1801年，天文學(xué)家應(yīng)該能在夜空中觀察到，一群出色的數(shù)學(xué)天才即將大放異彩，開(kāi)創(chuàng)數(shù)學(xué)史上最偉大的世紀(jì)。在那一群光彩奪目的天才中，沒(méi)有比尼爾斯·亨里克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）更閃耀了。埃爾米特在談到阿貝爾時(shí)說(shuō)，"他給數(shù)學(xué)家們留下了夠他們忙上500 年的東西?！?/span>

1802年8月5日，阿貝爾出生在了挪威。阿貝爾的母親極為漂亮（阿貝爾繼承了她的顏值）。同其他幾個(gè)第一流的數(shù)學(xué)家一樣，阿貝爾很早就發(fā)現(xiàn)了自己的天賦。16歲時(shí)，他通過(guò)自學(xué)就透徹地領(lǐng)會(huì)了他的前輩們，包括牛頓、歐拉和拉格朗日的偉大著作。若干年后，有人問(wèn)起他怎樣迅速地進(jìn)入了第一流的行列中，他回答：向大師們學(xué)習(xí)。

今天我們知道，19世紀(jì)以前的大師們認(rèn)為他們已經(jīng)證明了的很多東西，實(shí)際上根本沒(méi)有被真正證明。特別是歐拉關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)和拉格朗日關(guān)于分析學(xué)的一些研究更是如此。阿貝爾敏銳地意識(shí)到他的前輩們推理中的缺陷，他決心彌補(bǔ)這些不足。他在這方面的杰作之一，是首次證明了一般二項(xiàng)式定理，牛頓和歐拉對(duì)這個(gè)定理的一些特例作過(guò)說(shuō)明，但是要給這個(gè)定理的一般情形作出可靠的證明卻不容易。

阿貝爾在數(shù)學(xué)上的第一個(gè)抱負(fù)是解決一般五次方程問(wèn)題。一般五次方程在代數(shù)中所起的作用，類似于決定一個(gè)科學(xué)理論命運(yùn)的關(guān)鍵性實(shí)驗(yàn)。在中學(xué)代數(shù)的開(kāi)始，我們學(xué)過(guò)一次或二次的一般方程，比如

然后又了解了三次和四次方程，比如

對(duì)一次到四次的一般方程，我們得出了解的有限公式，即用已知的系數(shù)a，b，c，d，e來(lái)表示未知數(shù)x。這樣的解就稱為代數(shù)解。在代數(shù)解的這個(gè)定義中，一個(gè)重要的條件是"有限"；即由方程的系數(shù)通過(guò)有限次的四則運(yùn)算及根號(hào)組合而成的公式解。在成功地解出了前四次代數(shù)方程之后，代數(shù)學(xué)家們奮斗了差不多三個(gè)世紀(jì)，想要解出一般五次方程的代數(shù)解，

但沒(méi)有人能成功。阿貝爾就從這里開(kāi)始。下面的內(nèi)容摘自阿貝爾的論文《論方程的代數(shù)解》。

代數(shù)中最有趣的問(wèn)題之一是求方程的代數(shù)解。因而幾乎所有卓越的數(shù)學(xué)家都曾討論過(guò)這個(gè)問(wèn)題。我們能夠很容易得出前四次方程的根的一般表達(dá)式。發(fā)現(xiàn)了解前四次方程的統(tǒng)一的方法，人們相信它也能應(yīng)用到任意次的方程上；但是，盡管拉格朗日和其他杰出的數(shù)學(xué)家盡了一切努力，預(yù)期的目的仍沒(méi)有達(dá)到。這導(dǎo)致了一般方程不可能代數(shù)求解的推測(cè)；但是這又是無(wú)法確定的，因?yàn)樗玫姆椒?，只是在方程可解的情況才能得出確切的結(jié)論。

……

這個(gè)要采用的真正的科學(xué)方法，由于它需要的計(jì)算極其復(fù)雜，因而極少被采用，他繼續(xù)說(shuō)：

我已經(jīng)用這種方式探討過(guò)分析學(xué)的幾個(gè)分支，雖然我給自己提出的問(wèn)題經(jīng)常超出我的能力，我還是得出了大量的一般結(jié)果，這些結(jié)果有力地說(shuō)明了量的性質(zhì)，而闡明這些量的性質(zhì)，正是數(shù)學(xué)的目的。在另外一篇論文中，我將討論最一般的方程的代數(shù)求解問(wèn)題。

