如約，第一季數(shù)學(xué)篇已定稿！今天我們繼續(xù)開(kāi)始分享數(shù)學(xué)專欄第二季的內(nèi)容，同時(shí)也開(kāi)啟物理學(xué)第10季的文章，感謝各位讀者長(zhǎng)期的關(guān)注與支持~

說(shuō)在前面：

第二季數(shù)學(xué)篇目前還無(wú)確定有多少個(gè)章節(jié)，預(yù)計(jì)20節(jié)左右，主要內(nèi)容是講解第一季還寫完的人物以及增加數(shù)學(xué)本身的知識(shí)，我們會(huì)由淺入深開(kāi)始談?wù)?，更重要是我?huì)從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度來(lái)談數(shù)學(xué)，讓大家看看到底學(xué)數(shù)學(xué)有什么用！

對(duì)于物理學(xué)第10季，我們會(huì)從不同人物的視角開(kāi)始展開(kāi)對(duì)物理學(xué)的探索，盡請(qǐng)期待!

大家好，我是科學(xué)羊??。

今天我們繼續(xù)談一位大佬——雅可比，我想，很多搞工程，尤其是做工業(yè)運(yùn)動(dòng)控制的人應(yīng)該比較熟，尤其是他的雅可比行列式和雅可比矩陣。

另外，喜歡機(jī)器人的朋友可以了解下機(jī)器人在這個(gè)方面的應(yīng)用。

卡爾·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804~1851年）,德國(guó)數(shù)學(xué)家

為什么要談這個(gè)人?

首先，我們需要了解這個(gè)人的功績(jī)和貢獻(xiàn)，需要分析下他究竟通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)解決了一個(gè)什么問(wèn)題？另外，我們會(huì)從這個(gè)人的視角來(lái)看看你不知道一些數(shù)學(xué)故事。

01 雅可比的數(shù)額功績(jī)

卡爾·古斯塔夫·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）是19世紀(jì)最著名的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著豐富的貢獻(xiàn)。

下面是他主要的數(shù)學(xué)成就：

1、橢圓函數(shù)理論：雅可比對(duì)橢圓函數(shù)的研究具有開(kāi)創(chuàng)性。他引入了雅可比橢圓函數(shù)，這些函數(shù)后來(lái)成為解析數(shù)論和復(fù)變函數(shù)理論的重要組成部分。他的這些工作也推動(dòng)了橢圓積分理論的進(jìn)展。

2.、雅可比符號(hào)：雅可比發(fā)明了現(xiàn)在被稱為雅可比符號(hào)的數(shù)學(xué)標(biāo)記，用于表示二次剩余，這一符號(hào)在數(shù)論中具有重要地位。（了解即可）

3、雅可比恒等式和行列式：他提出了著名的雅可比恒等式，這是對(duì)向量場(chǎng)的李括號(hào)的一種描述。

雅可比行列式也是他的重要貢獻(xiàn)之一，廣泛應(yīng)用于線性代數(shù)、微分方程和數(shù)學(xué)物理中。

雅可比行列式的引入主要是為了解決在多變量微積分中的變量變換問(wèn)題。

當(dāng)我們?cè)诓煌淖鴺?biāo)系統(tǒng)中處理函數(shù)時(shí)，尤其是在進(jìn)行積分變換時(shí)，需要了解一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)下的小體積元素如何映射到另一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)中。

雅可比行列式提供了這種映射的縮放因子，這是理解和計(jì)算多變量函數(shù)的積分的關(guān)鍵。

4、雅可比-梅爾定理：這一定理是關(guān)于偏微分方程的，對(duì)于理解多變量函數(shù)的臨界點(diǎn)非常重要。

5、雅可比最速下降法：這是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)最優(yōu)化方法，被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)和工程學(xué)領(lǐng)域。

6、關(guān)于動(dòng)力學(xué)的研究：雅可比在動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的研究，尤其是他關(guān)于哈密頓-雅可比理論的工作，為分析力學(xué)的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)。

7、數(shù)論貢獻(xiàn)：雅可比還在數(shù)論領(lǐng)域做出了顯著貢獻(xiàn)，包括他對(duì)伯努利數(shù)和雅可比數(shù)的研究。

雅可比的工作為后來(lái)的數(shù)學(xué)研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并且對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多分支產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。他的理論和方法直到今天仍然是數(shù)學(xué)、物理和工程學(xué)中不可或缺的部分。

