這就是現(xiàn)在哥廷根數(shù)學(xué)所第三層走廊里的模型的歷史源頭。可以想象，這些模型在當(dāng)年的幾何教學(xué)乃至科研中發(fā)揮了多么重要的作用，如今在Mathematica和Maple等數(shù)學(xué)軟件問世后，這些模型更多的是一種對歷史的承載。

斯特恩，1848年成為全職教授，這一年開始，哥廷根擁有了兩個數(shù)學(xué)教授席位。此外，斯特恩還是德意志第一個猶太教授，最早注意到了黎曼的天賦，曾協(xié)助高斯培養(yǎng)黎曼，克萊因繼任的正是他的位置。嚴格地說，克萊因并不屬于高斯、狄利克雷和黎曼這一教授席位的繼承人（見結(jié)尾附錄）。

烏爾里希,數(shù)學(xué)物理討論班的主要參與者之一，哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)工具和模型室的主要負責(zé)者，主要研究領(lǐng)域為立體幾何、三角學(xué)、應(yīng)用幾何、力學(xué)和土木建筑。

利斯亭（J.B. Listing,1808-1882），1834年博士畢業(yè)于哥廷根，其導(dǎo)師為高斯。1837年，W. 韋伯（W.E. Weber，1804-1891，注意與之前的H. 韋伯不是同一個人）由于參與了七君子事件而被解職，因此高斯建議利斯亭繼任這一職位 (物理系的職位)，盡管當(dāng)時他沒有發(fā)表過一篇文章。在高斯的影響下，他于1848年出版了《拓撲學(xué)初步研究》（Vorstu-dien zur Topologie），這是首次在出版物中用到“拓撲”這個詞，盡管在之前的信件中已出現(xiàn)過類似的詞匯。長久以來，這門學(xué)科更多被稱為位置分析（Analysis Situs），直到20世紀20年代美國數(shù)學(xué)家萊夫謝茲（S. Lefschetz,1884-1972）使用了拓撲學(xué)（Topology）這個名稱，這一學(xué)科的名稱才固定下來。

西林（Ernst Schering,1824-1897），德國數(shù)學(xué)家，1857年在哥廷根大學(xué)獲得博士學(xué)位，他最著名的工作是對高斯文章的編輯。

結(jié)語

在高斯時代，德國除了高斯之外，僅有少數(shù)幾個數(shù)學(xué)家進行著數(shù)學(xué)研究。這一局面在德意志統(tǒng)一后迅速得到了改觀，當(dāng)時德國數(shù)學(xué)已處于普遍高漲的狀態(tài)，其普及性即使法國也不可比。與這一時期的柏林大學(xué)相比，哥廷根數(shù)學(xué)發(fā)展的速度大大落后了，當(dāng)時哥廷根數(shù)學(xué)在德國眾多的數(shù)學(xué)研究中心中已沒有多大優(yōu)勢。

雖然克萊布什、富克斯、施瓦茨、H. 韋伯在數(shù)學(xué)史上沒有像高斯、狄利克雷和黎曼那樣顯赫的地位，但他們在哥廷根數(shù)學(xué)的發(fā)展史上卻不容忽視。在克萊因到達哥廷根之前，正是他們支撐了哥廷根數(shù)學(xué)的發(fā)展，并且在函數(shù)論、代數(shù)幾何、微分方程、代數(shù)等方向保持了領(lǐng)先。從歷史上看，函數(shù)論處于19世紀數(shù)學(xué)的中心地位，幾乎是評價所有數(shù)學(xué)家的試金石。許多大數(shù)學(xué)家在當(dāng)時之所以了不起，并非是像我們現(xiàn)在認為的那樣，而是由于他們在函數(shù)論這個領(lǐng)域的杰出工作。雅克比、魏爾斯特拉斯、黎曼、龐加萊更是因為他們對函數(shù)論的工作而獲得了他們寶貴的職位和顯赫的名聲。

數(shù)學(xué)發(fā)展需要大師，在施瓦茨和韋伯離任后，克萊因有了大施拳腳的機會，他網(wǎng)羅大師，在1895年聘來了希爾伯特，后來的發(fā)展證明了他獨到的眼光，正是希爾伯特巨大的威望，給哥廷根數(shù)學(xué)帶來了無比的聲譽。柏林則由于魏爾斯特拉斯的去世而趨于式微。數(shù)學(xué)發(fā)展需要有很強組織能力的人來領(lǐng)導(dǎo)，克萊因的行政天才的的確確給哥廷根的數(shù)學(xué)發(fā)展帶來了巨大的便利，而柏林的克羅內(nèi)克也為柏林爭取過不少利益。

數(shù)學(xué)的發(fā)展還需要政策，需要國家和政府的穩(wěn)定支持。德國大學(xué)之間充分的人才交流、默契的競爭以及和諧的發(fā)展，使得哥廷根數(shù)學(xué)逐漸迎來了自己的輝煌。但無可否認，柏林大學(xué)19世紀后半葉以及哥廷根數(shù)學(xué)1886-1933年間的輝煌是與德意志文化教育部的穩(wěn)定支持分不開的。終于在1933年之后，隨著納粹的掌權(quán)，哥廷根數(shù)學(xué)又毀于一旦，至今也沒有恢復(fù)當(dāng)年的榮耀。

附：哥廷根數(shù)學(xué)的編制（1800-1900）

哥廷根初期只有一個數(shù)學(xué)教授席位，也很少有學(xué)生選擇數(shù)學(xué)來作為他們主要的研究領(lǐng)域。1848年，哥廷根設(shè)立了第二個數(shù)學(xué)教授席位。