王淑紅 孫小淳

原發(fā)期刊：自然辯證法通訊 第41 卷第2 期（總246 期）

作者簡(jiǎn)介：王淑紅（1976-）女，河北黃驊人，河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授，中國(guó)科學(xué)院大學(xué)人文學(xué)院博士后，研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)及近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史。

孫小淳（1964-）男，江蘇溧陽(yáng)人，中國(guó)科學(xué)院大學(xué)人文學(xué)院科學(xué)技術(shù)史系教授，研究方向?yàn)樘煳膶W(xué)史、科技史、科學(xué)哲學(xué)等。

摘要：戴德金重視概念和方法，他認(rèn)為數(shù)是人類(lèi)心靈的自由創(chuàng)造。他提出了很多新概念和新定理，特別是用有理數(shù)的分割定義了無(wú)理數(shù)，得出了自然數(shù)的基礎(chǔ)，提出理想理論以及其他抽象代數(shù)的新概念，為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。他與很多數(shù)學(xué)家有著密切的學(xué)術(shù)交往，在數(shù)學(xué)共同體中發(fā)揮了不可或缺的作用。通過(guò)調(diào)研有關(guān)戴德金的文獻(xiàn)資料，分析他的成就、影響及其所在的數(shù)學(xué)共同體。

關(guān)鍵詞：戴德金  戴德金分割  心靈的創(chuàng)造  理想  數(shù)學(xué)共同體 

理 查 德· 戴 德 金（Richard Dedekind，1831-1916）是德國(guó)的一位名垂史冊(cè)的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、理論家和教育家。戴德金崇尚概念哲學(xué)，在數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域有所建樹(shù)，給出了很多概念和定理?，F(xiàn)在以他命名的數(shù)學(xué)概念主要有：戴德金分割（Dedekindcut）、戴德金環(huán)（Dedekind domain）、戴德金 η 函數(shù)（Dedekindeta function）、戴德金無(wú)窮集合（Dedekind infinite set）、戴德金數(shù)（Dedekind number）、 戴 德 金 和（Dedekind sum）和 戴 德 金zeta 函 數(shù)（Dedekind zeta function） 等。他最重要的成就是用戴德金分割重新定義了無(wú)理數(shù)以及引進(jìn)環(huán)論中理想的概念。戴德金的導(dǎo)師高斯有一句名言：數(shù)只是我們心靈的產(chǎn)物。戴德金對(duì)此非常贊同，并在自己的研究中一再?gòu)?qiáng)調(diào)數(shù)是人類(lèi)心靈的自由創(chuàng)造。

戴德金

 戴德金不僅能夠創(chuàng)造新數(shù)學(xué)，而且還能夠用結(jié)構(gòu)化的觀點(diǎn)把自己的思想表達(dá)得清晰明了。他引領(lǐng)了新的數(shù)學(xué)風(fēng)潮，深刻影響了數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。正如當(dāng)代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家哈羅德·愛(ài)德華茲（Harold M. Edwards，1936-）所說(shuō)：

“戴德金的遺產(chǎn) ... 不僅包括重要的定理和概念，而且整個(gè)數(shù)學(xué)風(fēng)格已經(jīng)對(duì)每一個(gè)后人產(chǎn)生鼓舞?！盵1]

戴德金一生淡泊名利，靜默自守。他對(duì)自己的能力和成就一向異常謙遜和低調(diào)。但他的光輝思想無(wú)法阻止人們給予他崇高的榮譽(yù)。他成為了哥廷根科學(xué)院（1862）、柏林科學(xué)院（1880）、羅馬科學(xué)院（1880）和巴黎科學(xué)院（1900）等科學(xué)院的通訊院士，被授予克里斯蒂安尼亞（今稱(chēng)奧斯陸）、蘇黎世和不倫瑞克等大學(xué)的榮譽(yù)博士。

1917 年，他的朋友和追隨者埃德蒙·蘭道（Edmund G. H. Landau，1877-1938）在《哥廷根皇家科學(xué)與人文學(xué)會(huì)新聞》上寫(xiě)道：“戴德金不僅僅是偉大的數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是有史以來(lái)數(shù)學(xué)歷史上真正杰出的人物。他是其所處偉大時(shí)代的最后一位英雄，高斯的關(guān)門(mén)弟子。40多年以來(lái)，他已經(jīng)成為經(jīng)典的作家，不只我們，就連我們的老師乃至于老師的老師均從他的工作中得到啟迪?！盵2]

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一、戴德金的數(shù)學(xué)共同體

戴德金的很多創(chuàng)造是在編輯前人工作的過(guò)程中發(fā)生的。說(shuō)明共同體在其數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的重要性。心靈的創(chuàng)造不只是單個(gè)的，而且是集體的。不過(guò)戴德金的貢獻(xiàn)也是很杰出的。這既是一個(gè)傳統(tǒng)的成就，也是一個(gè)偉大心靈的成就。

1.家族三代同在一所大學(xué)任教授

戴 德 金 1831 年 10 月6 日 在 不 倫 瑞 克 出 生。他出身教授家庭，不過(guò)，并不像他的追隨者愛(ài)米· 諾 特（Emmy Noether，1882-1935） 那 樣 出身數(shù)學(xué)教授家庭。其父名為烏爾里奇· 戴德金（Ulrich Dedekind），是一位物理學(xué)家和化學(xué)家的兒子，他是不倫瑞克卡羅林姆學(xué)院（the Collegium Carolinum）的大法官、法學(xué)教授，也是這所學(xué)校的一位高級(jí)管理人員。母親卡洛琳（Caroline）的父親也是這所學(xué)校的教授，母親的祖父是皇家郵政局長(zhǎng)。這所學(xué)校到1860 年代已升級(jí)為不倫瑞克理工學(xué)院（theBrunswick Polytechnikum）。戴德金在 1862 年，回到自己的母校任教授。這樣算來(lái)，戴德金家族至少有三代在這所學(xué)校任教授，當(dāng)屬名副其實(shí)的教育世家了。戴德金1894 年 4 月在這所學(xué)校退休，但仍然偶爾上課并繼續(xù)作學(xué)術(shù)研究，公開(kāi)發(fā)表論文。