他討論了兩個(gè)相關(guān)的一般問(wèn)題：

• 找出所有任意給定次數(shù)的代數(shù)可解方程；

• 判定一個(gè)已知的方程是否代數(shù)可解。

阿貝爾還沒(méi)有來(lái)得及回到這些問(wèn)題上，他那抑制不住的創(chuàng)造力就催促他去考慮更廣泛的問(wèn)題了；而這些問(wèn)題的完整的解答留待伽羅瓦去回答了。盡管阿貝爾在代數(shù)上的工作是劃時(shí)代的，但較之他創(chuàng)造了分析學(xué)的一個(gè)新的分支則黯然失色。正如勒讓德所說(shuō)，這項(xiàng)工作是阿貝爾的"永世長(zhǎng)存的紀(jì)念碑"。

19世紀(jì)，法國(guó)是世界的數(shù)學(xué)皇后；而德國(guó)有數(shù)學(xué)王子高斯。1825年8月，23歲的阿貝爾在政府的資助下開(kāi)始了法國(guó)和德國(guó)的學(xué)習(xí)之旅。他帶上了自己的論文，在一篇論文中他證明了用代數(shù)方法不可能解一般五次方程。阿貝爾天真地相信這就是他通向歐洲大陸的數(shù)學(xué)家們的科學(xué)護(hù)照，他特別希望高斯會(huì)看出這項(xiàng)工作的重要意義。但他不知道，這位"數(shù)學(xué)王子"有時(shí)候?qū)吡ο氲玫匠姓J(rèn)的年輕數(shù)學(xué)家，一點(diǎn)也沒(méi)有表現(xiàn)出王子般的大度。

高斯如期收到了這篇論文。但是他沒(méi)有看一眼就把它拋在了一邊。從那以后，阿貝爾很討厭高斯，一有機(jī)會(huì)就詆毀他。他說(shuō)高斯寫的東西晦澀難懂。高斯常常為了他在這件事情上的"傲慢的輕視"而受到指責(zé)。那時(shí)一般五次方程的問(wèn)題已經(jīng)人盡皆知。如果今天一個(gè)數(shù)學(xué)家收到化圓為方的所謂解答，他不一定會(huì)搭理作者。因?yàn)樗懒值侣?882年證明了不可能只用尺規(guī)化圓為方—。他也知道林德曼的證明是任何人都能夠接受的。

• 阿貝爾手稿

在1824年，一般五次方程的問(wèn)題幾乎與化圓為方的問(wèn)題相當(dāng)，因此高斯不耐煩了。但是這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有被證明不可解，阿貝爾的文章提供了證明。高斯要是耐著性子的話，本來(lái)是可以讀到一些使他很感興趣的東西的。只要他的一句話，阿貝爾可能就會(huì)成名，甚至阿貝爾的生命也可能延長(zhǎng)。

阿貝爾在1825年9月離家以后，首先訪問(wèn)了挪威和丹麥的著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。然后，去了柏林。他在柏林碰到了一個(gè)叫奧古斯特·利奧波德·克列爾的人，這個(gè)人將成為他在科學(xué)方面的伯樂(lè)。"克列爾"已經(jīng)成了象征他創(chuàng)辦的雜志的專用名稱，該雜志的前三卷包括了阿貝爾的22篇論文。阿貝爾的偉大工作使這份雜志在整個(gè)數(shù)學(xué)界久負(fù)盛名；最后該雜志又使克列爾成了名。

• 克列爾

克列爾本人是一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者，而不是一個(gè)有創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)家。他的職業(yè)是建筑工程師。他很早就在工作中出人頭地，建造了德國(guó)第一條鐵路。在空閑的時(shí)間，他認(rèn)真研究數(shù)學(xué)，而不僅僅把它作為一種業(yè)余愛(ài)好。他在1826年創(chuàng)辦的《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》給德國(guó)數(shù)學(xué)以很大的促進(jìn)。這份雜志的創(chuàng)辦，是克列爾對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的最大貢獻(xiàn)。這份雜志是世界上第一份專門刊登數(shù)學(xué)研究成果的定期刊物。從1826年直到現(xiàn)在，《克列爾》每三個(gè)月出版一期，刊登新的數(shù)學(xué)文章。今天，有幾百種雜志全部或相當(dāng)大一部分參與純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程。

