【原】例談平面幾何中的輔助線添加

妍小青 2023-09-02 發(fā)布于上海

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解證幾何問題時(shí)，往往需要在圖中另外添加一些線，通常稱為輔助線.在圖中一般畫為虛線.常見的輔助線主要為直線、線段、射線、圓或圓弧等.

以下選題來自《初中數(shù)學(xué)競賽中的平面幾何》

為什么要添加輔助線呢？

解幾何題是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用正確的邏輯推理，得到題斷的結(jié)果.我們碰到的幾何題并非全部要添線，有些則需要添線.為什么有的幾何題一定要添線呢？我們從以下兩個(gè)具體的例題談起。

解法分析：首先根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形：

要證明AE=AG，只需要證明∠G=∠3，問題的關(guān)鍵在于如何由AB=CD等題設(shè)來證得∠G=∠3。由于AB，CD的位置分散，它們與∠G和∠3的聯(lián)系不易直接觀察到。因此，必須設(shè)法添加輔助線使得相對分散的狀態(tài)變得相對集中，使它們之間的聯(lián)系由隱蔽變?yōu)槊黠@。

為此，需要構(gòu)造與∠G和∠3相等的等角。聯(lián)結(jié)BD后，取BD的中點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)OE、OF。通過構(gòu)造中位線，將AB=CD轉(zhuǎn)化到了OE=OF，這樣將∠G轉(zhuǎn)化到了∠1，∠3轉(zhuǎn)化到了∠2，使所有相關(guān)聯(lián)的元素都集中到了△OEF中。因此，只需要證明∠1=∠2，就可以解決問題。

解法分析：由已知中AB=AC=AD=a，可知B、C、D在以A為圓心，a為半徑的圓上，因此需要做出這個(gè)“隱圓”。這樣就打開了思路，使得隱含在題中的關(guān)系得以浮現(xiàn)。

因此，延長BA交圓A于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)DE。易證∠EDB=90°，由CD//AB，可得DE=BC=b，因此借助勾股定理可以計(jì)算BD的長度：

通過上述兩個(gè)例子可以表明，解證幾何問題，就是由已知出發(fā)，用邏輯推理搭建已知和未知的橋梁。因此，對于具體問題具體分析，當(dāng)條件和結(jié)論之間沒有明確的指向性時(shí)，我們需要聯(lián)想添加輔助線，創(chuàng)造轉(zhuǎn)化的條件，從而將已知和未知中的相關(guān)元素有機(jī)地串聯(lián)起來，從而有效地解決問題。

添加輔助線有以下三個(gè)作用：① 使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉或早已掌握、解決的問題，比如在“證明中位線定理”時(shí)，我們可以添加輔助線，將問題轉(zhuǎn)化“借助三角形中位線定理進(jìn)行證明”；② 使圖中隱含的關(guān)系顯現(xiàn)出來(例2)；③ 使不直接聯(lián)系的元素發(fā)生聯(lián)系。

對于輔助線的添加不是所心所欲的，當(dāng)碰到某些條件不能直接與結(jié)論發(fā)生聯(lián)系時(shí)，為發(fā)掘、創(chuàng)設(shè)這些條件聯(lián)系的途徑而射線和決定在圖中添加什么輔助線，怎樣添加輔助線。這才是正確理解添加輔助線的方法和精髓。

添線的原則

原則一化繁為簡

添加輔助線有助于：① 把復(fù)雜的圖形化為簡單的圖形；② 把復(fù)雜的圖形分割成若干個(gè)簡單的問題；③ 把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形。

不論添線怎么復(fù)雜，仔細(xì)分析，都是為了把某方面的“繁”化為“簡”，從而以“簡”來駕馭“繁”。

解法分析：由于∠BCA=20°，∠EDC=80°，所以CE=CD。直接計(jì)算兩個(gè)三角形的面積很困難，要碰到求特殊角的銳角三角比。

但注意到∠ABC=60°這個(gè)條件，把△ABC復(fù)原為一個(gè)邊長為1得正三角形。為此，延長BA到G，使BG=BC=1，如下圖所示，聯(lián)結(jié)CF，則易知△ABC≌△FGC，且AC=CF，∠ACF=20°。

