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說實話，小時候我自己對數(shù)學(xué)并不是太上心，我其實更喜歡文史一些。喜歡看小說，看歷史上的東西。那時候覺得數(shù)學(xué)好像沒什么用，就是覺得比較容易。我小時候喜歡玩，下棋，比如象棋、軍棋，那時候沒有圍棋，圍棋那時候不普及，還有打撲克牌、牌九。其實我小的時候就是喜歡玩，數(shù)學(xué)也沒花什么功夫，那時候也不像現(xiàn)在，要學(xué)這么多奧數(shù)。 我在小學(xué)的時候做算術(shù)應(yīng)用題有個特點，老師那時候都要求解應(yīng)用題要分開寫幾個式子，但是我基本上從頭到尾就寫一個式子。因為那時候數(shù)學(xué)學(xué)得不錯，腦子轉(zhuǎn)的很快，所以可以就寫一個式子。 當(dāng)時小學(xué)數(shù)學(xué)比較容易，初中也學(xué)的很少。像平面幾何，我們初中都不學(xué)相似，相似是在高中才學(xué)的，用的是蘇聯(lián)教材，但教材體系比較嚴(yán)謹(jǐn)。我覺得那時候初中對平面幾何的表達(dá)都要求比較嚴(yán)格。我們做平面幾何都要求打草稿的，我語文作文都不打草稿，但是做平面幾何是要打一個草稿，然后再寫上去。我們老師要求非常嚴(yán)格，他打個差都是打?qū)蔷€的那種大差。他個子也高，嗓門也大，一叫大家都嚇一跳，很認(rèn)真、很嚴(yán)肅。但是初中數(shù)學(xué)那時確實不是很難，不過我們都覺得很有意思。好就好在不是很難，都是因為興趣、喜歡，思維要求也不超過我們那時候?qū)W生的水平，學(xué)生只要努力就能達(dá)到了，要是太難的學(xué)生就該沒有興趣了。 到了高一稍微花了一點功夫，當(dāng)時平面幾何書是線裝本的，剛發(fā)下來老師還沒講我就把題目都做了一遍。那個教材習(xí)題比較多，還是不錯的?，F(xiàn)在的教材也有這個特點，習(xí)題比較多。我那時就是喜歡自己看看書，主要還是因為有興趣。我們那時候書看的也不多，平面幾何好不容易有一本李儼的《近世幾何學(xué)初編》，不過排版的錯誤非常多。后來有一個同學(xué)買了一本邱丕榮的《近世幾何學(xué)》，大家當(dāng)了寶貝，那個書相當(dāng)好了，但也就只有平面幾何而已，現(xiàn)在來看眼界非常淺，那時沒看到過現(xiàn)在許多東西。  我們那時候還組織了一個數(shù)學(xué)小組，叫FSTY，四個同學(xué)一起做《數(shù)學(xué)通報》上的題目。FSTY其實就是每個人的姓氏首字母。其實我們那時候就是覺得做數(shù)學(xué)題很好玩，也沒有說特別懂什么的，都是自己感覺興趣。但水平也就如此而已，那時候書也少，偶爾看幾本書或者小冊子，也沒有看得太懂。那時候就喜歡玩兒，可是好玩的東西也少，下下棋啊，書也少。 上高中那會兒，我哥哥比我高兩個年級，他是南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的，所以有時候我就看看他的書。他到大學(xué)就學(xué)微積分了，我也拿他的書來看看，就是也看看微積分，比較淺的也看了一些。那時候我還在上中學(xué)，可能看的最花功夫的一本書是高揚(yáng)芝的《極限淺說》，她是南京師范大學(xué)早期的系主任，一位女教授。說老實話，那本《極限淺說》寫的一點都不淺，書中什么都要證的，而且印刷錯誤非常的多，真的看得頭疼得要死，但是不管怎么說總想要看下來，確實覺得我看書的能力還是有的，堅持下來以后，后來看書不覺得吃力，就是說自學(xué)的能力還是有提高的，自己能看書了。  后來接觸到的微積分教材比較嚴(yán)謹(jǐn)，我們大概在高三也看了。上大學(xué)以前我也看過，就是自學(xué)過一些東西。好像數(shù)學(xué)是看那些書，亂看看，也沒有什么計劃，我哥哥買了些書他看，我跟著他看，其他的真是沒怎么用過功。 但是像我這樣不用功的也少，我上課凈是在胡思亂想，很少聽課，常常上課做作業(yè)，在學(xué)校時就偷偷的做，放學(xué)時就做完了。那時候應(yīng)該說課程比較輕松，相對來說比較容易，跟現(xiàn)在不好比，現(xiàn)在中學(xué)學(xué)的內(nèi)容太多。我的小測驗成績往往不大好，數(shù)學(xué)可能好些，可以做出幾道題，總歸就是不非常用功，那時候不懂得用功。