戴德金的學(xué)生生涯也從不倫瑞克開(kāi)始，從 7 歲到16歲，他在不倫瑞克的一所學(xué)校就讀。他一開(kāi)始認(rèn)為數(shù)學(xué)只是一個(gè)輔助性學(xué)科，并未對(duì)數(shù)學(xué)有很大的興趣，而是對(duì)其他科學(xué)更著迷，特別是化學(xué)和物理學(xué)。但不久之后，他發(fā)現(xiàn)物理學(xué)沒(méi)有精確的邏輯結(jié)構(gòu)，從而轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)。

1848年，戴德金進(jìn)入卡羅林姆學(xué)院學(xué)習(xí)。當(dāng)時(shí)的卡羅林姆學(xué)院是一所介于高中和大學(xué)之間的教育機(jī)構(gòu)。這也是他后來(lái)的博士導(dǎo)師高斯的母校。

他在這里接受到了很好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育，學(xué)到了代數(shù)分析、解析幾何、微積分、力學(xué)等。1849-1850 年間，他給低年級(jí)學(xué)生講過(guò)課。這為他接下來(lái)進(jìn)入哥廷根大學(xué)做好了準(zhǔn)備。

他終生未婚，成年后大多數(shù)時(shí)間與他的二姐生活在一起。他的二姐也是終生未婚，比戴德金早兩年離開(kāi)人間。戴德金除了在父親去世不久出現(xiàn)過(guò)身體不適的情況，其他時(shí)間他都保持著健康的身心，直至1916 年 2 月 12 日平靜安詳?shù)嘏c世長(zhǎng)辭。戴德金很享受這種在故土與家人在一起的生活，就像科特·比爾曼（Kurt-R Biermann）所評(píng)述的那樣：

“ 戴德金與他的兄長(zhǎng)和姐姐保持密切的聯(lián)系，忽略了所有更高層面的可能的機(jī)會(huì)和娛樂(lè)，他所生活的小的熟悉的世界完全滿(mǎn)足他的要求。在這個(gè)小世界里，他的親屬完全代替了他自己的妻子和孩子，并發(fā)現(xiàn)了充分的快樂(lè)和研究基礎(chǔ)數(shù)學(xué)這項(xiàng)科學(xué)工作的自由。他沒(méi)有要在外部世界產(chǎn)生更大影響的壓力：那種自我確認(rèn)是不必要的?！盵3]

2.  高斯的關(guān)門(mén)弟子

1850年春，在卡羅林姆學(xué)院學(xué)習(xí)兩年后，戴德金轉(zhuǎn)入哥廷根大學(xué)。他參加了哥廷根大學(xué)剛剛成立的數(shù)學(xué)和物理學(xué)討論班。戴德金一開(kāi)始就參加了討論班，聽(tīng)了莫里茨·斯特恩（Moritz Stern，1864-1939）、 喬 治·烏 爾 里 奇（GeorgeUlrich）、威 廉· 韋 伯（Wilhelm Weber，1804-1891） 和 約翰·本尼迪克特·李斯廷（Johann Benedict Listing，1808-1882）的數(shù)學(xué)和物理課程。此前，他的微積分等基礎(chǔ)已經(jīng)比較扎實(shí)，在這里，他的數(shù)論知識(shí)著實(shí)上了一個(gè)新臺(tái)階。他對(duì)有的物理課并不十分感興趣，不過(guò)值得一提的是，威廉· 韋伯的實(shí)驗(yàn)物理課使戴德金倍受鼓舞。一年后，也就是 1851 年，喬治·黎曼（Georg Riemann，1826-1866）也加入到討論班，他們二人很快成為好朋友。1850年，戴德金還聽(tīng)過(guò)高斯的觀察員卡爾· 沃爾夫?qū)け窘苊鳌じ隊(duì)柺┟滋兀–arl Wolfgang BenjaminGoldschmidt，1807-1851）的大眾天文學(xué)課程。

1850-1851 年的冬季學(xué)期，戴德金第一次上高斯親自開(kāi)的課。這個(gè)時(shí)候高斯已經(jīng)年紀(jì)比較大了，只是教授一些比較基礎(chǔ)的知識(shí)。戴德金聽(tīng)了高斯的最小二乘法等課程。高斯雖然不喜歡教學(xué)，但是保持著一貫的責(zé)任心。50年后，戴德金仍然記得：

“這些講授是他曾聽(tīng)到的最美妙的課程。寫(xiě)下跟隨高斯學(xué)習(xí)，令他曾有著持續(xù)增長(zhǎng)的興趣，并且他無(wú)法忘記這種經(jīng)歷。”[3]接下來(lái)的一個(gè)學(xué)期，戴德金聽(tīng)了高斯的高等測(cè)量學(xué)課程。1851-1852 年，他聽(tīng)了昆圖斯·埃斯利烏斯（QuintusIcilius）的數(shù)學(xué)地理學(xué)以及熱理論課程，并且跟埃斯利烏斯一起觀測(cè)氣象。

