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尋找子群沒有特別的方法，基本上就是從一個群元開始，找出它與其他群元相乘時的封閉子集。如果一個群的階比較高，尋找子群會比較繁瑣，需要使用一些輔助的手段。尋找子群第一件要做的事情是確定可能存在的子群的階，這可以通過求出群的階的因子得到，因?yàn)橐粋€群的階一定能夠被它的各個子群的階整除。比如說 D? 群是一個 6 階群，它的可能存在的子群必定是 2 階或者 3 階的。確定了可能存在的子群的階之后，就可以開始著手尋找子群的工作了。設(shè)想有一個 n 階的群 G，我們希望找到它的一個包含 g 的子群。如果 g 自乘一次得出單位元素，那么，{e,g} 就是一個子群。當(dāng)然，對一個奇數(shù)階的群，這種情況是不可能出現(xiàn)的，因?yàn)槠鏀?shù)不能被 2 整除(參見"子群的陪集")。具有這個性質(zhì)的群元很容易從乘法表中找到，只要在乘法表的對角線位置找到單位元素，標(biāo)題行和標(biāo)題列上與這個位置對應(yīng)的群元就是要尋找的群元。比如說 D? 群，它的乘法表是這樣的：由乘法表馬上可以得到，{e,a}、{e,b}、{e,c}分別構(gòu)成子群。 把乘法表中對角線上的單位元素剔除，在其他位置找到一個單位元素，這個單位元素所在的標(biāo)題行與標(biāo)題列上的兩個群元互逆，并且屬于同一個子群。例如 D? 群的 d 和 f 這兩個群元。
如果 g2≠e，由于 g2 必定是 G 的一個群元，因此，用 g 乘 g2 得到的 g3 也必定屬于 G，如果 g3=e，則 {e,g,g2} 就是一個子群。對于 D? 群，{e=d3,d,d2=f} 就是一個例子。如果 g3≠e，則繼續(xù)上述過程，用 g 乘 g3 得到 g?，這個過程有可能一直繼續(xù)下去，直到某個 k≤n，這時 gk=e。于是，我們找到了一個 k 階循環(huán)子群：{e,g,g2,g3,┈,gk-1}。這個結(jié)果其實(shí)暗示了子群的一個重要性質(zhì)：從一個 n 階群的任意一個群元開始，總能找到一個 k≤n 階的循環(huán)子群。對這個性質(zhì)可以做進(jìn)一步的推廣：所有與 g 相乘滿足交換律的群元構(gòu)成一個包含 g 的子群。如果通過某種途徑已經(jīng)找到了 G 的一個 k 階子群 H，就可以在這個基礎(chǔ)上找與 H 同階的子群。在 G 中取一對不屬于 H 的互逆的群元 g 和 g?1，把它們按照以下方式與 H 中的群元相乘：得到的兩個集合可能相等，也可能不相等，它們構(gòu)成與 H 同階的 G 的子群，稱之為 H 的共軛子群?？梢杂?D? 群為例來簡單地說明這個規(guī)則。假定我們已經(jīng)找到了 D? 群的一個子群 H={e,a}，用不屬于 H 的互逆群元 d 和 f 按上述規(guī)則與 H 中的群元相乘，得到以下兩個集合：由于 k=n 的子群并不是一個真子群，因此，如果在從某個群元 g 開始的尋找過程中，一旦所找出的群元數(shù)目超過 n 的最大因子，就可以馬上中止尋找的過程，不可能有包含 g 的真子群。如果你已經(jīng)找到了群 G 的一個封閉子集，但是卻發(fā)現(xiàn)這個集合包含的群元的數(shù)目不能整除群 G 的階，那就毫不猶豫地重新開始吧，因?yàn)槟憧隙ㄗ鲥e了。
以上講的都是尋找子群的一些輔助的技術(shù)，使用這些技術(shù)可以在一定程度上簡化尋找子群的工作。由于到現(xiàn)在為止我們所認(rèn)識的最復(fù)雜的群就是 D? 群，對于尋找子群而言，用它做例子其實(shí)沒有多少說服力，因此，我們還是把對上述規(guī)則的應(yīng)用留待日后處理。就目前而言，只要對照 D? 群對上述規(guī)則做初步的認(rèn)識就夠了。
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