（本節(jié)內(nèi)容選自曹一鳴教授主編的《與數(shù)學(xué)家同行》一書） 解題能力的話應(yīng)該說也是要鍛煉的。我在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)上研究生時，同宿舍的有肖剛和李克正，他們的解題能力都很強(qiáng)。因為我“文革”前就教書了，他們]那時候都還是學(xué)生，所以中學(xué)這塊兒知識我覺得我還是很強(qiáng)的，就是做題能力很好，但是跟他們一比卻不高。他們有很好的想法，而且思路很活，跟他們學(xué)到不少的東西。剛開始大家一起做題，做美國的大學(xué)生競賽題，確實收獲很大，他們思維很開闊，跟這兩個人學(xué)到很多東西。他們對我的影響很大，解題方面的能力提高很多。你跟一個高手在一起切磋才會有很大的進(jìn)步，就跟下棋一樣，你跟一個下得好的一起下，很容易提高。 我還在解題上有個心得，就是總希望把題解得更好點，那就需要在做完以好好總結(jié)下。在解題這方面波利亞的幾本書是相當(dāng)好的，如《怎樣解題》，他確實是有真正的看法。我一直是要求自己寫完以后要回顧，要注意看能不能寫得更好一點。對于老師來說，不是說一個問題你繞了5個圈子解決了，你還要帶著人家再要繞5個圈子。即使你自己繞了5個圈子，講的時候，要讓人家少繞圈子這才是好的，所以要注意這個問題，每次都注意做的更好一點。 現(xiàn)在的學(xué)生做題很多了，也不一定對他的解題有特別大的幫助。 第一，現(xiàn)在的學(xué)生功利性太強(qiáng)，他不一定是因為喜歡數(shù)學(xué)而去做題的。 第二，確實是有些人把太難的題目給小孩了，這個不好。包括教材里面也有很多很難的題目，以前教材中的題目難度還比較平穩(wěn)，偶爾有點難的題放在最后?，F(xiàn)在你不知道忽然哪個難題就“錨”在里面，這個很不好。教學(xué)時可以補(bǔ)充一點課外題，但是基本上來說不要太難，更不要總是以中考、高考題為目標(biāo)，我覺得現(xiàn)在有些題是過分難了。一個題目是你自己解出來，還是看了解答之后想出來的，是很不一樣的。我們許多人碰到難題，看了解答覺得不難，其實是不恰當(dāng)?shù)摹?/span> 第三，就是初中教材的要求太低，而課外的題太難。以前是課內(nèi)外差別不大，課外難一點，但不是難很多，現(xiàn)在差距太大。這也許和現(xiàn)在的課標(biāo)制定有關(guān)。初中課標(biāo)把幾何證明幾乎取消了，把幾何的表達(dá)要素基本上取消了，把三次方公式、十字相乘這些乘法公式基本取消，那等于初中的代數(shù)也沒有學(xué)，所以初中的教材東西就很少。在學(xué)校里面沒有讓學(xué)生學(xué)，學(xué)生跑到外面學(xué)，這樣就很花時間很花精力。你在學(xué)校給他學(xué)點兒就好了，他也不累，現(xiàn)在反而造成他負(fù)擔(dān)很重。如果僅僅學(xué)在學(xué)校教的東西又太少，確實也不行，這是一個大問題?？倸w教育搞成這樣，還是有問題的。從1980年代末以來，教育水平是有所下降。本來1980年代左右還是可以，現(xiàn)在除了應(yīng)試高考的書基本上也沒有什么了。 現(xiàn)在的問題就是給數(shù)學(xué)的負(fù)擔(dān)太重，剛才講初中教材內(nèi)容少而空，高中教材的內(nèi)容卻是多而雜。你比如說算法的東西不應(yīng)該在數(shù)學(xué)里面，應(yīng)該是計算機(jī)的內(nèi)容，這個應(yīng)該把它切掉，把這個切掉以剩下的就少很多。現(xiàn)在學(xué)生學(xué)的確實比較多比較雜。作為數(shù)學(xué)本身應(yīng)該學(xué)習(xí)的最基本的東西反而不存在了。就像我們學(xué)生在學(xué)校里面需要把身體鍛煉好，你不能讓學(xué)生既要會踢足球，又要會打籃球，他各個項可以自己去搞，我們教他們把身體基本素質(zhì)鍛煉好，提高基本的反應(yīng)靈敏度，學(xué)一些基本的東西。