戴 德 金 有 幸 成 為 了 高 斯 的 最 后 一 個(gè) 博 士生。1852 年，在高斯的指導(dǎo)下完成了一篇博士論文“ 關(guān)于歐拉積分的理論 ”（über dieTheorie derEulerschen Integrale），獲得哲學(xué)博士學(xué)位。高斯給出的評(píng)語(yǔ)是：“戴德金先生的論文是一項(xiàng)有關(guān)積分學(xué)的研究，不只是對(duì)于相關(guān)的領(lǐng)域有著充分的知識(shí)，同時(shí)具有創(chuàng)新性，可以想象他在以后肯定能作出成果。作為批準(zhǔn)考試的試驗(yàn)論文來(lái)說(shuō)，我對(duì)其完全滿(mǎn)意?！盵3]

戴德金與高斯無(wú)論從所秉持的原則或觀點(diǎn)，還是從性格和生活上都有很多相似的地方。他們來(lái)自同一地方，有在同一學(xué)校學(xué)習(xí)和任教的經(jīng)歷。他們都認(rèn)真負(fù)責(zé)、嚴(yán)格要求、堅(jiān)持原則、拒絕妥協(xié)。他們都過(guò)著一種規(guī)律而簡(jiǎn)樸的生活。他們都熱心幫助他人，謙虛謹(jǐn)慎，并深得朋友的信任。他們有同樣的文學(xué)品味，都喜歡英國(guó)著名作家沃爾特·斯科特（Walter Scott，1771-1842）。他們對(duì)數(shù)論和算術(shù)情有獨(dú)鐘，他們都把概念比符號(hào)看得更重要。戴德金還編輯了高斯的全集。[4]

3.  求學(xué)柏林，彌補(bǔ)不足

博士畢業(yè)后，按理說(shuō)戴德金已經(jīng)可以走上獨(dú)立教學(xué)和研究的道路了，但是戴德金的求知欲非常強(qiáng)，他雖然自己也覺(jué)得已有的知識(shí)儲(chǔ)備足以教授中學(xué)，但是自感沒(méi)有得到很好的數(shù)學(xué)前沿領(lǐng)域的訓(xùn)練，他完全認(rèn)識(shí)到他受到的數(shù)學(xué)教育還不足。這里要說(shuō)明一下，當(dāng)時(shí)，在哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是相對(duì)令人失望的，因?yàn)樗€沒(méi)有成為充滿(mǎn)活力的研究中心。當(dāng)時(shí)的柏林大學(xué)是德國(guó)數(shù)學(xué)的研究中心，柏林大學(xué)比哥廷根大學(xué)的課程更為先進(jìn)。在哥廷根大學(xué)聽(tīng)不到彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利 克 雷（ Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805-1859）、卡爾·雅可比（CarlJacobi，1804-1851）、雅各布·施泰納（Jakob Steiner，1796-1863）講授的一些最新課程，比如高等數(shù)論、高等幾何、橢圓函數(shù)、數(shù)學(xué)物理等。當(dāng)時(shí)，與戴德金同在哥廷根的黎曼也發(fā)現(xiàn)學(xué)校的數(shù)學(xué)教育旨在培養(yǎng)高中教師，而不是具有頂尖能力走研究道路的數(shù)學(xué)家。于是，戴德金和黎曼相繼去了柏林，戴德金花兩年時(shí)間彌補(bǔ)了他受教育的不足，并在1854 年夏取得大學(xué)執(zhí)教資格。而他的朋友黎曼也剛剛在幾周前獲得了同樣的資格。

4.  重回哥廷根大學(xué)與任職蘇黎世工科學(xué)校

1854至1855 年的冬季學(xué)期，戴德金在哥廷根大學(xué)以無(wú)薪講師的身份教授幾何和概率論等課程。1855年，他的老師高斯去世，戴德金是少數(shù)幾個(gè)有幸為高斯抬靈柩的人。狄利克雷被任命為哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，接替高斯空出來(lái)的職位。這件事情對(duì)戴德金意義重大，他發(fā)現(xiàn)和狄利克雷學(xué)習(xí)令他受益匪淺。他聽(tīng)了狄利克雷的位勢(shì)理論、數(shù)論、偏微分方程和定積分等課程。狄利克雷使他成為了一個(gè)學(xué)術(shù)新人，大大擴(kuò)展了他的學(xué)術(shù)和生活視野。即便是狄利克雷親友的聚會(huì)，狄利克雷也會(huì)邀請(qǐng)戴德金參加。

1855年冬到1856 年，戴德金聽(tīng)了黎曼的橢圓函數(shù)和阿貝爾函數(shù)課。戴德金對(duì)自己要求非常嚴(yán)格，他雖然已經(jīng)可以教授課程，但他依然把自己當(dāng)作學(xué)生一樣苦讀。大約在這個(gè)時(shí)候，戴德金學(xué)習(xí)了埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois，1811-1832）的工作，他首先在哥廷根大學(xué)講授伽羅瓦理論。在講授當(dāng)中，他首次給出域的概念，用抽象群的概念來(lái)代替置換群的概念。不過(guò)，令人郁悶的是，因?yàn)榇鞯陆鸬闹v授超出了授課范圍，最后僅剩下兩個(gè)學(xué)生出勤。

1858年戴德金被任命為瑞士蘇黎世工科學(xué)校教授，繼任約瑟夫·拉伯（Joseph L. Raabe，1801-1859）的職位。在講授微積分時(shí)，戴德金感受到分析基礎(chǔ)還比較薄弱，于是研究了實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)。1859年9 月，戴德金借著黎曼當(dāng)選柏林科學(xué)院通訊院士的機(jī)會(huì)，和黎曼一同去了柏林，結(jié)識(shí)了院士選舉的發(fā)起人卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）以及柏林的其他幾位數(shù)學(xué)領(lǐng)袖：厄恩斯 特· 庫(kù) 默 爾（Ernst E. Kummer，1810-1893）、卡 爾· 博 哈 特（Carl Wilhelm  Borchardt，1817-1880）和利奧波德·克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker，1823-1891）。

