|
從直觀的意義上來(lái)理解，混沌和統(tǒng)計(jì)兩個(gè)術(shù)語(yǔ)，顯而易見(jiàn)地意味著不確定性。而當(dāng)我們深入到數(shù)學(xué)的細(xì)微處，卻會(huì)發(fā)現(xiàn)，混沌的特征往往發(fā)生在確定性意義上，而從內(nèi)在不確定的統(tǒng)計(jì)意義出發(fā)，卻可以找尋到混沌的幾許確定性。其間向我們展示著混沌的不盡風(fēng)光。 撰文 | 丁玖（美國(guó)南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）這篇科普文章如同它的標(biāo)題所言，關(guān)心的是“從統(tǒng)計(jì)的角度看混沌”，但為了進(jìn)入這個(gè)主題，我們不得不首先談?wù)摗按_定性意義上的混沌”，這也是人們通常所理解的“混沌”所指。只有對(duì)通常意義上的混沌基本概念至少略知一二，歷經(jīng)“從有序到無(wú)序”的函數(shù)迭代風(fēng)光之旅，才會(huì)合乎邏輯并從容不迫地進(jìn)一步追問(wèn)：確定性意義上的混沌在概率統(tǒng)計(jì)的意義上會(huì)發(fā)生什么？讓我們考察一個(gè)映射y = S(x)，它把定義域映到自身內(nèi)，這樣我們就可以迭代S，即取定義域內(nèi)的一個(gè)初始點(diǎn)x0，帶入到S的表達(dá)式中計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的映射值，得到下一個(gè)點(diǎn)x1，再將x1帶入到S的表達(dá)式中進(jìn)行計(jì)算，就得到再下一個(gè)點(diǎn)x2，一般地，對(duì)所有的自然數(shù)n = 1, 2, 3, …，在得到第n-1個(gè)迭代點(diǎn)xn-1后，將它帶入到S的表達(dá)式中計(jì)算，就得到第n個(gè)迭代點(diǎn)xn。如此這般，我們獲得S的一個(gè)迭代點(diǎn)列（也稱為S的一個(gè)迭代點(diǎn)軌道，或簡(jiǎn)稱為軌道）：如果映射S的定義域中有個(gè)點(diǎn)x*，滿足S(x*) = x*，這個(gè)點(diǎn)就稱為S的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。不動(dòng)點(diǎn)在代數(shù)上的意義就是方程S(x) = x的解，而在幾何上的意義就是映射S在xy-直角坐標(biāo)系中的圖像與坐標(biāo)軸的對(duì)角線y = x的交點(diǎn)。取一個(gè)初始點(diǎn)x0，如果將映射S迭代到第n步后，又第一次返回到初始點(diǎn)x0，即迭代從初始點(diǎn)算起的前n個(gè)點(diǎn)x0，x1 = S(x0)， x2 = S(x1) = S2(x0)，…，xn-1= S(xn-2) = Sn-1(x0)互不相同，但第n個(gè)迭代點(diǎn)xn= S(xn-1) = Sn(x0)恰好等于初始點(diǎn)x0，則稱x0為S的一個(gè)周期為n的周期點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列稱為S的一個(gè)周期-n軌道。上面的記號(hào)Sn表示n個(gè)S復(fù)合而成的復(fù)合映射，即S0(x) = x，S1(x) = S(x)，S2(x) = S(S1(x))，S3(x) = S(S2(x))，等等。顯見(jiàn)一個(gè)周期-n軌道中的每一個(gè)點(diǎn)都是周期為n的周期點(diǎn)。不動(dòng)點(diǎn)就是周期為1的周期點(diǎn)。從周期點(diǎn)開(kāi)始的迭代點(diǎn)列是其周期軌道的“周而復(fù)始”而無(wú)窮地復(fù)制下去，因此該點(diǎn)列的最終性態(tài)是已知的，或言之，是可以預(yù)測(cè)的。但是，當(dāng)初始點(diǎn)不是周期點(diǎn)時(shí)，由此出發(fā)的迭代點(diǎn)列的最終性態(tài)是不是一定不可以預(yù)測(cè)？如果我們稍嫌通過(guò)數(shù)值計(jì)算映射值來(lái)迭代映射太花費(fèi)時(shí)間，我們可以沿著一條幾何的快捷路徑急速行走，這樣就能更直觀地檢視迭代點(diǎn)列的“行動(dòng)路線”。首先作出映射y = S(x)的圖像，然后在坐標(biāo)軸的對(duì)角線y = x上找到坐標(biāo)為(x0，x0)的點(diǎn)，它代表了迭代的初始值。