這里有一堆數(shù)學(xué)，但這是一個(gè)大問(wèn)題。簡(jiǎn)而言之，它展示了一些非常重要的東西——光是一種電磁波。

好吧，讓我們開(kāi)始吧。

麥克斯韋方程組

我將簡(jiǎn)要回顧一下麥克斯韋方程組。真的，你花了整整一個(gè)學(xué)期的物理課程才達(dá)到這一點(diǎn)——但我們只是打算在一篇博文中做到這一點(diǎn)。

如果您需要麥克斯韋方程的“電梯間距”——它們是顯示電場(chǎng)和磁場(chǎng)性質(zhì)的四個(gè)方程。這包括字段的“形狀”以及如何創(chuàng)建它們。哦，我將從麥克斯韋方程組的積分版本開(kāi)始，然后我們可以討論微分版本。

高斯定律

這是您在入門(mén)物理課程中看到的版本。

等式的左邊是閉合曲面上的電通量。通量基本上是垂直于在整個(gè)表面上積分的表面的電場(chǎng)分量。在這個(gè)方程中，圓的積分意味著它是一個(gè)表面積上的“封閉”積分（我們知道它是一個(gè)表面積分，因?yàn)?dA（面積元素）。最后，n-hat 是單位向量法線(xiàn)（垂直）到該地區(qū)。

右側(cè)是該表面所包圍的體積內(nèi)的總（凈）電荷。常量 (ε-0) 的值通常寫(xiě)為：

但這條定律真正說(shuō)的是電荷產(chǎn)生電場(chǎng)。這些電場(chǎng)遠(yuǎn)離正電荷指向負(fù)電荷。

由正電荷和負(fù)電荷引起的電場(chǎng)。

高斯磁性定律

這個(gè)有點(diǎn)奇怪——只是真名是說(shuō)它像高斯定律，但又不像。是為了磁場(chǎng)。看起來(lái)像這樣。

這表示閉合曲面上的磁通量為零。對(duì)此的另一種解釋是表面內(nèi)部的凈“磁”電荷為零。對(duì)于任何表面都是如此——或者說(shuō)沒(méi)有單獨(dú)的磁荷可能更容易。沒(méi)有磁單極子。好吧，冷靜點(diǎn)。有可能確實(shí)存在磁單極子。如果我們找到了一些，那么我們就可以改變這個(gè)等式。

法拉第定律

是的，你可以用電荷制造電場(chǎng)（見(jiàn)高斯定律），但正如尤達(dá)所說(shuō)，盧克天行者是他們最后的希望：

不，還有一個(gè)。

產(chǎn)生電場(chǎng)的另一種方法是改變磁通量。

這個(gè)等式的左邊很瘋狂。它表示電場(chǎng)的閉合線(xiàn)積分不為零（但請(qǐng)記住，電場(chǎng)是保守的，因此應(yīng)該為零）。右側(cè)是受同一彎曲路徑限制的區(qū)域上的磁通量（對(duì)于電場(chǎng)積分）。

因此，我們可以將電場(chǎng)分為兩組（我使用的是我最喜歡的物理教科書(shū)中的術(shù)語(yǔ)——物質(zhì)和相互作用）。第一個(gè)是電荷引起的“庫(kù)侖”場(chǎng)。這些是與高斯定律相關(guān)的字段。第二種場(chǎng)（來(lái)自法拉第定律）可以稱(chēng)為“卷曲”場(chǎng)，因?yàn)殚]環(huán)上的路徑積分不為零。

這是一張照片。

哦，讓我指出一些關(guān)于法拉第定律的事情。

• 請(qǐng)注意，磁通量（右側(cè)）沒(méi)有閉合積分。它不是封閉曲面，而是受曲線(xiàn)約束。
• 那個(gè)負(fù)號(hào)呢？這有點(diǎn)復(fù)雜（它在微分形式下效果更好）?；旧?，它給出了卷曲字段的方向（讓我們就此打?。?/span>
• 是的，有一個(gè)時(shí)間導(dǎo)數(shù)。卷曲場(chǎng)取決于磁通量的時(shí)間變化率。

