實際上，上一篇張量計算的內(nèi)容就已經(jīng)介紹過什么是對偶空間和張量了。但這次我又重新整理了一下，并且新增了張量積的內(nèi)容，讓內(nèi)容更加完整一點。

這次的內(nèi)容有：

1. 線性映射和線性空間：

• 線性映射是指從一個向量空間V映射到另一個向量空間W的映射f，滿足兩個條件：對于任意標(biāo)量α和任意向量v，有f(αv) = αf(v)；對于任意向量u和v，有f(u + v) = f(u) + f(v)。

• 線性空間是定義了加法和標(biāo)量乘法的集合，滿足一系列公理，如封閉性、結(jié)合律、交換律、存在零元素和逆元素、標(biāo)量乘法的分配律等。

2. 對偶空間：

• 對偶空間V*是原線性空間V的對偶，由所有從V到實數(shù)域R的線性映射組成。

• 對偶空間的元素（對偶向量）可以看作是將原空間中的向量映射到實數(shù)的線性函數(shù)。

• 對偶空間具有與原空間相同的維度，并且兩者之間存在自然的同構(gòu)關(guān)系。

• 對偶空間的加法和數(shù)乘定義為：(ω + η)(u) = ω(u) + η(u)，(αω)(u) = αω(u)。

3. 張量的定義：

• 張量是一個從對偶空間的乘積空間到實數(shù)域R的多重線性映射，記作T: V*^k × V^l → R。

• 張量可以看作是具有多個上標(biāo)和下標(biāo)的量，其中上標(biāo)表示對偶空間的維度，下標(biāo)表示原空間的維度。

• 張量可以表示為基底的張量積和相應(yīng)的分量（或稱為張量的坐標(biāo)）。

4. 張量的基底和分量：

• 張量可以表示為其基底的線性組合，例如，(1,1)型張量T可以表示為T = T_ij * e_i ? θ_j，其中e_i和θ_j分別是原空間和對偶空間的基底，T_ij是張量T在這些基底下的分量。

• 張量的維度由其基底的數(shù)量決定，(k, l)型張量的維度是k*l。

5. 張量積：

• 張量積是構(gòu)造高階張量的基本工具，它將兩個低階張量組合成一個新的高階張量。

• 張量積滿足分配律和結(jié)合律，但不滿足交換律。

• 張量積可以用來表示張量的基底，例如，(1,1)型張量的基底可以表示為e_i ? θ_j。

6. 張量與線性變換：

• 當(dāng)原空間V中的基底經(jīng)過線性變換A變?yōu)樾碌幕譭'_i時，對偶空間V*中的對偶基底也會經(jīng)過相應(yīng)的變換A^(-1)變?yōu)樾碌膶ε蓟爪?_i。

• 張量在基底變換下的分量也會隨之變換，例如，(1,1)型張量的分量T_ij會變換為T'_ij = A_ik * T_kj * (A^(-1))_ji。