然后從那個(gè)點(diǎn)出發(fā)向上或向下沿著豎線走，一直走到和映射的圖像相交為止，在交點(diǎn)處向左或向右轉(zhuǎn)彎沿著橫線走，一直走到和對(duì)角線相交為止，這個(gè)交點(diǎn)就代表著第一個(gè)迭代點(diǎn)x1。然后從這點(diǎn)向上或向下沿著豎線走，一直走到和映射的圖像相交，在交點(diǎn)處向左或向右轉(zhuǎn)彎沿著橫線走直到和對(duì)角線相交，這個(gè)交點(diǎn)則代表著第二個(gè)迭代點(diǎn)x2。如此走下去，我們就依次得到對(duì)角線上代表迭代點(diǎn)x0，x1，x2，x3，x4，x5，…… 的一個(gè)點(diǎn)列。我們先迭代幾個(gè)非常簡(jiǎn)單的映射來(lái)個(gè)熱身?？紤]線性映射顯然x* = 0是S唯一的不動(dòng)點(diǎn)。從任一初始點(diǎn)x0出發(fā)，第n個(gè)迭代點(diǎn)xn = x0/2n，故當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，xn趨向于極限0。在初始點(diǎn)取為1時(shí)，這就是莊子名言“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭”的意思。因?yàn)椴粍?dòng)點(diǎn)0“吸引”了其周圍各點(diǎn)的迭代點(diǎn)列，它被稱為是吸引的不動(dòng)點(diǎn)。從下面的幾何迭代法圖示中，上述結(jié)論一目了然。
因此對(duì)這個(gè)線性映射，所有初始點(diǎn)的迭代點(diǎn)列的最終性態(tài)是趨向于不動(dòng)點(diǎn)0，這是在迭代之前就可以預(yù)測(cè)到的。0依然是唯一的不動(dòng)點(diǎn)，但對(duì)任何不等于0的初始點(diǎn)x0，第n個(gè)迭代點(diǎn)xn = 2n x0，故當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，xn趨向于無(wú)窮大或負(fù)無(wú)窮大，這取決于x0是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。因而所有迭代點(diǎn)列的最終性態(tài)也是可以預(yù)測(cè)的。由于不動(dòng)點(diǎn)0“排斥”了從周圍的各點(diǎn)出發(fā)的迭代點(diǎn)列，它被稱為是排斥的不動(dòng)點(diǎn)，如下圖所示。
上面兩個(gè)典型的線性映射只有不動(dòng)點(diǎn)，沒(méi)有周期點(diǎn)。下面我們看看有周期點(diǎn)的一個(gè)例子：0還是唯一的不動(dòng)點(diǎn)，但S有了一個(gè)周期-2軌道1，-1。從下面的幾何迭代圖示
就可知道，對(duì)位于開(kāi)區(qū)間(-1，1)內(nèi)的任意一個(gè)初始點(diǎn)x0，迭代點(diǎn)列{Sn(x0)}將趨向于極限0，故不動(dòng)點(diǎn)0是吸引的，而當(dāng)初始點(diǎn)x0的絕對(duì)值大于1時(shí)，迭代點(diǎn)的絕對(duì)值數(shù)列{| Sn(x0)|}將趨向于無(wú)窮大。也就是說(shuō)，S的周期-2軌道1，-1排斥了從它附近的各點(diǎn)出發(fā)的迭代點(diǎn)列。給出了周期軌道的另一個(gè)性質(zhì)。圖示
告訴我們，現(xiàn)在0變成了排斥的不動(dòng)點(diǎn)，而周期-2軌道1，-1則成了吸引的了，理由是當(dāng)非零初始點(diǎn)x0的絕對(duì)值小于1或大于1時(shí)，點(diǎn)列{(S-1)n (x0)}都會(huì)趨向于周期-2軌道1，-1。這兩個(gè)非線性映射都展示出對(duì)所有初始點(diǎn)，迭代點(diǎn)列的最終性態(tài)都是可以預(yù)測(cè)的。此外，除了唯一的不動(dòng)點(diǎn)和兩個(gè)周期為2的點(diǎn)外它們沒(méi)有其他的周期點(diǎn)。對(duì)于曾在人口動(dòng)力學(xué)中引起“混沌熱潮”的邏輯斯蒂映射我們將看到另一番景象。這里的參數(shù)μ在0和4之間取定，以保證Sμ將區(qū)間[0，1]映到自身，因而對(duì)屬于[0，1]的初始點(diǎn)可以永遠(yuǎn)迭代下去。雖然被迭代的映射是個(gè)簡(jiǎn)單的二次多項(xiàng)式，但對(duì)于參數(shù)取值的不同范圍，迭代點(diǎn)序列展現(xiàn)了豐富多彩的現(xiàn)象。