安培麥克斯韋定律

只是一個(gè)方程式。我將首先展示方程式。

簡(jiǎn)而言之，這表示有兩種方法可以產(chǎn)生卷曲磁場(chǎng)。首先，您可以使用電流 (I_in) 創(chuàng)建卷曲 B 場(chǎng)。其次，你可以用變化的電通量制造一個(gè)卷曲的 B 場(chǎng)?；旧?，除了兩件事之外，這與法拉第定律是一樣的：

• 它在磁場(chǎng)而不是電場(chǎng)（等式的左側(cè)）和電通量而不是磁通量（右側(cè)）上有一個(gè)路徑積分。
• 還有一個(gè)額外的項(xiàng)——常數(shù)乘以 I_in。這是通過(guò)路徑積分曲線(xiàn)所限定的表面積的電流。

這里的常數(shù)是：

此外，如果我們有磁單極子，法拉第定律也會(huì)有一個(gè)看起來(lái)像電流的術(shù)語(yǔ)——然后我們可以創(chuàng)建一個(gè)帶有單極子電流（移動(dòng)的單極子）的卷曲電場(chǎng)。

我認(rèn)為我們已經(jīng)為微分形式做好了準(zhǔn)備。

麥克斯韋方程組的微分形式

不，我們還沒(méi)有完成。還有很多事情要做。我將再次從高斯定律開(kāi)始。讓我定義一個(gè)新事物——電荷密度 (ρ)。這是每單位體積的費(fèi)用。這意味著，如果我占據(jù)一些空間并對(duì)這個(gè)體積的電荷密度進(jìn)行積分，我將得到該體積內(nèi)的總電荷。

提醒一下——這確實(shí)是一個(gè) VOLUME 積分，因?yàn)?dV 就在積分中。我的意思是，它可能應(yīng)該是三重積分，但我們?cè)谶@里都很成熟。正確的？這可以。

接下來(lái)，我需要使用散度定理。這表示如果你有一些矢量場(chǎng) (F)，那么我們可以在表面積積分和體積積分之間建立關(guān)系。

同樣，左邊是面積積分，右邊是體積積分。但是那個(gè) ? 運(yùn)算符呢（我稱(chēng)之為“Del”運(yùn)算符）。在笛卡爾坐標(biāo)中，此運(yùn)算符如下所示：

我們可以用電荷密度的定義和散度定理來(lái)改寫(xiě)高斯定律。首先，用體積積分代替里面的電荷。

現(xiàn)在我可以使用散度定理將表面積分變?yōu)轶w積積分。

由于我在同一個(gè)空間上有兩個(gè)體積積分，積分中的東西必須相同。就是這樣。

這是對(duì)實(shí)際體積進(jìn)行積分的高斯定律（這很有用）。

高斯磁性定律呢？我的意思是，我真的需要復(fù)習(xí)完整的推導(dǎo)嗎？如果沒(méi)有磁單極子，則磁荷密度為零。這給出了以下內(nèi)容。

對(duì)于法拉第定律，我們需要另一個(gè)工具——斯托克斯定理。這表示對(duì)于某些矢量場(chǎng)，我可以在面積分和線(xiàn)積分之間建立關(guān)系。

在左邊，我們有一個(gè)路徑積分。在右邊，有卷曲。旋度是 Del 算子和矢量場(chǎng) (F) 之間的叉積。之后，您可以通過(guò)正常方式找到通量。

如果我們想將其與法拉第定律一起使用，我們需要對(duì)該時(shí)間導(dǎo)數(shù)做一些處理。好吧，由于磁通量?jī)H取決于空間，我們可以將該導(dǎo)數(shù)帶入積分中——但當(dāng)你這樣做時(shí)，它就變成了偏導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在我們有這個(gè)：

現(xiàn)在讓我們使用斯托克定理將線(xiàn)積分轉(zhuǎn)換為面積分。

就像以前一樣，因?yàn)槲覀冇袃蓚€(gè)面積積分，所以里面的東西一定是一樣的。

對(duì)于安培-麥克斯韋定律，我們需要一些新東西——電流密度。通過(guò)電流密度（j，單位為安培每平方米），我們可以得到通過(guò)某個(gè)區(qū)域的總電流：

