我們在前三講中主要講了如下內(nèi)容：

向量：就是一組量，水平排列就是行向量，豎直排列就是列向量。

我們規(guī)定了向量的內(nèi)積或者數(shù)積：就是向量對位的乘積和。以此我們可以刻畫向量的模，就是相同向量的內(nèi)積再開根號。而向量的指向通過射影的概念，用兩個(gè)向量的內(nèi)積比兩個(gè)向量的模來加以反映。兩個(gè)向量的平行與正交也進(jìn)行了定義。

矩陣：就是以列向量水平排列的行向量，反之也行。我們定義了幺陣，定義了矩陣的轉(zhuǎn)置，矩陣的加減乘法，定義了矩陣的轉(zhuǎn)置與矩陣的逆，這就建立了矩陣的基本運(yùn)算規(guī)則。

對于向量，可以有平行關(guān)系，一般來說關(guān)系可以有相關(guān)與無關(guān)，相關(guān)的意思是：如果n個(gè)向量，其中一個(gè)向量可以用另外的向量線性組合表達(dá)出來，這n組向量就是相關(guān)的，反之是無關(guān)的。

N維空間就是指，給定n個(gè)相互獨(dú)立的向量，其線性組合形成的所有向量構(gòu)成一個(gè)n維向量集合，空間上可以定義向量的運(yùn)算。這n個(gè)獨(dú)立的向量叫做該空間的基底，空間是基底擴(kuò)張形成的集合。

n維向量空間的基底如果相互正交，則表達(dá)線性空間的向量會(huì)比較方便，這涉及矩陣的正交化問題，我們后續(xù)會(huì)講如何做。

注意到我們所涉及的內(nèi)容大部分是從幾何出發(fā)引申出來的，長度與方向已經(jīng)有了很好的表達(dá)，但面積體積這樣的概念卻并沒有包含在內(nèi)。這涉及到向量的另外一種乘法：外積。本講先回到線性代數(shù)的起點(diǎn)：解線性方程，我們講行列式，行列式可以看成方形矩陣的自運(yùn)算，用于實(shí)現(xiàn)矩陣值的量，國外多用determination這詞來表達(dá)其與矩陣的關(guān)系。

二階與三階行列式

定義：矩陣的行列式對應(yīng)著一個(gè)方矩陣的值，設(shè)A是個(gè)n元矩陣，

就是這個(gè)矩陣的行列式值。下面我們將利用矩陣與行列式的概念重新看看一次方程的解。

二元一次方程組可以寫成

并叫這個(gè)式子是二階行列式的話，那么方程的解可以寫成：

方程組有解的條件也變?yōu)?/p>

上面的做法沒有特別的新意思，就是把代數(shù)運(yùn)算整理成了一規(guī)整的的形式。

類似地對三元一次方程組

來說解方程的過程如下，我們先不要怕麻煩，要通過代數(shù)運(yùn)算找出規(guī)律來。

方程有解的條件為：

注意到

也是非常規(guī)整的。

一般行列式的定義

矩陣的行列式對應(yīng)著一個(gè)方矩陣的值，設(shè)A是個(gè)n元矩陣，det（A)就是這個(gè)矩陣的行列式值。

其中：

我們已經(jīng)知道二階，三階行列式的計(jì)算方法了。四階行列式的算法可以寫成：

上式中D代表n階行列式，D_ij代表刪去i行j列后剩下的n-1階行列式，也叫余子式.

我們可以對n階行列式做遞歸定義：即由n-1階行列式描述n階行列式

對二三階行列式而言有

即任意的兩行或者兩列相互置換所得新的行列式差一個(gè)負(fù)號。下面我們來論證對于任意階的行列式都有這樣的性質(zhì)。

令D_ij，12表示一個(gè)行列式中刪去，i，j行，1，2列后剩余的行列式。

實(shí)際操作時(shí)，可以有兩種方式獲得D_ij，12

<1>.對D_i，1刪掉其中對應(yīng)于D的j行與2列

<2>. D_j，2刪掉對應(yīng)于D的i行與1列

將上面的1或者2用任意小于n的整數(shù)k加以替換，推導(dǎo)依然正確，再考慮到

推論1

行列式D中任意兩列或者任意兩行的交換后得到的新行列式是原來行列式的相反數(shù)，也就是說做行或者列交換，行列式值變號。

證明：列1<->i，1<->j,j<->1

則1復(fù)原，i，j交換，依次考慮計(jì)算D的過程，三種情況D的符號變了3次，所以D變號。

推論2

如果行列式中兩行或者兩列相同，則行列式的值為0。

對下面的n元方程

系數(shù)矩陣可以寫成

對n元方程（*）的每個(gè)方程施以運(yùn)算

右邊是

所以n元方程有解的條件為系數(shù)行列式的值不為0，解方程的問題就變成了算行列式的問題。這就是解線性方程組的主要理論。

有了這四講墊底，想深入學(xué)習(xí)的可以找大學(xué)線性代數(shù)教材自學(xué)了，最好找歐美法風(fēng)格的入門級線代課本。網(wǎng)絡(luò)上流傳很廣的一個(gè)視頻是可汗學(xué)院出品的一個(gè)可視化從物理，數(shù)學(xué)，信息科學(xué)的角度來看矩陣的，國內(nèi)洗稿者不計(jì)其數(shù)，至少頭條就有幾篇高點(diǎn)擊率的。站位并不高，只是國內(nèi)高中與大學(xué)線性代數(shù)缺乏銜接，所以大學(xué)生特別是一般的大學(xué)生覺得線性代數(shù)很抽象，很無用而已。

這四講仔細(xì)讀過，再結(jié)合研究生考綱，研究生入學(xué)考試的線性代數(shù)的基本基礎(chǔ)也就有了。教育要革命，學(xué)制要縮短，我信這個(gè)，呵呵。