封面：幼年的志摩凜，出自《搖曳露營》第三季，CV:鬧。近幾年少有的我非常喜歡的動(dòng)畫片。

    拉格朗日就不介紹了，一個(gè)立于考研數(shù)學(xué)之顛的男人。之前寫的組合數(shù)學(xué)的群相關(guān)內(nèi)容時(shí)，我跳過了一個(gè)老師課上講的概念“陪集”。因?yàn)槲矣X得在那里不是必須的。不過拉格朗日定理是繞不過去的，在接下來我寫的群相關(guān)內(nèi)容中一定會(huì)涉及到，所以就先單獨(dú)寫一下。

    先說個(gè)題外話，早上聽孩子說了句：“早起的鳥兒有蟲吃，早起的蟲兒被鳥吃”。前半句還好，后半句實(shí)際上有一個(gè)邏輯問題，反過來想想“不早起的”蟲兒就不被鳥吃了么，蟲就算在樹干里，也還有啄木鳥。而且蟲子如果起得早，看見鳥兒它還能跑一跑。

    拉格朗日定理就是借用陪集證明了，群的階必定能被其子群的階整除。當(dāng)然，這里指有限群，無限群討論這個(gè)也沒意義。設(shè)有限群 G 有一個(gè)子群 H(總會(huì)有的，再不濟(jì)也能找到單位元單獨(dú)構(gòu)成的集合或者它本身，不過如果單位元的集合就是它本身，那就別管陪不陪集了)，那么子群 H 的陪集就是不屬于 H 的 G 中元素，與 H 進(jìn)行群運(yùn)算的結(jié)果。我來舉個(gè)例子，這樣更直觀。以正方形為例(以著色方案置換為元素的那個(gè)例子計(jì)算太多了，還是選擇以頂點(diǎn)的置換為元素)：

 H = {(A)(B)(C)(D), (A D C B),(A C)(B D),(A B C D)}

左陪集：(A B)(C D) · H(A D)(B C) · H(A C)(B)(D) · H(B D)(A)(C) · H右陪集：H · (A B)(C D)H · (A D)(B C)H · (A C)(B)(D)H · (B D)(A)(C)

{(A)(C)(B D),(B)(D)(A C),(A D)(B C),(A B)(C D)}

    還有三個(gè)：

    可以看出來，H 的四個(gè)左陪集是一模一樣的。實(shí)際上，同一個(gè)子群的多個(gè)陪集中，如果有任何一個(gè)元素相同，則必然所有元素相同。以直觀為主，我不想搬數(shù)學(xué)證明，所以來分析一下。上面例子中，如果有兩個(gè)左陪集有相同元素。如 (A B)(C D)。它必定是 G 中的一個(gè)元素，與 H 中的一個(gè)元素相乘。而 H 是確定的：

{(A)(B)(C)(D), (A D C B),(A C)(B D),(A B C D)}

    此時(shí)，甚至可以設(shè) a=(A)(B)(C)(D)、b=(A D C B)，那 f 就確定了。不過，這一步只是方便理解，并不需要。雖說，設(shè)置特定值好理解，但不設(shè)定特定值，還是可以用 f 表示各元素之間的關(guān)系。如果 fa=b，那么對于群{a,b,c,d}必然有（參見《組合數(shù)學(xué)---群論》）：

fa=b、fb=c、fc=d、fd=a 實(shí)際上，這個(gè) f 一定是 a、b、c、d 中的一個(gè)，原因：一是因?yàn)槿旱亩x二是有限群中任意元素經(jīng)過若干次和自己的運(yùn)算后，一定可以得到單位元所以和群中元素操作之后得到另外一個(gè)群中元素的一定是群中元素

    于是有：

    當(dāng)然，也有可能，x 和 y 本就等價(jià)或者相同。右陪集同理。

    既然 H 的多個(gè)陪集只要有相同元素就整體相同，那么這些陪集中的任意兩個(gè)，要么完全相同，要么完全不同。

(A)(B)(C)(D) · (A D C B) = (A D C B)(A)(B)(C)(D) · (A C)(B D) = (A C)(B D)(A)(B)(C)(D) · (A B C D) = (A B C D)(A)(B)(C)(D) · (A)(B)(C)(D) = (A)(B)(C)(D)

xH = yHy?1xH = y?1yHy?1xH = H這個(gè) y?1x 要么是單位元，要么是 H 中某個(gè)元素的逆元，它一定在 H 中。何況群還有封閉性

{a?, a1, a2, a3, a?, a?, a?}

    這是一個(gè)以 a 為基礎(chǔ)(也就是生成元)生成的循環(huán)群。雖然沒什么關(guān)系，不過還是交代一句 a? 和 a 互為逆元，其它幾對指數(shù)之和是 7 的同理，1 是單位元。先去掉 a?：

    不做數(shù)學(xué)推導(dǎo)，單純看就夠了。要想找它的子群，比較方便的辦法就是依靠前面那一句“有限群中任意元素經(jīng)過若干次和自己的運(yùn)算后，一定可以得到單位元”構(gòu)成循環(huán)。找到符合和自己操作能得到單位元的元素。很明顯，除了 a 的一個(gè)一個(gè)增長，就是每隔一個(gè)和每隔兩個(gè)取一個(gè)構(gòu)成的循環(huán)中包含單位元。

{a?, a2, a?}{a?, a3}

    而且既然能循環(huán)起來，也能保證它依然是群。反過來，想讓取出來的元素構(gòu)成的集合依然能循環(huán)起來，那子群的階必須是群 G 階的因數(shù)。如每隔三個(gè)取一個(gè)就會(huì)跳過單位元。所以群元的階必然整除原群的階，群元的階是指以它作為生成元的循環(huán)子群的階，這個(gè)我應(yīng)該會(huì)在之后連帶相關(guān)內(nèi)容系統(tǒng)性地寫的，這里不必深究。

    例子開頭去掉 a? 就因?yàn)?/span>階是素?cái)?shù)，只有單位元和它本身能作為它的子群。不然就無法帶著單位元循環(huán)起來。素?cái)?shù)、群元、生成元、循環(huán)群等概念自身及之間還有許多內(nèi)容，之后會(huì)寫的。這里只是個(gè)例子，就不展開了。