戴德金在哥廷根和瑞士期間，把大量精力投入到教學(xué)當(dāng)中，他十分關(guān)心所授課程的嚴(yán)密性。他所發(fā)表的研究論文也與課程相關(guān)。授課之余，他開(kāi)始編輯狄利克雷的《數(shù)論講義》。

1862年，戴德金回到母校不倫瑞克理工學(xué)院繼任了奧古斯特·威廉·朱利葉斯·伍德（AugustWilhelmJulius Uhde）的職位。從此再未離開(kāi)。這就是我們這一節(jié)開(kāi)頭所談到的內(nèi)容。

戴德金受到了高斯、狄利克雷和黎曼很深的影響，他負(fù)責(zé)編輯過(guò)狄利克雷、高斯、黎曼的全集。

5.  與其他數(shù)學(xué)家的密切往來(lái)

除了高斯、狄利克雷和黎曼，戴德金還和其他一些數(shù)學(xué)家保持著良好的學(xué)術(shù)交流。1872 年，戴德金在瑞士的特拉肯小鎮(zhèn)度假時(shí)，遇到了格奧爾格· 康托爾（Georg Cantor，1845-1918）。他們一直保持著友誼，相互敬重，開(kāi)誠(chéng)布公地交流學(xué)問(wèn)。戴德金遂成為最早支持康托爾無(wú)窮集合工作的數(shù)學(xué)家之一，在康托爾與克羅內(nèi)克在超無(wú)窮理論方面發(fā)生爭(zhēng)論時(shí)，戴德金毫不猶豫地站在了康托爾的一邊，并成為康托爾的有力支持者。[5]

戴德金和海爾里?！?韋伯（HeinrichWeber，1842-1913）在 1882 年展開(kāi)合作，在黎曼曲面上應(yīng)用理想論的結(jié)果。當(dāng)時(shí)韋伯是柯尼斯堡大學(xué)的老師，在講課過(guò)程當(dāng)中，他介紹了戴德金的思想，從而許多學(xué)生受到了戴德金的思想影響，其中就包括大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）。

1900年，希爾伯特在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上高度贊揚(yáng)了戴德金的工作，從而戴德金的思想更加深入人心。愛(ài)米· 諾特與奧伊斯坦· 奧爾（Φystein Ore，1899-1968）共同編輯了戴德金的全集。愛(ài)米·諾特在編輯學(xué)習(xí)的過(guò)程中，對(duì)戴德金的思想十分敬仰，不僅建議其學(xué)生們反復(fù)研讀，而且在別人稱(chēng)贊她的創(chuàng)新思想時(shí)，她往往說(shuō)：“已經(jīng)在戴德金那里都有了”。[6]

二、用有理數(shù)來(lái)定義無(wú)理數(shù)：戴德金分割

戴德金用后人所稱(chēng)的戴德金分割重新定義了無(wú)理數(shù)，這是戴德金最重要的數(shù)學(xué)成就之一，包含在其1872 年發(fā)表的《連續(xù)性與無(wú)理數(shù)》（Stetigkeit UndIrrationale Zahlen）一書(shū)當(dāng)中。這本書(shū)甫一問(wèn)世，就引起很多關(guān)注，與魏爾斯特拉斯的分析基礎(chǔ)以及康托爾的集合論一起，開(kāi)啟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新時(shí)代，戴德金從此進(jìn)入一流數(shù)學(xué)家的行列。

1858年春，負(fù)責(zé)人事的瑞士市議員到當(dāng)時(shí)戴德金所在的哥廷根大學(xué)聘請(qǐng)老師到蘇黎世工科學(xué)校（今天的蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院）作教授。戴德金很快順利入選。自1858 年秋，他開(kāi)始在那里教授微積分。這是他第一次教授這門(mén)課程。在授課的過(guò)程中，他感覺(jué)分析的基礎(chǔ)還很薄弱。他對(duì)當(dāng)時(shí)的微積分評(píng)述道：“我比以往任何時(shí)候都更加強(qiáng)烈地感受到這種算法缺少真正的科學(xué)基礎(chǔ)?！盵7]

于是戴德金打算為微積分建立堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，開(kāi)始對(duì)實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)進(jìn)行研究，從而產(chǎn)生了戴德金分割的想法。他自己曾提到戴德金分割這個(gè)思想是在1858 年 11 月 24 日闖入腦海的。戴德金最先把這個(gè)結(jié)果告訴了他的朋友海因里?！ざ湃馃幔℉einrichDurege），但是年后才正式發(fā)表。

《連續(xù)性與無(wú)理數(shù)》共有七部分。包括：自然數(shù)的性質(zhì)、有理數(shù)與直線(xiàn)上的點(diǎn)的比較、直線(xiàn)的連續(xù)性、無(wú)理數(shù)的構(gòu)造、實(shí)數(shù)域的連續(xù)性、實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及無(wú)窮小分析。

他在書(shū)的第三部分“直線(xiàn)的連續(xù)性”中說(shuō)道：

“上面把有理數(shù)域R比作直線(xiàn)，結(jié)果認(rèn)識(shí)到前者存在間隙，具有一定的不完備或不連續(xù)性，而我們則將直線(xiàn)看成是完備、不存在間隙或連續(xù)的。那么這種連續(xù)性是什么？所有的事情都必須依賴(lài)于這個(gè)問(wèn)題的答案，并且只有通過(guò)它，我們才能夠獲得一個(gè)研究全部連續(xù)區(qū)域的科學(xué)基礎(chǔ)。僅僅大致闡述其最小子集的不間斷連續(xù)性，明顯得不出任何結(jié)果；問(wèn)題是找到連續(xù)性的一個(gè)準(zhǔn)確特征，使其成為有效推理的基礎(chǔ)?！盵8]