于是△ACF∽△ECD，又CA=2CE，所以：

此題添線后從表明看使圖形變得復(fù)雜了，但實(shí)質(zhì)上則使用不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的正三角形，達(dá)到化繁為簡的目的。同時(shí)也使我們捕捉到了解答本題的途徑。

原則二相對集中

添設(shè)輔助線常常將已知和未知中的有關(guān)元素集中在同一個(gè)三角形中或集中到兩個(gè)相關(guān)(全等、兩邊對應(yīng)相等、相似)的三角形中。只有元素相對集中，才便于聯(lián)系與比較，從能充分應(yīng)用有關(guān)的幾何定理。

解法分析：要證BD+CE>DE。需要設(shè)法把三條線段集中到同一個(gè)三角形中，為此，由M是BC的中點(diǎn)，DM⊥EM，使我們聯(lián)想到不妨用軸對稱“翻折”的方法。如圖所示，在DM的延長線上取D'，使MD'=MD。聯(lián)結(jié)ED'，CD'，易證ED'=DE，CD'=BD(△BDM≌△CD'M)。最終把BD，DE，CE三條線段轉(zhuǎn)化為CD'，ED'，CE，集中到△CED'中，從而利用“兩邊之和大于第三邊”得證。

添線的手段

添加輔助線，從整體上看，可以理解為把圖形的一部分變換到另外的位置，以此來實(shí)現(xiàn)條件和結(jié)論的聯(lián)系。這些變換很多，常用的是平移和旋轉(zhuǎn)，它不改變線段的長度與角的大小。

方法一平移

常常通過特殊點(diǎn)添平行線，或利用三角形中位線性質(zhì)構(gòu)造平行線，使圖中的某些線段保持平行，或使某些角平移到新的位置。

解法分析：本題同例1的解題策略如出一轍。即通過線段的平移將∠1和∠2放置在一個(gè)三角形中。

如左圖，通過“四次”平移，構(gòu)造平行線四邊形ABMF和平行四邊形DFNC，繼而構(gòu)造全等△BME和△ENC，從而證明E為MN的中點(diǎn)，利用等腰三角形的三線合一證明∠3=∠4。利用MF//AB，CD//FN，得∠1=∠3，∠2=∠4，繼而得證。

如右圖，借助三角形的中位線定理，通過聯(lián)結(jié)BD，構(gòu)造AB和CD的一半，得等腰△GEF，從而得證。

方法二旋轉(zhuǎn)

在具有等邊和特殊角的圖形中，將圖形一部分繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一特殊角，往往使分散的條件相對集中，顯示出若干新的聯(lián)系。

解法分析：本題中要證明∠AMB=∠DMC，由于∠AMB和∠2互余，而∠1=∠2，同時(shí)AB=AC，因此聯(lián)想構(gòu)造與△ABM全等的△ACN，相當(dāng)于將△ABM平移加旋轉(zhuǎn)得△ACN。再證明△DMC和△DCN全等即可得證。

相同的解決路徑在2023上海長寧二模25題第(3)問中也有體現(xiàn)：

解法分析：本題中要證明A、P、C三點(diǎn)共線，可以通過證明∠APB+∠BPC=180°進(jìn)行證明。由于AP、BP、CP三條線段的位置比較分散，因此可以通過旋轉(zhuǎn)△ABP(繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°)至△BCP'，借助勾股定理逆定理得∠PCP'=90°，從而根據(jù)∠PCP'+∠PBP'=90°，得P、B、P'、C四點(diǎn)共圓，繼而得∠BPC與∠BP'C互補(bǔ)，而∠BP'C=∠APB，繼而得證。

常見相似模型中的“手拉手模型”以及“半角模型”就是利用旋轉(zhuǎn)得到相似三角形或全等三角形實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。

——The End——