首先，當(dāng)0 < μ ≤ 1時(shí)，Sμ在[0, 1]中只有0這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，而當(dāng)1 < μ ≤ 4時(shí)，Sμ增加了一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)1 – 1/μ。澳大利亞籍的科學(xué)家梅（Robert May，1936-2020）以及美國(guó)物理學(xué)家費(fèi)根鮑姆（Mitchell Feigenbaum，1944-2019）在上世紀(jì)的70年代分別對(duì)研究Sμ的迭代留下了里程碑式的工作。前者被英國(guó)女王封爵，后者榮獲了沃爾夫物理學(xué)獎(jiǎng)。用初等代數(shù)加上初等微積分可以證明，當(dāng)0 < μ ≤ 1時(shí)，唯一的不動(dòng)點(diǎn)0是吸引的；當(dāng)1 < μ ≤ 3時(shí)，0變成了排斥不動(dòng)點(diǎn)，但第二個(gè)不動(dòng)點(diǎn)1 – 1/μ是吸引的；而當(dāng)3 < μ ≤ 1 + √6 ≈ 3.45時(shí)，兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)都是排斥的，但這時(shí)產(chǎn)生了一個(gè)吸引的周期-2軌道。更進(jìn)一步，存在參數(shù)μ值的一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞增無(wú)窮序列{μn}，其中μ0 = 3，μ1 = 1 + √6，使得當(dāng)參數(shù)μ 滿足條件μn-1 < μ ≤ μn時(shí)， 1. 0和1 – 1/μ是Sμ的兩個(gè)排斥的不動(dòng)點(diǎn)；2. 對(duì)所有k = 1，2，…，n-1，Sμ有一個(gè)排斥的周期-2k軌道；由于當(dāng)μ通過(guò)這些特殊值μn后，周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)和性質(zhì)發(fā)生了改變，因此每個(gè)μn被稱為帶參數(shù)映射族{Sμ}的分叉點(diǎn)，而由于每次分叉后產(chǎn)生了一個(gè)新的周期加倍的周期軌道，這一依賴于參數(shù)變化的迭代過(guò)程稱為倍周期分叉。分叉點(diǎn)序列{μn}單調(diào)遞增并且有上界，它必定收斂到一個(gè)數(shù)，其極限為μ∞ = 3.61547…，被命名為費(fèi)根鮑姆數(shù)。
盡管邏輯斯蒂映射的迭代過(guò)程在參數(shù)經(jīng)過(guò)一個(gè)又一個(gè)分叉點(diǎn)后看上去愈來(lái)愈復(fù)雜，但是如上所述，當(dāng)μn-1 < μ ≤ μn時(shí)，對(duì)幾乎所有的初始點(diǎn)，其迭代點(diǎn)列最終將收斂到那個(gè)吸引的周期-2n 軌道，因而迭代過(guò)程的最終性態(tài)還是可以預(yù)測(cè)的，這些都屬于“有序”的范疇。到目前為止，我們碰到的周期點(diǎn)的周期只是1和2的一些次方，而看不到周期為其他正整數(shù)的周期軌道。讀者自然會(huì)問(wèn)：當(dāng)一個(gè)映射具有一個(gè)周期為3的點(diǎn)時(shí)，情況會(huì)怎么樣？近半個(gè)世紀(jì)前馬里蘭大學(xué)的一位華人博士研究生李天巖（1945-2020）和他的博士論文導(dǎo)師約克（James Yorke，1941-）教授，在一篇著名文章《周期三則意味著混沌》（Period Three Implies Chaos）中，回答了這個(gè)問(wèn)題，而且答案是令人驚奇的：李-約克定理 設(shè)S是一個(gè)連續(xù)映射，將定義域區(qū)間映到自身。如果它有一個(gè)周期為3的點(diǎn)，則1）對(duì)任一自然數(shù)n，S有一個(gè)周期為n的點(diǎn)。2）存在定義域內(nèi)的一個(gè)不可數(shù)的子集A，它不包含周期點(diǎn)，使得對(duì)A中任意兩個(gè)不同的點(diǎn)x0和y0，分別從它們出發(fā)的對(duì)應(yīng)迭代點(diǎn)的距離序列| Sn(x0) - Sn(y0)|當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，下極限為0，而上極限大于0。3）對(duì)A中任一點(diǎn)x0及任一周期點(diǎn)p，分別從它們出發(fā)的對(duì)應(yīng)迭代點(diǎn)的距離序列| Sn(x0) - Sn(p)|當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，上極限大于0。