接下來(lái)，我們重點(diǎn)談?wù)勓趴杀刃辛惺脚c雅可比矩陣。

雅可比矩陣：它是一個(gè)函數(shù)的所有一階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的矩陣。

假設(shè)有一個(gè)從 到  的函數(shù)F，其中，每個(gè)是一個(gè)關(guān)于n個(gè)變量的函數(shù)。雅可比矩陣就是這樣一個(gè)m×n矩陣，其中的元素是這些函數(shù)對(duì)各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)。即：

而，當(dāng)m=n 時(shí)，雅可比矩陣是一個(gè)方陣，其行列式被稱為雅可比行列式。

雅可比行列式提供了一個(gè)重要的信息，即這個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)附近的線性近似的局部伸縮因子。

它在變換坐標(biāo)系、求解偏微分方程、多變量函數(shù)的積分等方面都非常重要。

這里提到雅可比矩陣的目的是為了給大家說(shuō)清楚，雅可比矩陣在工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域是一個(gè)剛需，我們?cè)谧鰴C(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿變化的時(shí)候必須要用到它，這樣有利于計(jì)算，尤其是計(jì)算矩陣的逆解！

我記得以前大學(xué)時(shí)候特別想去做機(jī)器人，于是去了圖書館，隨便翻開(kāi)一本機(jī)器人學(xué)的書，才發(fā)現(xiàn)密密麻麻全是矩陣，你說(shuō)學(xué)數(shù)學(xué)沒(méi)用嗎。

不過(guò)話說(shuō)回來(lái)，機(jī)器人用的線性代數(shù)只是冰山一角，但不可或缺！    

關(guān)于機(jī)器人學(xué)由于篇幅原因，有空在工程篇幅我們專門講，以上不解略過(guò)即可。

接下來(lái)，我們看看雅可比身邊的故事！

02 雅可比的生平

1804年12月10日，卡爾·古斯塔夫·雅可布·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）出生于德意志普魯士的波茨坦，他是富有的銀行家西蒙·雅可比（Simon Jacobi）的第二個(gè)兒子。

卡爾的第一位老師是他的一位舅舅，他教給這孩子古典文學(xué)和數(shù)學(xué)，為他在1816年12歲時(shí)進(jìn)入波茨坦中學(xué)作準(zhǔn)備，可以說(shuō)雅可比的啟蒙完全是他舅舅的功勞。

當(dāng)然，天才總是擋不住的。

從一開(kāi)始，雅可比就顯示出“多才多藝的頭腦”，在他離開(kāi)該校時(shí)，中學(xué)校長(zhǎng)就經(jīng)?？洫?jiǎng)他。

1821年他離開(kāi)中學(xué)，進(jìn)了柏林大學(xué)。

雅可比像高斯一樣，要不是數(shù)學(xué)更有力地吸引了他，他可以很容易地在哲學(xué)上博得很高的名聲。

他的教師海因里?！U爾（Heinrich Bauer）看出這孩子很有數(shù)學(xué)天賦，在長(zhǎng)時(shí)間爭(zhēng)論之后，讓他自己學(xué)習(xí)，因?yàn)檠趴杀确磳?duì)靠死記硬背和規(guī)則條例學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

青年雅可比在數(shù)學(xué)方面的發(fā)展，在某些方面很奇怪地與他的更著名的對(duì)手阿貝爾相同。

與阿貝爾一樣，雅可比也學(xué)習(xí)大師們的著作，歐拉和拉格朗日的著作教給他代數(shù)和分析，并把數(shù)論介紹給他。

這段最早的自我教育，必然給雅可比第一項(xiàng)杰出的工作——關(guān)于橢圓函數(shù)——以明確的方向，因?yàn)樽阒嵌嘀\的大師歐拉發(fā)現(xiàn)雅可比是他最好的繼承人。

就代數(shù)中復(fù)雜的純粹運(yùn)算能力而言，除了我們這個(gè)世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)天才拉馬努金（Srinivasa Ra-manujan）以外，沒(méi)有人能與歐拉和雅可比相匹敵。

拉馬努金

阿貝爾愿意的時(shí)候也能像大師一樣掌握公式，但是他的天才和雅可比相比，哲學(xué)的成分較多，形式的成分較少。

阿貝爾在堅(jiān)持嚴(yán)格性這一點(diǎn)上，天生比雅可比更接近于高斯——不是雅可比的工作缺乏嚴(yán)格性，它并不缺乏，而是它的靈感看來(lái)是形式主義的，而不是嚴(yán)格性的。