阿貝爾向克列爾提及出了他的不可能用代數(shù)方法解一般五次方程的證明?？肆袪栠B聽(tīng)都不愿聽(tīng)；任何這樣的證明都一定有問(wèn)題。但是他接受了這篇論文，承認(rèn)阿貝爾的推理在他之上——最后在他的《雜志》上發(fā)表了阿貝爾的詳盡的證明。

柏林豐富的社交活動(dòng)開(kāi)始使阿貝爾不能專心工作，他躲到弗賴堡去了，在那里他可以集中精力工作。正是在弗賴堡，他把他最偉大的工作鍛造成型了，創(chuàng)造了現(xiàn)在所稱的阿貝爾定理。但是他還得趕赴巴黎，去會(huì)見(jiàn)當(dāng)時(shí)第一流的法國(guó)數(shù)學(xué)家——勒讓德、柯西和其他一些人。

從一封阿貝爾寫給天文學(xué)家漢斯廷的信中，可以看出阿貝爾要重建數(shù)學(xué)分析：

在高等分析中，很少有幾個(gè)命題是被極其嚴(yán)格地證明了的?！页鲈斐蛇@種情形的原因確實(shí)是非常有趣的。在我看來(lái)，原因就在于這樣的事實(shí)：迄今在分析學(xué)中出現(xiàn)的函數(shù)，大多數(shù)都能夠表示為冪函數(shù)……當(dāng)我們采用某種一般方法時(shí)，并不太難；但是我必須非常謹(jǐn)慎，因?yàn)闆](méi)有嚴(yán)格證明的命題已經(jīng)在我們的心里生了根，以致我們常常冒著不做進(jìn)一步檢查就采用它們的危險(xiǎn)。這些瑣碎的東西將出現(xiàn)在克列爾先生出版的雜志中。

1826年10月，阿貝爾的《論非常廣泛的一類超越函數(shù)的一般性質(zhì)》被呈交給巴黎科學(xué)院。這就是被勒讓德稱為“永恒的紀(jì)念碑”的論文，也是埃爾米特說(shuō)的“夠未來(lái)數(shù)學(xué)家忙上500年的東西”。它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一項(xiàng)登峰造極的成就。

勒讓德和柯西被任命為這篇論文評(píng)閱人。勒讓德抱怨說(shuō)：“我們發(fā)覺(jué)這篇論文很難辨認(rèn)；它是用淡得幾乎是白色的墨水寫的，字寫得很糟，我們兩人認(rèn)為應(yīng)該要求作者送一份寫得整齊易讀的來(lái)。”柯西把論文帶回家，不知放在什么地方，完全把它給忘了。

• 雅可比

雅可比驚呼，“阿貝爾先生的這個(gè)發(fā)現(xiàn)是什么樣的發(fā)現(xiàn)啊！……有誰(shuí)看見(jiàn)過(guò)同樣的東西嗎？這個(gè)發(fā)現(xiàn)，也許是我們這個(gè)世紀(jì)最偉大的發(fā)現(xiàn)，在兩年前就交給你們科學(xué)院了，可你的同事們?cè)趺磿?huì)沒(méi)有注意到它呢？"柯西在1830年把它翻了出來(lái)。最后它發(fā)表在《法蘭西科學(xué)院著名科學(xué)家論文集》，但那時(shí)已經(jīng)是1841年了。

下面是論文的開(kāi)始幾段，

迄今數(shù)學(xué)家研究過(guò)的超越函數(shù)，數(shù)目非常之少。實(shí)際上，超越函數(shù)的整個(gè)理論簡(jiǎn)化成了對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，實(shí)質(zhì)上只是簡(jiǎn)單的一類函數(shù)。只是到了最近，才開(kāi)始考慮其他一些函數(shù)。在后來(lái)考慮的函數(shù)中，橢圓超越函數(shù)占據(jù)首位，它們的顯著而精致的性質(zhì)是勒讓德先生發(fā)展起來(lái)的。阿貝爾在他的論文中，研究了很廣泛的一類函數(shù)，即所有那些導(dǎo)數(shù)可以由系數(shù)為單變量有理函數(shù)的代數(shù)方程來(lái)表示的函數(shù)，他已經(jīng)證明了這些函數(shù)的一些與對(duì)數(shù)函數(shù)和橢圓函數(shù)類似的性質(zhì)……而且得到了下面的定理：