讓我們?cè)俅问褂盟雇锌硕ɡ韥?lái)改變磁場(chǎng)的線(xiàn)積分以獲得面積積分。

接下來(lái)，讓我們看一下安培-麥克斯韋方程的右側(cè)，將電流 (I_in) 替換為電流密度的表面積積分。讓我們也將導(dǎo)數(shù)帶入積分。

這兩個(gè)面積積分都在同一面積上，因此我可以將它們組合在一起?，F(xiàn)在引入斯托克的部分給出：

同樣，積分中的內(nèi)容必須相同。讓我繼續(xù)將所有四個(gè)方程式放在一起。

這就像復(fù)仇者聯(lián)盟，只是他們只有四個(gè)人，而且他們沒(méi)有超級(jí)英雄的服裝。

波動(dòng)方程

假設(shè)我有一根繩子，然后我以垂直于繩子的運(yùn)動(dòng)搖動(dòng)它的一端。這會(huì)導(dǎo)致位移，但位移也會(huì)沿著弦的長(zhǎng)度向下移動(dòng)。這就是它的樣子。

請(qǐng)注意，這是 y 與 x 的關(guān)系圖，但它也會(huì)隨時(shí)間變化。因此，y（位移）的值取決于您看的位置（x 值）和時(shí)間（t 值）。y、x 和 t 之間的關(guān)系稱(chēng)為波動(dòng)方程?？雌饋?lái)像這樣。

是的，v 是波速——脈沖沿著琴弦移動(dòng)的速度。如果您想了解如何推導(dǎo)此波動(dòng)方程。

需要明確的是，這表示某個(gè)函數(shù) (y) 相對(duì)于時(shí)間的第二部分等于速度乘以相對(duì)于 x 的第二部分。但是你不必有一個(gè)物理波——你可以將它用于其他函數(shù)的波而不是空間 (y)。一般來(lái)說(shuō)，這個(gè)波動(dòng)方程可以適用于任何函數(shù)——我們稱(chēng)它為 f。

可是等等！對(duì)于某些矢量場(chǎng)（矢量 F），此波動(dòng)方程也適用于 3 維。在那種情況下，它看起來(lái)像這樣：

在這里，Del2 被稱(chēng)為拉普拉斯算子——它在笛卡爾坐標(biāo)系中還算不錯(cuò)。

現(xiàn)在想象一些空間區(qū)域，其中沒(méi)有自由電荷（因此 ρ 等于零）并且沒(méi)有電流（因此 j = 0）。在這種情況下，我們可以將麥克斯韋方程組改寫(xiě)為：

接下來(lái)，讓我們從法拉第定律開(kāi)始，取兩邊的旋度：

現(xiàn)在看右邊。我們有 B 相對(duì)于 t 的部分——但這只涉及時(shí)間。卷曲有 Del 只處理空間。由于兩個(gè)操作員彼此沒(méi)有任何關(guān)系，我可以調(diào)換順序。

B 的旋度可以用安培-麥克斯韋定律代替：

接下來(lái)我們需要一個(gè)矢量標(biāo)識(shí)。對(duì)于某些矢量場(chǎng) (F)，F(xiàn) 的旋度等于：

將它與 E 的卷曲一起使用，我得到：

使用高斯定律和電荷密度為零的事實(shí)，Del dot E 也為零。我還可以將兩邊都乘以負(fù) 1，得到：

嗯。你好？這就是電場(chǎng)的波動(dòng)方程。哦，但是等等！這也意味著我知道波速。

好的，現(xiàn)在是最酷的部分。讓我們輸入 μ_0 和 ε_(tái)0 的值。如果這樣做，您將獲得每秒 2.99 x 10? 米的波速。哦，看看那個(gè)。它與光速相同。好的。

好的，為了完整起見(jiàn)，我需要看看磁場(chǎng)是否也是一種波。是的，我們將做一些非常相似的事情。我將從安培-麥克斯韋方程（電流密度為零）開(kāi)始，計(jì)算兩側(cè)的旋度。

對(duì)于這個(gè)等式的右邊，我可以使用法拉第定律從 E 切換到 B。

替換左側(cè)卷曲的卷曲：

沒(méi)有磁單極子（即使有——我們?cè)谡婵罩校┦沟?Del 點(diǎn) B 為零。兩邊乘以負(fù) 1 和 BOOM。

也是波動(dòng)方程。它還具有 c = 2.99 x 10? m/s 的波速。