定理結(jié)論中的后兩部分用到了數(shù)列的上、下極限概念，對(duì)這個(gè)概念不熟悉的讀者可以這樣直觀地理解：在n趨于無(wú)窮大的過(guò)程中，分別與初始點(diǎn)x0和y0對(duì)應(yīng)的迭代點(diǎn)Sn(x0)和Sn(y0)無(wú)窮多次地相互靠近（“吸引”），又無(wú)窮多次地相互離開(kāi)（“排斥”）。李-約克定理說(shuō)明，存在比所有的自然數(shù)還要多的初始點(diǎn)x0，不僅由它們出發(fā)的迭代點(diǎn)列 {Sn(x0)} 不可能收斂，而且它們的最終性態(tài)也是不可預(yù)測(cè)的，其主要特征表現(xiàn)在迭代點(diǎn)列對(duì)于初始條件的敏感依賴性。這種由周期-3點(diǎn)的存在性而導(dǎo)致的確定性意義上的迭代點(diǎn)軌道不規(guī)則或“無(wú)序”的行為，足以讓李天巖和約克在他們的文章中第一次定義了數(shù)學(xué)名詞——混沌。這篇于1975年12月刊登在世界范圍內(nèi)讀者人數(shù)最多的數(shù)學(xué)期刊《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》（The American Mathematical Monthly）上的八頁(yè)短文，在普林斯頓高等研究院的物理學(xué)家戴森（Freeman Dyson，1923-2020）于2008年為美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)該年度的“愛(ài)因斯坦講座”而準(zhǔn)備的演講稿《鳥(niǎo)與蛙》（Birds and Frogs）中，被稱為“數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中不朽的珍品之一。”這篇數(shù)學(xué)文章迄今已被引用了超過(guò)5500次，它的思想火花被六十年前“混沌之父”、麻省理工學(xué)院氣象學(xué)教授洛倫茨（Edward Lorenz，1917-2008）關(guān)于天氣預(yù)報(bào)的那篇迄今引用次數(shù)超過(guò)26500次的文章《確定性的非周期流》（Deterministic Nonperiodic Flow）所點(diǎn)燃，可見(jiàn)部分偉大數(shù)學(xué)定理的來(lái)源根植于自然界的某些科學(xué)發(fā)現(xiàn)之中。我們舉一個(gè)例子來(lái)幫助大家理解。最簡(jiǎn)單的非線性映射——帳篷映射T，是這樣被定義的：當(dāng)x屬于[0，1/2]時(shí)，T(x) = 2x， 而當(dāng)x屬于[1/2，1]時(shí)，T(x) = 2(1-x)。它是一個(gè)逐段線性的函數(shù)。顯而易見(jiàn)，它有一周期-3軌道2/7，4/7，6/7；見(jiàn)下圖中的一個(gè)“回路”。因而由李-約克定理知道帳篷映射是“李-約克混沌”的。事實(shí)上，對(duì)于[0，1]中幾乎所有的初始點(diǎn)x0，其對(duì)應(yīng)的迭代點(diǎn)列{Tn(x0)}在[0，1]中稠密，即任給[0，1]中的一個(gè)實(shí)數(shù)x，存在{Tn(x0)}的一個(gè)子序列收斂到x，因此這些迭代點(diǎn)好像如隨機(jī)數(shù)那樣在[0，1]中跳來(lái)跳去，根本無(wú)法預(yù)測(cè)它們未來(lái)的走向。另一個(gè)例子，通過(guò)一個(gè)類似矩陣相似變換那樣所謂的“共軛變換”，我們可以找到當(dāng)μ取4時(shí)的邏輯斯蒂映射S4(x) = 4x(1-x)的一個(gè)周期-3軌道sin2 (π/7)，sin2 (2π/7)，sin2 (4π/7)，所以它也是一個(gè)混沌映射。當(dāng)自變量x限制在單位區(qū)間[0，1]上，它的圖像是在單位正方形[0，1]2中“頂天立地”的拋物線：
同樣，對(duì)[0，1]中幾乎所有的初始點(diǎn)x0，迭代點(diǎn)列{(S4)n(x0)}在[0，1]中處處稠密。然而，我們下面將知道，這些點(diǎn)列在區(qū)間中的分布方式和上面的帳篷映射完全不一樣。總而言之，對(duì)于像帳篷映射T和邏輯斯蒂映射S4這樣看似十分簡(jiǎn)單的非線性映射，對(duì)于幾乎所有的迭代點(diǎn)列，其未來(lái)的最終走向是不可預(yù)測(cè)的。這是在“確定性意義”上的混沌，即當(dāng)?shù)漠?dāng)前點(diǎn)知道后，下一個(gè)迭代點(diǎn)是由映射唯一所確定的，但從全局來(lái)看，迭代點(diǎn)又像隨機(jī)數(shù)那樣到處亂走，看上去似乎沒(méi)有什么規(guī)律可循。