二次函數(shù)作為中考數(shù)學(xué)壓軸題的常見考點，在其基礎(chǔ)上衍生出無數(shù)變式，它可以和一次函數(shù)、反比例函數(shù)整合，也可以與幾何圖形結(jié)合，而其中的動點問題，更是各地中考壓軸題的熟客，拋物線不僅存在于直觀圖形，更與運動最值等息息相關(guān)，這其中對于二次函數(shù)及其圖像的性質(zhì)運用，須達到相當純熟的程度，才能做到游刃有余，這一層又一層的二次函數(shù)關(guān)系，猶如俄羅斯套娃，你玩得轉(zhuǎn)嗎？

題目

如圖，A(2,1)，B(2,0)，C為y軸上一動點，過A，C兩點的拋物線為y=ax+bx+n(a≠0，a≠-1)，直線OA與直線BC相交于點P.

(1)若n=1，且拋物線恰好也過P點，如圖1，直接寫出拋物線頂點坐標為_____________；

(2)當拋物線同時經(jīng)過A，C，P三點時，此時P必為該拋物線的頂點，請以n=2為例驗證上述結(jié)論的正確性；

(3)若拋物線與直線BC有唯一交點C

①求a的值，并求當C沿y軸向上運動時，其頂點同時向下運動所對應(yīng)n的取值范圍；

②設(shè)過B另有一直線(與BC，AB不重合)，也與拋物線僅有一個交點，設(shè)為D，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：無論C在y軸上如何運動，直線CD一定經(jīng)過一個確定不動點Q，請直接寫出該不動點Q的坐標.

解析：

(1)當n=1時，點C坐標為(0,1)，我們可觀察點A與點C縱坐標相同，在拋物線上，縱坐標相同的兩個點一定是關(guān)于對稱軸對稱的，于是對稱軸為x=1，接下來有多種方法可以“秒殺”：

A，B，C坐標均已知，可得直線OA解析式為y=1/2x，直線BC解析式為y=-1/2x+1，求得P(1,1/2)，然后將A，C，P三點代入拋物線解析式分別求出a,b,n，于是拋物線解析式為y=1/2x-x+1，化為頂點式為y=1/2(x-1)+1/2，于是頂點坐標為(1,1/2)；

四邊形OBAC是矩形，根據(jù)對角線相等且互相平分，點P為BC和OA中點，即它的橫坐標為1，在對稱軸上，因此點P一定是頂點，利用中點公式秒了；

(2)當n=2時，點C坐標為(0,2)，此時OA解析式不變，依然是y=1/2x，而BC解析式變成y=-x+2，求得P(4/3,2/3)，同樣可利用A，C，P三點坐標求出拋物線解析式為y=3/4x-2x+2，化為頂點式為y=3/4(x-4/3)+2/3，因此頂點恰好是P；

(3)作為本題的難點，首先需要理解拋物線與直線有唯一公共點的意義，通常我們會聯(lián)立拋物線與直線得到一個一元二次方程，這個方程的判別式為零，記住這個方法，后面會多次用到它。

①又是一個令人費解的描述，當C沿y軸向上運動時，其頂點同時向下運動，點C坐標為(0,n)，只有一個參數(shù)n來控制它上下運動，拋物線頂點縱坐標必定是一個含n的二次多項式，究竟是什么呢？暫時不清楚，但目標是明確的，即將拋物線頂點坐標表示出來看看。

面對拋物線解析式y(tǒng)=ax+bx+n中的眾多參數(shù)，能消一個算一個，利用題目條件中拋物線經(jīng)過點A，將其坐標代入，得4a+2b+n=1，于是得到b=1/2-2a-n/2，于是拋物線解析式變成y=ax+(1/2-2a-n/2)x+n，直線BC的解析式可設(shè)為y=kx+n，再將點B坐標代入，得k=-n/2，于是直線BC解析式為y=-nx/2+n，現(xiàn)在我們聯(lián)立它們得到一個關(guān)于x的一元二次方程，ax+(1/2-2a-n/2)x+n=-nx/2+n，整理后得到ax+(1/2-2a)x=0，根據(jù)△=0，我們可求出a=1/4，于是b=-n/2，至此拋物線解析式可化為y=1/4x-nx/2+n，這是一個只含參數(shù)n的一元二次方程，它的頂點坐標可表示為(n,n-n/4)，請注意它的縱坐標，是不是與我們先前的預(yù)測吻合？

將其縱坐標利用配方法化簡得-1/4(n-2)+1，我們可以利用二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，確定當n≥2時，頂點縱坐標隨n的增加而減少，即向下運動，推導(dǎo)如下：

②由題意可知直線BD與拋物線僅有一個公共點D，不妨設(shè)BD的解析式為y=mx+d，代入B(2,0)，得到d=-2m，于是BC解析式可化為y=mx-2m，將其和拋物線聯(lián)立得方程1/4x-n/2x+n=mx-2m，同樣求其判別式△=1/4(n+2m)-(n+2m)=0，我們提個公因式再來看，(n+2m)[1/4(n+2m)-1]=0，意味著m=-n/2或m=2-n/2，請注意，題目中說了它與BC，AB不重合，而在前面我們求得BC的解析式中k=-n/2，于是m≠-n/2，所以m=2-n/2，再求出d=n-4，現(xiàn)在我們知道BD的解析式為y=(2-n/2)x+n-4，將其與拋物線聯(lián)立，得方程1/4x-n/2x+n=(2-n/2)x+n-4，整理得1/4x-2x+4=0，可求出x=4，于是點D坐標為(4,4-n)；

此時我們設(shè)CD的解析式為y=px+n，將點D坐標代入，得到p=1-n/2，于是CD解析式化為y=(1-n/2)x+n，它一定經(jīng)過一個確定的不動點Q，怎么尋找這個點呢？

抓住“不動”二字，即無論n取何值，總有一對x，y的值滿足，不妨將所有含n的式子中因數(shù)n提出來，得到y(tǒng)=x+n(1-x/2)，這就可以看出來了，當x=2時，y=2，與n無關(guān)，所以點Q坐標為(2,2)，推導(dǎo)如下：

解題反思

在參數(shù)n確定的時候，本題難度一般，涉及到拋物線與直線有唯一交點的問題也曾無比熟悉，然而在理解頂點向下運動的時候，需要建立起它的縱坐標與二次函數(shù)圖像的關(guān)聯(lián)，相當于在原題的二次函數(shù)中又嵌套了一次，而在研究直線過定點類的問題時，一定要牢記直線過定點的基本方法，即與解析式中的參數(shù)無關(guān)，什么叫無關(guān)呢？即化為關(guān)于這個參數(shù)的方程，讓它的系數(shù)為零，這樣就能保證無論參數(shù)如何變化，恒成立，從而求解出需要的結(jié)果。

從這道題目中，至少我們知道參數(shù)控制點的運動，如果是參數(shù)的一次多項式，則點沿直線運動，如果是二次多項式，基本上沿拋物線運動，就一定存在“忽上忽下”的運動路線，這極容易迷糊，而要理清它如何動，歸根到底還是建立在對二次函數(shù)圖像特征的深度理解上。