戴德金緊接著說(shuō)道：“長(zhǎng)久以來(lái)，我對(duì)此深思熟慮，卻徒勞無(wú)獲，但是最終我找到了我所要尋找的東西。這種發(fā)現(xiàn)也許不同的人會(huì)有不同的評(píng)價(jià)；大多數(shù)人會(huì)發(fā)現(xiàn)它的實(shí)質(zhì)非常平凡。”（[8]，p.11）

戴德金說(shuō)他發(fā)現(xiàn)了連續(xù)性的原則：“如果直線(xiàn)上的全部點(diǎn)分成兩類(lèi)，使得第一類(lèi)中的每一個(gè)點(diǎn)位于第二類(lèi)中的每一個(gè)點(diǎn)的左方，那么存在且存在唯一一點(diǎn)，產(chǎn)生了把所有的點(diǎn)分成兩類(lèi)的分劃，直線(xiàn)分成兩部分的分劃?！保╗8]，p.11）

戴德金在第四部分“無(wú)理數(shù)的構(gòu)造”中明確提出了分割的概念。

他說(shuō)：“在第一部分，已經(jīng)指出每一個(gè)有理數(shù)a 將實(shí)數(shù)系 R 分為兩類(lèi)，使得第一類(lèi)A1中的每一個(gè)數(shù)a1小于第二類(lèi)A2中的每一個(gè)數(shù)a2；數(shù) A 或者是第一類(lèi)A1中的最大數(shù)，或者是第二類(lèi)A2中的最小數(shù)。現(xiàn)在，如果給出這個(gè)數(shù)系R 分成兩類(lèi) A1和A2的任意分劃，使得它只滿(mǎn)足這種特征，即A1中的每一個(gè)數(shù) a1小于 A2中的每一個(gè)數(shù) a2，那么簡(jiǎn)潔地講，我們稱(chēng)這種分劃為一個(gè)“分割”（英文：cut；德語(yǔ)：Schnitt）， 并 把 它 記 作（A1，A2）。”（[8]，pp.12-13）

戴德金用德語(yǔ) Schnitt 來(lái)表示分割，具有直觀性、可視性，這是源于古希臘的歐幾里得幾何。

當(dāng)然有理數(shù)也產(chǎn)生無(wú)窮多個(gè)分割，因?yàn)樗軌虬褦?shù)集分為兩部分?！暗还苁裁磿r(shí)候我們都必須處理非有理數(shù)產(chǎn)生的一個(gè)分割（A1，A2），這樣，我們就構(gòu)造出了一個(gè)新數(shù)，并且是無(wú)理數(shù)，我們認(rèn)為它完全可以由（A1，A2）這個(gè)分割來(lái)定義；我們會(huì)說(shuō)數(shù)A 對(duì)應(yīng)于這個(gè)分割，或者說(shuō)它產(chǎn)生了這個(gè)分割?！保╗8]，p.15）

這種分割就定義了一個(gè)無(wú)理數(shù)，或者說(shuō)這個(gè)分割就是一個(gè)無(wú)理數(shù)。這是因?yàn)?，我們相?dāng)于在全部有理數(shù)集合中“定義”了一個(gè)確定的分割，A1和A2趨于相交。為使這兩個(gè)集合相交，這個(gè)分割須用某個(gè)“數(shù)”填充起來(lái)，由上述條件可知，這個(gè)數(shù)不可能用有理數(shù)來(lái)填充，或者說(shuō)不可能與有理數(shù)相對(duì)應(yīng)。

因此，全部可能的分割組成了數(shù)軸上包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的每一個(gè)點(diǎn)，統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)。有了實(shí)數(shù)的分割概念。為了得到所有實(shí)數(shù)有序性的基礎(chǔ)，還必須研究任意兩個(gè)分割的關(guān)系。

于是戴德金給出了一個(gè)分割大于另一個(gè)分割的定義。他證明實(shí)數(shù)具有以下性質(zhì)：若α＞β且β＞γ，則α ＞ γ；不同的實(shí)數(shù) α 和 γ 之間存在著無(wú)窮多個(gè)數(shù)；若全部實(shí)數(shù)劃分成兩類(lèi)，且其中一類(lèi)中的每一個(gè)數(shù)均小于另一類(lèi)中的每一個(gè)數(shù)，則必存在一個(gè)且僅存在一個(gè)數(shù)產(chǎn)生這個(gè)分割。

此外，分割也有加法和乘法運(yùn)算，其加法和乘法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律。因此就可以證明原先未被嚴(yán)格證明的公式√6= √2 × √3。

我們知道，在數(shù)學(xué)史上有三次大的危機(jī)，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是在古希臘時(shí)代由無(wú)理數(shù)引發(fā)的，到那時(shí)仍懸而未決。而戴德金以連續(xù)性為起點(diǎn)，通過(guò)有理數(shù)的分割給出無(wú)理數(shù)的定義，將實(shí)數(shù)理論建立于嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)之上，從根本上消除了這一危機(jī)。因此，其重要性不言而喻。

三、追尋自然數(shù)的基礎(chǔ)：數(shù)是什么？

戴德金解決了連續(xù)性問(wèn)題，用有理數(shù)的分割定義了無(wú)理數(shù)。換句話(huà)說(shuō)，他的無(wú)理數(shù)概念以有理數(shù)為基礎(chǔ)，而要建立起嚴(yán)密的邏輯，接下來(lái)就要考慮有理數(shù)的生成問(wèn)題。而我們知道有理數(shù)以自然數(shù)為基礎(chǔ)，所以實(shí)際上就是要進(jìn)一步考慮自然數(shù)的生成問(wèn)題或者說(shuō)自然數(shù)的基礎(chǔ)是什么？戴德金乘勝追擊，1872-1878 年集中精力研究自然數(shù)的基礎(chǔ)，順利得到了他的自然數(shù)理論，寫(xiě)作成書(shū)，在1888 年正式出版，這就是富有哲學(xué)意味的《數(shù)是什么？數(shù)應(yīng)當(dāng)是什么？》（Wassind und WasSollen die Zahlen?）。