數(shù)學(xué)要把自己的體系搞好，現(xiàn)在好多人不承認(rèn)數(shù)學(xué)有一個體系，要把體系打掉，非要過度強(qiáng)調(diào)應(yīng)用。數(shù)學(xué)主要是培養(yǎng)人的思維能力，當(dāng)然學(xué)好數(shù)學(xué)需要的思維能力也是很強(qiáng)的。 總結(jié)數(shù)學(xué)解題的12條原則： (1)要享受到解題的樂趣，對解題有濃厚的興趣，能有幾分癡迷更好； (2)要有充足的信心； (3)要有百折不回的決心與堅韌不拔的毅力； (4)要做100道有質(zhì)量的題目； (5)反復(fù)探索，大膽地跟著感覺走； (6)從簡單的做起； (7)從不同的角度看問題； (8)學(xué)、思結(jié)合，發(fā)揮創(chuàng)造性，努力產(chǎn)生“好想法”； (9)設(shè)法創(chuàng)造條件，不斷變更問題； (10)引入適當(dāng)字母，向基本量靠攏； (11)力求簡單自然，直剖核心； (12)注意總結(jié)。  （本節(jié)內(nèi)容選自“單墫解題研究叢書”中的《解題研究》一書） 感謝江蘇省數(shù)學(xué)會數(shù)學(xué)教育分會、感謝南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院（組織“單墫數(shù)學(xué)教育思想專題研討會”，2023年4月23日，南師大），感謝大家！ 我們南師大數(shù)學(xué)教育專業(yè)培養(yǎng)了很多人才，我個人覺得應(yīng)該形成了一個南師大數(shù)學(xué)教育學(xué)派，很多人在其中發(fā)揮了很好的作用，我個人只起了一點作用。 這次會議大家已經(jīng)講了很多的教育理論，我就不講理論了、講得實在一點。圍繞題目《一生從教》，下面我講幾個故事，故事都是真實的、發(fā)生在我身上的。 1、第一個故事：我從小就想當(dāng)老師。
 
  （1982 年無錫梅園留影：肖剛、李克正、單墫） 我們說代數(shù)課，說穿了，就是“一個法則、兩個例題”。“一個法則”我當(dāng)然知道，推導(dǎo)我也會。就是不會，或者“卡殼”了，拿教材來看一下，也沒有問題?！皟蓚€例題”當(dāng)然更會做，例題一般都不難。如果是面對面的培訓(xùn)，5分鐘就行了。如果是一個班里有四五十個學(xué)生的情況，可能時間要多一點，但是，至多不應(yīng)該超過15分鐘。為什么？因為學(xué)生注意力高度集中的時間不會超過15分鐘。時間一長，思想就分散開去了，效果就很差。所以，課盡量要在15分鐘之內(nèi)講完。我第一次在初三上課，就講15分鐘，講完了就讓學(xué)生做作業(yè)。學(xué)生很疑惑：怎么就做作業(yè)了？我說：是做作業(yè)了，把作業(yè)本拿出來。后來，學(xué)生就知道了，我只講15分鐘，所以，有學(xué)生一上課就把作業(yè)本擺在邊上。學(xué)生做作業(yè)，我就在課桌之間轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去，看哪些學(xué)生不會。第一次，我也不知道哪些學(xué)生好，哪些學(xué)生差。后來，我就熟悉了。我特別關(guān)心差的學(xué)生，看他們會不會做。差的學(xué)生，常常拿作業(yè)本都比別人慢。有一次，一個學(xué)生不拿作業(yè)本，我對他就說：“作業(yè)本拿出來做作業(yè)?！薄拔也粫！薄皠傊v過就不會了？”“不會。”“哪一題不會？”第一題不會，我就講第一題……也有時不會的原因是我講得不好。這時，我會再講一下（頂多5分鐘）：大家注意啊，有個地方我講得不清楚……我結(jié)合例題再講，學(xué)生就算不會，抄也抄下來了。所以，大部分學(xué)生在下課之前，作業(yè)都做完了。對好的學(xué)生，我就出幾道思考題給他們。比如，后面要講韋達(dá)定理了，我就讓他們思考：一個一元二次方程如果有兩個根x1、x2，那么，x1+x2會等于什么？x1?x2又等于什么？ （本節(jié)內(nèi)容選自《教育研究與評論》綜合版2023年第7期） (單墫教授文選)
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