阿貝爾比雅可比大兩歲。雅可比不知道阿貝爾在1820年解決了一般五次方程問(wèn)題，他在同一年試圖得出一個(gè)解答，把一般五次方程簡(jiǎn)化為 的形式，并且指出這個(gè)方程的解可以由某個(gè)十次方程的解推出來(lái)。

雖然這個(gè)嘗試失敗了，但是雅可比從中學(xué)到了許多代數(shù)知識(shí)，他認(rèn)為這是他的數(shù)學(xué)教育中相當(dāng)重要的一步。

他本人在談到阿貝爾的一篇杰作時(shí)說(shuō)：“它高于我的贊揚(yáng)，就像它高于我自己的工作?！?/p>

當(dāng)雅可比正在勤勉地使自己成為數(shù)學(xué)家的時(shí)候，阿貝爾已經(jīng)在將使雅可比成名的同一條路上開(kāi)了個(gè)好頭。

阿貝爾在1823年8月4日寫信給霍爾姆伯，說(shuō)他正忙于研究橢圓函數(shù)，“這項(xiàng)小小的工作，你會(huì)想起來(lái)，是涉及橢圓超越函數(shù)的反函數(shù)的，我證明了一點(diǎn)[似乎是]不可能的東西；我請(qǐng)求盡快把它從頭到尾瀏覽一遍，但是他找不出錯(cuò)誤的結(jié)論，也不知道錯(cuò)在哪里；天知道我怎樣才能讓自己解脫?！?/p>

一個(gè)奇怪的巧合是，雅可比最后下決心要全力從事數(shù)學(xué)的時(shí)候，幾乎就是阿貝爾寫這封信的時(shí)候。

20來(lái)歲的年輕人（阿貝爾21歲，雅可比19歲），年齡上2年的差距抵得上成年人20年的差距。

阿貝爾開(kāi)了一個(gè)極好的頭，但是雅可比很快就趕了上來(lái)，他并不知道他在這方面有一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)者。

雅可比第一項(xiàng)偉大的工作是在阿貝爾的橢圓函數(shù)的領(lǐng)域內(nèi)。在注意這項(xiàng)工作以前，我們先概述他繁忙的一生。

雅可比除了自身研究牛以外，他教學(xué)生也很出色，尤其是在當(dāng)數(shù)學(xué)老師期間發(fā)表了一些關(guān)于數(shù)論的研究成果，驚動(dòng)了高斯！

因?yàn)楫?dāng)時(shí)的高斯不是一個(gè)容易被驚動(dòng)的人，教育部立即注意到了這件事，并把雅可比提升到他的許多同事之上，晉升為副教授。

后來(lái)，高斯也一直關(guān)注雅可比的業(yè)績(jī)，并在經(jīng)濟(jì)上給予和支持。你可以說(shuō)他怎么不支持阿貝爾，其實(shí)這個(gè)問(wèn)題我也想問(wèn)。

也許沒(méi)人知道！

雅可比他是在47歲時(shí)死于天花（1851年2月18日）。

在離開(kāi)這個(gè)寬宏大量的人時(shí)，我們可以引用他反駁偉大的法國(guó)數(shù)理物理學(xué)家傅里葉的話。

傅里葉指責(zé)阿貝爾和雅可比兩人把時(shí)間浪費(fèi)在橢圓函數(shù)上，而沒(méi)有在熱傳導(dǎo)中解決一些有待解決的問(wèn)題。

總結(jié)

歷史就是這樣，其實(shí)指不指責(zé)偉大就在這里，我們?nèi)祟惖目萍季褪窃谶@些點(diǎn)點(diǎn)滴滴的前人的基礎(chǔ)上構(gòu)建而成的。

可以說(shuō)，沒(méi)有他們，也許也不會(huì)別人發(fā)現(xiàn)，只是時(shí)間可能慢了點(diǎn)，但是，恰好，也幸好，我們生活的時(shí)代很幸福，這就夠啦。

好，今天就先這樣啦~

科學(xué)羊??  2024/01/03

祝幸福~

參考文獻(xiàn)：

[1]. 《數(shù)學(xué)大師》

我已經(jīng)有300+個(gè)科普知識(shí)啦，小目標(biāo)1000+，歡迎大家關(guān)注，每天給你一個(gè)科普知識(shí)~

感恩遇見(jiàn)，喜歡的話點(diǎn)個(gè)【在看】，有你們的支持是我最大的動(dòng)力！