如果我們有幾個(gè)函數(shù)，它們的導(dǎo)數(shù)可以是同一個(gè)代數(shù)方程的根，該方程所有的系數(shù)均為單變量有理函數(shù)，只要我們?cè)谒懻摰暮瘮?shù)的變量之間建立一定數(shù)目的代數(shù)關(guān)系，我們就永遠(yuǎn)能用一個(gè)代數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)表示任意數(shù)目的這種函數(shù)的和。這些關(guān)系的數(shù)目完全不依賴于函數(shù)的數(shù)目，而只依賴于所考慮的特定函數(shù)的性質(zhì)……

阿貝爾這樣簡(jiǎn)單地描述的定理，今天通稱為阿貝爾定理。勒讓德并沒(méi)有討論過(guò)橢圓函數(shù)。勒讓德花費(fèi)了他一生中大部分時(shí)間研究的問(wèn)題是橢圓積分，它與橢圓函數(shù)的差別，就像馬與它拉的車的差別一樣，這恰恰是阿貝爾對(duì)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)最偉大貢獻(xiàn)的根源所在。

阿貝爾是第一個(gè)有意識(shí)地把問(wèn)題反過(guò)來(lái)研究的人。如果一個(gè)問(wèn)題的解答陷入毫無(wú)希望的狀況時(shí)，試著把這個(gè)問(wèn)題顛倒過(guò)來(lái)，把問(wèn)題作為論據(jù)，把論據(jù)作為問(wèn)題。

在積分學(xué)中，反三角函數(shù)自然地以簡(jiǎn)單的定積分的形式呈現(xiàn)出來(lái)。當(dāng)我們?cè)噲D利用積分學(xué)求一個(gè)圓的弧長(zhǎng)時(shí)，這樣的積分就出現(xiàn)了。假定一開(kāi)始反三角函數(shù)就以這種方式出現(xiàn)，那么考慮以這些函數(shù)的反函數(shù)，作為要去研究和分析的已知函數(shù)，不是"更自然"嗎？

但是在許多更高深的問(wèn)題中，最簡(jiǎn)單的問(wèn)題是用積分求一個(gè)橢圓的弧長(zhǎng)，首先出現(xiàn)的是棘手的反“橢圓”函數(shù)。這就使阿貝爾看出了應(yīng)該把這些函數(shù)"反過(guò)來(lái)"加以研究。然而勒讓德這位偉大的數(shù)學(xué)家，在他的“橢圓積分”上花了40多年的時(shí)間，卻一次也沒(méi)有懷疑到他應(yīng)該反過(guò)來(lái)考慮。這個(gè)看待貌似簡(jiǎn)單、實(shí)際上深?yuàn)W難解的問(wèn)題的極其簡(jiǎn)單平常的方式，是19世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)進(jìn)展之一。

阿貝爾發(fā)現(xiàn)了由橢圓積分的反函數(shù)得出的新函數(shù)有兩個(gè)周期，它們的比是虛數(shù)。在這以后，雅可比、羅森海因、魏爾斯特拉斯、黎曼，還有許多人，深入地鉆研了阿貝爾的偉大的定理，他們通過(guò)發(fā)展和擴(kuò)充阿貝爾的思想，發(fā)現(xiàn)了一些有2n個(gè)周期的n個(gè)變量的函數(shù)。阿貝爾本人也更深入地探索了他的發(fā)現(xiàn)。他的后繼者們把整個(gè)這項(xiàng)工作應(yīng)用到幾何學(xué)、力學(xué)、數(shù)理物理學(xué)的一些部分和數(shù)學(xué)的其他分支中，解決了一些重要問(wèn)題，沒(méi)有阿貝爾開(kāi)始的這項(xiàng)研究，這些問(wèn)題是無(wú)法解決的。

1829年4月6日凌晨，阿貝爾去世了，只活了26年8個(gè)月。阿貝爾死后兩天，（將）被任命為柏林大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。