0引言

機(jī)械行業(yè)競爭日趨激烈，產(chǎn)品高端化趨勢和全球工業(yè)革命的推動(dòng)下，數(shù)字化轉(zhuǎn)型已成為企業(yè)的必然選擇。利用數(shù)字化仿真技術(shù)，實(shí)現(xiàn)全價(jià)值鏈數(shù)字化仿真分析優(yōu)化，提前發(fā)現(xiàn)問題，事后量化分析改善，實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品開發(fā)效率和可靠性全面提升。

小編是從結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)向CAE仿真，深知對(duì)于非力學(xué)專業(yè)出身的工作者學(xué)習(xí)CAE仿真的難度，不僅在于軟件層面操作，更在于對(duì)理論基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)和理解。剛從事CAE時(shí)，小編當(dāng)時(shí)就很疑惑，為什么需要畫網(wǎng)格、網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)編號(hào)物理意義是什么、網(wǎng)格質(zhì)量為什么著重關(guān)注雅克比、單元積分點(diǎn)指的是什么…。由此，小編想結(jié)合自身的工作學(xué)習(xí)體會(huì)，與大家一起分享有限元仿真，講好每一課，一起感受CAE的魅力。

1彈性力學(xué)基本方程

在彈性力學(xué)分析中，需要通過靜力分析、幾何分析和物理分析建立描述物體變形狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)基本方程，將力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為偏微分方程的邊值問題。針對(duì)三個(gè)方面建立的方程就是彈性力學(xué)中的三大基本方程：平衡方程、幾何方程和物理方程。

1.1平衡方程

平衡方程是描述應(yīng)力分量和體力分量之間的微分關(guān)系方程。如圖1-1是在直角坐標(biāo)系下微元體應(yīng)力分布。平面AMBD的正應(yīng)力，通過泰勒展開，可得到平面ECGF的正應(yīng)力變?yōu)?span data-content="{"url":"http://image109.360doc.com/DownloadImg/2023/09/2818/273047311_2_20230928060535151.png","uri":"","width":109,"height":48,"darkImgUrl":"https://p3.toutiaoimg.com/origin/tos-cn-i-qvj2lq49k0/93a6502bb7d14d5cbf2fde6c32cfa498","darkImgUri":"","formulaImgStatus":"succeed"}" data-formula=" \sigma_{\chi}+\frac{\partial\sigma_{\chi}}{\partial\chi}d\chi " style="width: 125px; height: 48px;">，類似可得到所有面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。

圖1-1 微元體應(yīng)力分布圖

根據(jù)微元體各力對(duì)x、y、z合力矩為0，可得切應(yīng)力互等定理：

切應(yīng)力互等定理

根據(jù)微元體上各力沿x軸合力為0的平衡條件可得：

其中為微元體x方向的體力分量，將方程兩端同時(shí)除以dxdydz并進(jìn)行整理可得：

同理根據(jù)微元體y和z方向平衡條件亦可得對(duì)應(yīng)方程。平衡方程如下式:

平衡方程

將平衡方程用矩陣表示為：

平衡方程矩陣表達(dá)

其中為A微分算子矩陣，σ為應(yīng)力列陣，b為體力列陣：

1.2幾何方程

彈性力學(xué)中幾何方程是描述應(yīng)變分量和位移分量間的微分關(guān)系方程。如圖1-2為微元體二維應(yīng)變圖。

圖1-2 微元體二維應(yīng)變圖

假設(shè)P坐標(biāo)(x,y)，PA=dx,PB=dy,P'相對(duì)P在x方向移動(dòng)u, 在y方向移動(dòng)v，則A'相對(duì)A在x方向移動(dòng)距離通過泰勒展開得，同理可得A'在y方向移動(dòng)距離和B'在x、y方向移動(dòng)距離。

變形后P'A'長度為:

于是可得正應(yīng)變為:

同理可得其它應(yīng)變方程。幾何方程如下式：

幾何方程

幾何方程可用矩陣描述：

其中為ε應(yīng)變列陣，u為位移列陣，L為微分算子矩陣：

1.3物理方程

彈性力學(xué)中物理方程是描述應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的關(guān)系方程。若材料為各項(xiàng)同性，根據(jù)材料力學(xué)中廣義胡克定律可得：

廣義胡克定律

其中E、、G分別為彈性模量、泊松比和剪切模量，三者之間關(guān)系：

將上式用應(yīng)變表示應(yīng)力的形式為：

其中

用拉梅常數(shù)形式表示為：

其中

彈性體的物理方程可用矩陣形式進(jìn)行描述：

其中為ε應(yīng)變列陣，σ為應(yīng)力列陣，S為柔度矩陣，D為剛度矩陣。

2 邊界條件

求解彈性力學(xué)問題，除了基本方程外還需要定義邊界條件。在彈性體的邊界上，已知外力稱為應(yīng)力邊界條件；已知位移，稱為位移邊界條件。如圖2-1為不同方向截面應(yīng)力關(guān)系。

圖2-1 不同方向截面應(yīng)力圖

由x方向平衡條件可得：

其中、、為截面法向量的方向余弦。同理可得另外兩個(gè)方程。則應(yīng)力邊界條件：

用矩陣表示為：

其中為σ應(yīng)力矩陣，也稱為應(yīng)力張量；n稱為方向余弦矩陣；P為已知面力矩陣。

位移邊界條件表示為：

表示為矩陣形式：

其中為已知位移列陣：

3 最小勢能原理

最小勢能原理：在所有變形可能的位移場中，真實(shí)的位移場使總勢能泛函取最小值。根據(jù)最小勢能原理，真實(shí)位移場使得彈性體勢能泛函的變分為零，即：

其中為總勢能。滿足最小勢能原理的解一定滿足平衡方程及應(yīng)力邊界條件。

彈性體總勢能為應(yīng)變勢能Vε與外力勢能Vp之和:

如圖為彈性體單向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系圖：

單向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能密度：

將其擴(kuò)展到一般情況上，總應(yīng)變能：

其中為σ應(yīng)力列陣，ε為應(yīng)變列陣。

彈性體外力勢能：

其中b為體力列陣，S為面力列陣。

根據(jù)物理方程可知應(yīng)力分量可以用應(yīng)變分量表示，根據(jù)幾何方程可知應(yīng)變分量可以用位移分量表示，因此應(yīng)力分量也可以用位移分量表示，則彈性體總勢能可以表示為自變量為位移函數(shù)的函數(shù)。根據(jù)最小勢能原理，彈性問題轉(zhuǎn)為求勢能泛函極值問題。

4 實(shí)例講解

設(shè)有長度的簡支梁，受均布載荷q作用下，利用最小勢能原理求簡支梁的撓度方程。

根據(jù)邊界條件可假設(shè)近似解為：

根據(jù)應(yīng)變勢能公式可得梁的應(yīng)變勢能：

由材料力學(xué)可知：

將(c)式代入(b)式，梁的應(yīng)變勢能可進(jìn)一步表示：

由慣性矩公式可知：

將(e)式代入(d)式梁的應(yīng)變勢能:

梁的外力勢能：

總勢能：

根據(jù)最小勢能原理，得到：

根據(jù)上式求出和，再帶回方程(a)中：

課后問題：

根據(jù)梁的邊界條件，假設(shè)撓曲線方程近似解如公式(k)，結(jié)果又是如何呢？