戴德金開(kāi)篇明義，在這本書(shū)的序言中明確亮出了自己的觀點(diǎn)。他說(shuō)：“算術(shù)（代數(shù)、分析）作為邏輯的一部分，我想說(shuō)明我認(rèn)為數(shù)的概念完全不依賴(lài)于空間和時(shí)間的表象或直觀，我認(rèn)為它是一種思想規(guī)律的直接產(chǎn)物。我自己對(duì)在這本書(shū)的題目中所提問(wèn)題給出的答案，可以歸納為：數(shù)是人類(lèi)心靈的自由創(chuàng)造；數(shù)能更簡(jiǎn)潔地理解事物的差別。只有通過(guò)純邏輯的過(guò)程建立數(shù)的科學(xué)并因此獲得連續(xù)的數(shù)域，我們才能研究時(shí)空，即把時(shí)空與我們心靈創(chuàng)造的數(shù)聯(lián)系起來(lái)?！保╗8]，pp.31-32）

戴德金在 38 頁(yè)強(qiáng)調(diào)說(shuō)：“于我而言，所有更美妙的事情是，無(wú)須任何度量性質(zhì)的表象，只簡(jiǎn)單地通過(guò)有限的思維過(guò)程，人們就能進(jìn)一步構(gòu)造出純粹的連續(xù)數(shù)域；并且以我看來(lái)，只有通過(guò)這種方式，人們才能把連續(xù)空間的表象變得清晰和明確?！保╗8]，p.38）

這本書(shū)共有14部分。內(nèi)容主要包括：元素集合、集合的映射、映射的相似性和相似集合、集合到自身的映射、有窮和無(wú)窮、單無(wú)窮集合與自然數(shù)列、較大和較小的數(shù)、數(shù)列的有限和無(wú)限部分、歸納定義數(shù)列的映射、單無(wú)窮集合的分類(lèi)、數(shù)的加法、數(shù)的乘法、數(shù)的冪、有窮集合中元素的數(shù)（包括計(jì)數(shù)、基數(shù)、序數(shù)及其初等性質(zhì)等）。

戴德金崇尚提出概念和定理，在這本書(shū)中，他給出了 100 多個(gè)概念和定理。戴德金首先詳細(xì)地討論了集合的概念。

他說(shuō)：“ 經(jīng)常發(fā)生的事情是，出于某種原因，不同的事物a, b, c, ...，可以通過(guò)一個(gè)統(tǒng)一的觀點(diǎn)來(lái)研究，可以在大腦中發(fā)生聯(lián)系，我們說(shuō)它們形成一個(gè)集合 S；我們把事物a, b, c, ...稱(chēng)為集合 S 的元素?！保╗8]，p.45）

他還給出了集合的并和交、一個(gè)集合到另一個(gè)集合的映射以及相似映射。他說(shuō)：“一個(gè)集合S的映射 Φ 稱(chēng)為相似的，當(dāng)集合中不同的元素 a，b總是映射到不同元素a'=Φ(a)，b'=Φ(b)上?！保╗8]，p.53）也就是說(shuō)，相似映射指不同元素總是映射到不同元素上。

他借助相似性給出了第一個(gè)無(wú)窮集合的準(zhǔn)確概念。一個(gè)集合是無(wú)窮的，當(dāng)它與自身的一部分相似。用現(xiàn)代的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，就是等價(jià)于它自身的真子集。因此，自然數(shù)的集合N 與其真子集 N2是相似的。

他引進(jìn)了關(guān)于一個(gè)映射的“鏈”的概念。若是一個(gè)集合 S 到其自身的映射，則S 的一個(gè)子集 K 稱(chēng)為關(guān)于映射 Φ 的鏈。他對(duì)無(wú)窮集合和有窮集合再次進(jìn)行了區(qū)分，認(rèn)為無(wú)窮集合總有一個(gè)到自身的真子集的相似映射，而有窮集合則沒(méi)有這種映射。他引進(jìn)了單無(wú)窮集合這個(gè)重要概念。戴德金還給出了單無(wú)窮集合的條件。如果一個(gè)集合N 為單無(wú)窮集合，則存在一個(gè)映射 Φ和 N 中的一個(gè)元素，滿(mǎn)足：

（α）Φ (N)∩   N；

（β）N=10；

（γ）1  Φ(N)；

（δ）Φ 為相似映射。

戴德金明確給出了：一個(gè)單無(wú)窮集合 N 的元素是自然數(shù)或序數(shù)，簡(jiǎn)單說(shuō)就是數(shù)。滿(mǎn)足這樣條件的N能夠按照映射 排成一個(gè)順序，從而形成一個(gè)數(shù)列：1, Φ(1),(Φ(1)), ...。因此，戴德金的映射 Φ實(shí)際上是將 N 中的一個(gè)元素映射到它的后繼數(shù)上。特別值得注意的是，這是數(shù)的一個(gè)抽象定義，因?yàn)橐呀?jīng)沒(méi)有元素的具體內(nèi)容。這是思維觀念的進(jìn)步。

戴德金雖然沒(méi)有明確講出上面的四個(gè)條件就是自然數(shù)的公理，但是他從這些條件推導(dǎo)出了自然數(shù)的其他性質(zhì)，也就是給出了自然數(shù)的公理基礎(chǔ)，他的最基本的概念就是數(shù)字1 及其后繼函數(shù)。戴德金認(rèn)為，所有滿(mǎn)足算術(shù)公理的事物均可以被認(rèn)為是數(shù)的代表，所以數(shù)只有處于一定的結(jié)構(gòu)當(dāng)中才會(huì)有其自身的存在。這就使得自然數(shù)的概念發(fā)生了變化，從直觀上的清晰過(guò)渡到有了嚴(yán)密的邏輯。

