上一篇主要介紹了期權(quán)的一些基礎(chǔ)概念，包括delta和gamma，并用一個簡單的例子說明了在delta hedge是怎么賺錢的，關(guān)鍵就在于long gamma。這里必須要再次強(qiáng)調(diào)這個邏輯中的幾個重要的概念。

（1）假設(shè)初始狀態(tài)時(shí)delta neutral和long gamma，則無論標(biāo)的股票上漲還是下跌，portfolio都能賺錢。

（2）賺錢的多少只取決于gamma的大小和股票變化的幅度，和變化的方向無關(guān)。

（3）當(dāng)股票價(jià)格變化后，delta也會從0變成一個正數(shù)或負(fù)數(shù)，因此為了保持delta neutral，需要以一定的頻率進(jìn)行dynamic hedge。

（4）No free lunch.

之所以要再三強(qiáng)調(diào)和方向無關(guān)只和幅度有關(guān)，是為了引出volatility的概念。在期權(quán)領(lǐng)域常說的volatility有realized volatility和implied volatility，上一篇中已經(jīng)用一個例子簡單地說明了兩者的關(guān)系，本篇將主要用兩部分?jǐn)?shù)學(xué)推導(dǎo)來說明具體的關(guān)系，為了幫助理解將會做一些簡化。

1.Taylor Expansion

這一部分的推導(dǎo)是完全model free的，只是簡單利用泰勒展開進(jìn)行一些推理，當(dāng)然使用泰勒展開的時(shí)候有一個自然的假設(shè)是展開到幾階。我們假設(shè)有一個二元函數(shù)f(S,t)，我們假設(shè)對第一個自變量S進(jìn)行二階展開，對第二個自變量進(jìn)行一階展開。

這個式子說明的是函數(shù)f的變化是如何取決于兩個自變量的變化的。現(xiàn)在我們把函數(shù)f看作是“期權(quán)價(jià)格”，S看作是標(biāo)的股票價(jià)格，t則是到期時(shí)間。根據(jù)我們對于希臘字母的定義，上式可以重新寫為：

這個式子告訴我們，期權(quán)價(jià)值取決于時(shí)間的流逝、標(biāo)的股票的變化及其平方，各自的敏感度就是我們的希臘字母theta、delta、gamma。接下來如果我們把f從“期權(quán)價(jià)格”重新定義為“投資組合價(jià)格”，上式依然成立。此時(shí)我們在期權(quán)的基礎(chǔ)上加上一些標(biāo)的股票使得整個組合delta為0，由于股票的theta和gamma都是0，因此這個期權(quán)+股票的組合價(jià)格f可以寫成如下：

上式說明了這樣一件事情，對于一個delta neutral的portfolio來說，其P&L（df）只取決于theta和gamma。在這個推理框架下，f只依賴于S和t，而時(shí)間t的流逝是確定的，因此唯一的風(fēng)險(xiǎn)源是S，而對于delta neutral的組合來說它對沖了S的風(fēng)險(xiǎn)，因此根據(jù)no free lunch，該組合只能獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益率（這里可以假設(shè)為0），因此最后的結(jié)論是theta P&L應(yīng)該和gamma P&L互相抵消。這個結(jié)論初步回答了上一篇的問題：delta hedge策略似乎永遠(yuǎn)在賺錢？答案就是會有所謂的期權(quán)的時(shí)間價(jià)值來彌補(bǔ)。

到這里我們已經(jīng)能發(fā)現(xiàn)gamma對應(yīng)的二階項(xiàng)已經(jīng)可以近似認(rèn)為代表realized volatility了。假設(shè)theta是恒定的話，那顯然只要股票波動的越劇烈，gamma P&L就越有可能大于theta P&L，整個portfolio更有可能賺錢。那具體要波動得多劇烈才能達(dá)到breakeven呢？這就需要第二部分的推論了。

2.Black Scholes

這里直接給出Black Scholes中最后的那個偏微分方程。

這個式子不像第一部分的泰勒展開，為了得到這個式子是需要一系列假設(shè)的，這里就不再贅述。特別指出這里的sigma就是所謂的implied volatility，和bs模型的假設(shè)有關(guān)。和上面一樣，我們假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率r是0，并用希臘字母代替求導(dǎo)得到：

這里的希臘字母和第一部分的希臘字母的定義是相同的，因此可以直接代入第一部分的最后一個式子，可得：

這就是最終我們需要的式子。來分析一下每個部分。括號外面的gamma乘以S平方就是我們上一篇中定義的dollar gamma；括號內(nèi)的第一項(xiàng)是真正的realized volatility，是收益率的平方；括號內(nèi)的第二項(xiàng)是implied volatility，當(dāng)然兩個volatility都取了平方，其實(shí)更接近于variance的概念，不過這不重要。

有了這個式子就可以清晰地看到breakeven在哪里了，結(jié)論是realized volatility=implied volatility。根據(jù)bs的定義，implied volatility是在你買入的時(shí)候被包含在定價(jià)中的，implied volatility越高期權(quán)價(jià)格越貴。Realized volatility是在持有期間股票實(shí)現(xiàn)的波動。所以為什么implied volatility越高期權(quán)越貴呢，就是因?yàn)樗鋵?shí)是對未來一段時(shí)間內(nèi)realized volatility的一個“expectation”，它越大意味著市場認(rèn)為未來股票波動越劇烈，delta hedge策略能賺的收入就越多，因此你今天需要支付的成本也應(yīng)該越大，again，no free lunch。

這就是為什么long gamma是在long volatility，也解釋了你需要多大的realized volatility才能不虧錢。但這并不是終點(diǎn)，這個推論只是generally true，有的時(shí)候在一段時(shí)間中即使realized volatility大于implied volatility，你依然會虧錢，這是由于上式中的gamma是時(shí)變的而非恒定的，因此這個df是path-dependent的，后續(xù)會介紹一些更復(fù)雜的衍生品來專門解決這個問題。

最后想說的是，一般交易員稱上述的P&L為gamma P&L或者叫carry，實(shí)際當(dāng)中真正的portfolio P&L還有一些其他因素影響，比如其他的希臘字母和交易費(fèi)用等等。這個后續(xù)會慢慢介紹。