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該圖形通常稱為“手拉手”模型，以此為背景的題目在各類測試中屢見不鮮且頗具創(chuàng)新性，主要涉及全等與相似這兩類初中階段重要的幾何內(nèi)容，并由此得到基本幾何要素(線段與角)的關(guān)系。作為初中數(shù)學經(jīng)典模型之一,同樣也是學生較為熟悉的題型，上述開放性問題是變式的出發(fā)點。 (部分內(nèi)容選自龔含笑《以“手拉手”模型專題探究為例》)
由“手拉手”模型可以得到以下幾個基本推論和引申推論：
以上歸納的就是“手拉手”模型的幾個基本推論和引申推論，通過增加條件信息，增加運動背景或者圖形變式背景，可以得到更加豐富的變式。
顯然，這兩個子問題提供了增加條件的不同路徑。一是增加新的幾何要素(點、線、角)，二是給出幾何要素的新關(guān)系。問題1通過兩次證明全等，可以得到DC=DE，以及∠DCE=∠MCE=60°，從而證明△DCE為等邊三角形。
問題2通過過點N作BC的垂線，構(gòu)造全等三角形，從而實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化，將所有線段都轉(zhuǎn)化到Rt△MCN中，繼而利用30°角的性質(zhì)得到線段間的數(shù)量關(guān)系。
從運動變化的觀點認知平面幾何，可以深刻揭示圖形變化的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì).在原有圖形中，讓其中一個等邊三角形“動”起來，盡管所形成的圖形多而異,但前述問題所提供的研究視角與解決思路為進一步探究奠基。問題3-1的解決即對旋轉(zhuǎn)過程的簡約重溫，聚焦旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，利用全等三角形與 “X字型 ”基本圖形得到∠BOE的度數(shù)，同時隨著圖形的變換需要觀察到臨界位置以及兩種不同的情況。
問題3-2至問題3-4都是研究旋轉(zhuǎn)的某一特殊位置，其中包含基本問題所得到的一些結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，進一步明確構(gòu)成“手拉手”模型的基本圖形。這即是指面對“殘疾模型”，需要通過添加輔助線構(gòu)建模型,進而實現(xiàn)問題的化歸?；瘹w是變式問題解決的根本思路,即將待解決的變式轉(zhuǎn)化為已解決的問題。
問題3-5的解決關(guān)鍵都在于建立(分析)三條共端點的線段間的關(guān)系。而問題3-4提供了此類問題解決的思維策略。需要作一個等邊三角形構(gòu)成“手拉手”模型，進而將三條“共端點”的線段轉(zhuǎn)化為“首尾依次相連”的線段(即為三角形)，由此解決問題。
將等邊三角形變成等腰三角形或等腰直角三角形，能得到哪些結(jié)論? 如果將三角形拓展為正方形、正五邊形甚至是正n邊形呢?
基本圖形的改變導向了不等價的變式(如特殊化、一般化)，產(chǎn)生的遷移可以形成更為深刻的研究性學習。事實上，在問題3的系列變式解決過程中形成的方法與思想都為問題4的探索提供支持。
問題4得背景盡管由問題3的等邊三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，但是問題解決的策略還是不變的。對于問題4-1，模仿問題背景引申結(jié)論11的作法，通過截取線段相等構(gòu)造全等三角形，從而實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。
對于問題4-2和4-3出現(xiàn)了求線段最值的問題，不妨先看一下4-3圖形運動的路徑：可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)合問題3，作出一個直角三角形，利用三角形三邊的不等關(guān)系，可以確定線段的最大值和最小值。這兩個問題的難點在于聯(lián)想到構(gòu)造“手拉手”模型，從而利用三角形不等式來進行解決。
本題是正方形背景下的“手拉手模型”，結(jié)合“問題背景”中的探究過程，以及等腰三角形的三線合一定理，則可以較為順利的解決下列問題。
問題背景從等邊三角形的“手拉手”模型入手，通過邏輯推理得到若干結(jié)論。問題2通信息交互對原圖形進行改造，并提供了增加條件得 出新結(jié)論的不同思路。問題3與問題4利用一般化與特殊化的數(shù)學思維，從運動變化與基本圖形變換兩個角度對模型進行深化，而后設(shè)置的子問題需要在類比、化歸等數(shù)學思維的指導下解決問題。
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