在戴德金 1888 年發(fā)表這些成果后的第二年，也就是1889 年，意大利數(shù)學(xué)家朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano，1858-1932） 引 用 了 戴 德 金 的成果，形成了一個(gè)等價(jià)的但是更簡(jiǎn)潔的公理集合，成為現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)的公理集合。由這個(gè)建立在公理基礎(chǔ)上的自然數(shù)體系，應(yīng)用減法能夠得到整數(shù)系，應(yīng)用除法能夠得到有理數(shù)系。這樣，我們本節(jié)一開(kāi)始所說(shuō)的尋找有理數(shù)的基礎(chǔ)也就解決了。康托爾通過(guò)計(jì)算有理數(shù)列的極限得到了實(shí)數(shù)系，戴德金應(yīng)用戴德金分割也能得到實(shí)數(shù)系。如此一來(lái)，連同魏爾斯特拉斯的ε?δ定義等成果，他們共同把微積分建立在了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上，從而使得有效性不成問(wèn)題的微積分達(dá)到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性要求，消除了動(dòng)蕩兩百多年的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

四、將理想數(shù)升級(jí)為理論：理想論

戴德金在理想論方面的工作要從狄利克雷說(shuō)起。1855年高斯去世，空出了數(shù)學(xué)教授席位，狄利克雷來(lái)到哥廷根大學(xué)接替了高斯的職位。這件事情對(duì)戴德金的影響非常之大。戴德金聽(tīng)了狄利克雷的一些課程。這為戴德金的學(xué)習(xí)和研究注入了新的活力。他們很快成為形影不離的摯友。

當(dāng) 時(shí)， 保羅·巴赫曼（Paul Bachmann，1837-1920）是哥廷根大學(xué)的學(xué)生，后來(lái)回憶到，他和戴德金只是面熟，因?yàn)榇鞯陆鸾?jīng)常和狄利克雷一起到校和離開(kāi)，完全令他黯然失色。

戴德金自己在 1856 年 7 月的一封信中寫(xiě)道：

“對(duì)我最有用的是幾乎天天與狄利克雷交流，與他在一起，我第一次開(kāi)始恰當(dāng)?shù)貙W(xué)習(xí)；他一直對(duì)我和藹可親，并且開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地告訴我需要彌補(bǔ)的漏洞，同時(shí)給我提供怎樣做的指引和方法。我已經(jīng)感謝了他無(wú)窮多的事情，無(wú)疑將來(lái)會(huì)更多?！盵3]

在向狄利克雷學(xué)習(xí)的過(guò)程中，戴德金開(kāi)始研究理想以及代數(shù)數(shù)論的問(wèn)題。1832 年，高斯為了解決高次互反律問(wèn)題引入復(fù)整數(shù)（即a+b√-1 型的數(shù)，其中 a, b 是有理整數(shù)），解決了四次互反律問(wèn)題，并對(duì)這種復(fù)整數(shù)，證明了唯一素因子分解定理，即算術(shù)基本定理。雅可比等人在此基礎(chǔ)上探討互反律問(wèn)題，而一般高次互反律問(wèn)題最終為庫(kù)默爾解決。1844年，庫(kù)默爾引入理想數(shù)，實(shí)現(xiàn)了分圓數(shù)域上的因子分解。若一個(gè)理想數(shù)可以表示為另一個(gè)理想數(shù)與復(fù)整數(shù)之積，則稱(chēng)這兩個(gè)理想數(shù)為等價(jià)。庫(kù)默爾證明了理想數(shù)在這種等價(jià)之下分為等價(jià)類(lèi)。分圓數(shù)域的類(lèi)數(shù)是有限的。（[6]，pp.58-63）

庫(kù)默爾的學(xué)生眾多，但戴德金卻是他最忠誠(chéng)的門(mén)徒，因?yàn)樗l(fā)揚(yáng)了庫(kù)默爾的理想數(shù)，建立了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硐肜碚摗Ｃ绹?guó)數(shù)學(xué)家和科幻小說(shuō)家埃里克· 坦普爾· 貝爾（Eric TempleBell，1883-1960）在《數(shù)學(xué)大師》一書(shū)中把他和庫(kù)默爾稱(chēng)為“算術(shù)二世”，并一起介紹。[9]

戴德金大約從 1856 年起長(zhǎng)期研究庫(kù)默爾的理想數(shù)。戴德金在集合意義上提出理想概念。戴德金的觀點(diǎn)是：理想數(shù)為其整除的所有復(fù)整數(shù)的集合。所有復(fù)整數(shù)的集合被戴德金稱(chēng)為理想（Ideale）。

他證明了在所有分圓整數(shù)子集中，理想可以由以下兩條性質(zhì)來(lái)刻劃：

（1）一個(gè)理想中任何兩個(gè)分圓整數(shù)的和仍在這個(gè)理想中；

（2）一個(gè)理想中的分圓整數(shù)與任何分圓整數(shù)的乘積仍在這個(gè)理想中。[10]

理想數(shù)為數(shù)，理想為集合。由此，實(shí)現(xiàn)了從數(shù)到集合的推廣。此后，理想論又從分圓數(shù)域推廣到代數(shù)數(shù)域、數(shù)環(huán)以及一般的環(huán)上。[11]這種逐層的深化和拓廣使得理想論擁有了越來(lái)越高的理論層次。（[6]，pp.58-63）從1871 年至抽象代數(shù)學(xué)正式建立這段時(shí)間，它成長(zhǎng)為一種相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)理論，產(chǎn)生了大量應(yīng)用，影響深遠(yuǎn)。

代數(shù)整數(shù)是通常有理整數(shù)的推廣，戴德金建立起系統(tǒng)的代數(shù)數(shù)論。他還引進(jìn)代數(shù)數(shù)及代數(shù)整數(shù)的概念，他定義了體（K?rper），通過(guò)將有理整數(shù)的同余理論進(jìn)行推廣得到模（Modul）這個(gè)概念，推廣可除性理論得到素?cái)?shù)和單元的概念，定義了理想、整除和素理想。這都是代數(shù)數(shù)論中最基本的概念。[12]

他還進(jìn)而給出兩個(gè)理想的乘積的定義，得出了理想論基本定理。代數(shù)整數(shù)和有理整數(shù)存在一個(gè)很大的不同，一般的代數(shù)整數(shù)不能唯一分解，這體現(xiàn)在代數(shù)數(shù)域理想的類(lèi)數(shù)問(wèn)題上?？梢愿鶕?jù)等價(jià)關(guān)系將理想分成理想類(lèi)。[13]戴德金對(duì)于一般的代數(shù)數(shù)域，引入了戴德金ζ 函數(shù)，并用這個(gè)函數(shù)在極點(diǎn) s=1 的殘數(shù)來(lái)計(jì)算類(lèi)數(shù)，得出計(jì)算公式，成為以后計(jì)算類(lèi)數(shù)的基礎(chǔ)。

戴德金還從 1871 年開(kāi)始研究了代數(shù)數(shù)域的分岐理論，給出了共軛差積的定義，他將其稱(chēng)為基本理想（Grundideal），得到兩條主定理。1882年，證明了德金判別式定理。戴德金所建立的代數(shù)數(shù)論后來(lái)為希爾伯特所發(fā)展。戴德金在1901 年的文章“所有代數(shù)數(shù)域的置換”中首次談到了無(wú)窮次擴(kuò)域，沃爾夫?qū)た唆敔枺╓olfgangKrull，1899-1971）在1928 年發(fā)展了這個(gè)理論。[14]

戴 德 金 把 這 些 創(chuàng) 新 成 果 作 為 附 錄 編 輯 在狄 利 克 雷 的《 數(shù) 論 講 義 》（Vorlesungenüber Zahlentheorie）1871、1879 和1894年版本中。[15]-[17] 實(shí)際上，在狄利克雷去世后，戴德金就負(fù)責(zé)編輯狄利克雷的講稿，1863年出了第一版。愛(ài)德華茲曾經(jīng)提到：

“雖然本書(shū)確定是以狄利克雷的講稿為基礎(chǔ)，并且盡管戴德金自己一生當(dāng)中都稱(chēng)這本書(shū)是狄利克雷寫(xiě)的，但是在狄利克雷去世后，余下的大部分是戴德金寫(xiě)的?！保╗1]，p.11）

戴德金建立了代數(shù)數(shù)域中整數(shù)環(huán)的理論。戴德金還有許多其他成就。比如：1882年與海爾里?！ろf伯一起在代數(shù)函數(shù)論上推廣代數(shù)數(shù)論的成果。1877 年，引進(jìn)模函數(shù) J（τ）的概念，預(yù)示了自守函數(shù)論，研究了純?nèi)未鷶?shù)數(shù)域等。他還在1858年給出了有限群的一個(gè)抽象定義。1897年，他在研究群論時(shí)引進(jìn)換位子和換位子群的概念，證明了一個(gè)群的換位子的集合組成正規(guī)子群。他在環(huán)論和格論方面也有貢獻(xiàn)，并且是格論的創(chuàng)立者。戴德金的思想影響廣泛，包括希爾伯特、愛(ài)米·諾特在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)家都繼承了他的數(shù)學(xué)思想衣缽。

五、結(jié)語(yǔ)

科學(xué)一般沿著兩個(gè)方向發(fā)展。一是內(nèi)省，這包括對(duì)某些特定領(lǐng)域基本概念的辨析和研究。二是向外拓展，這也就是構(gòu)造，更為引人注目。但內(nèi)省的方向是哲學(xué)和邏輯的任務(wù)。戴德金創(chuàng)造數(shù)學(xué)的方式，大多是依靠自己有洞察力和有抽象能力的頭腦，而不是依靠巧妙的符號(hào)表示和對(duì)公式的熟練運(yùn)用。因?yàn)楦咚拐J(rèn)為算術(shù)的真理應(yīng)該從概念而不是從記號(hào)得出來(lái)，所以戴德金的這一點(diǎn)也是最受高斯賞識(shí)的。

戴德金通過(guò)他創(chuàng)造的概念和理論并用簡(jiǎn)潔清晰的形式表達(dá)出來(lái)，極大地改變了數(shù)學(xué)的面貌，使之成為了我們今天熟悉的樣子。他一生積極追求，勤耕細(xì)作，在周?chē)鸂I(yíng)造了良好的學(xué)術(shù)和生活環(huán)境。他不但自己做出了偉大的成果，而且樂(lè)于為他人服務(wù)，編輯了高斯、狄利克雷和黎曼的全集，使之代代流傳。他潛心教學(xué)，在教學(xué)中進(jìn)行研究性思考，是教研相長(zhǎng)的典范。在他長(zhǎng)壽的一生當(dāng)中，他的心靈雖然沒(méi)有長(zhǎng)出愛(ài)情之花，但是卻開(kāi)滿(mǎn)了數(shù)學(xué)之花和友誼之花。換句話(huà)說(shuō)，他用一顆對(duì)待數(shù)學(xué)的真心，播種出了美麗的數(shù)學(xué)碩果，而這些數(shù)學(xué)果實(shí)也將他搏動(dòng)過(guò)的心音傳唱至今，并可以預(yù)見(jiàn)，將會(huì)直至永遠(yuǎn)。