由于這種迭代點(diǎn)的隨機(jī)性并非來(lái)自像擲骰子那樣的完全隨機(jī)性，而是可以被認(rèn)為是“局部確定性，長(zhǎng)期隨機(jī)性”，故此時(shí)混沌點(diǎn)列最終走向亂七八糟的狀態(tài)也被稱為“擬隨機(jī)性”。如上可見(jiàn)，對(duì)于混沌的映射，它的迭代點(diǎn)列的最終性態(tài)幾乎是無(wú)法預(yù)測(cè)的，因而人們似乎對(duì)其長(zhǎng)期行為難以琢磨，一籌莫展。是嗎？對(duì)它們真的就找不到可循的規(guī)律嗎？好的，現(xiàn)在讓我們從另外一個(gè)角度來(lái)看混沌，也就是說(shuō)，我們?cè)購(gòu)慕y(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來(lái)檢視確定性意義上的混沌。為了從統(tǒng)計(jì)的角度來(lái)觀察混沌，我們?cè)倩氐綆づ裼成銽。讓我們?cè)诙x域區(qū)間[0，1]中取一個(gè)固定的子區(qū)間，比方說(shuō)[1/4，3/5]。在區(qū)間[0，1]內(nèi)隨機(jī)地取一個(gè)初始點(diǎn)x0，我們已經(jīng)知道迭代點(diǎn)序列{Tn(x0)}在這個(gè)區(qū)間里如同隨機(jī)數(shù)那樣毫無(wú)章法地蹦來(lái)蹦去，但是我們來(lái)問(wèn)一問(wèn)下面這個(gè)問(wèn)題：在這個(gè)迭代點(diǎn)列中的所有點(diǎn)中，跳進(jìn)子區(qū)間[1/4，3/5]的頻度是多少？或者說(shuō)，在所有的迭代點(diǎn)中，那些進(jìn)入[1/4，3/5]中的點(diǎn)所占的比例有多大？這是一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，或者說(shuō)是一個(gè)概率問(wèn)題。在求解這個(gè)問(wèn)題之前，我們指出帳篷映射的一個(gè)明顯事實(shí)。給定[0，1] 的任意一個(gè)子區(qū)間I，由下面的圖示
可見(jiàn)I的長(zhǎng)度與它在帳篷映射下的逆像T-1(I)（兩個(gè)有I的一半長(zhǎng)度的子區(qū)間之并集）的長(zhǎng)度一樣。如果用專業(yè)一點(diǎn)的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，作為區(qū)間長(zhǎng)度概念之推廣的“勒貝格測(cè)度”在帳篷映射下是一個(gè)“不變測(cè)度”，而帳篷映射是一個(gè)保持勒貝格測(cè)度不變的“保測(cè)變換”。換言之，對(duì)于[0，1]的任意一個(gè)像模像樣的子集（稱為勒貝格可測(cè)子集），它的勒貝格測(cè)度等于它在帳篷映射下的逆像的勒貝格測(cè)度。法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格（Henri Lebesgue，1875-1941）于上世紀(jì)初創(chuàng)立的“積分論”，是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中不可或缺的基本工具。要回答迭代點(diǎn)列{Tn(x0)}中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)落到[1/4，3/5]的頻度這個(gè)問(wèn)題，我們先數(shù)一數(shù)，這個(gè)點(diǎn)列中的前n個(gè)點(diǎn)，即x0，T(x0)， T2(x0)，…，Tn-1(x0)中有多少個(gè)點(diǎn)進(jìn)入[1/4，3/5]。為了在數(shù)學(xué)上回答這個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題，我們引入一個(gè)集合A的“特征函數(shù)” χA概念，它的定義是：若x屬于A，則χA(x)等于1，若x不屬于A，則χA(x)等于0。我們把在大學(xué)數(shù)學(xué)系的分析課程《實(shí)變函數(shù)論》中用來(lái)定義勒貝格積分第一步的這個(gè)特征函數(shù)，作為計(jì)數(shù)器用在這里。只要?jiǎng)觿?dòng)腦筋想一想，就會(huì)知道下面這個(gè)n個(gè)“非0即1”的數(shù)的和式
恰恰表示前n個(gè)迭代點(diǎn)中進(jìn)入[1/4，3/5]的那些點(diǎn)的個(gè)數(shù)。將這個(gè)非負(fù)整數(shù)再除以總的迭代點(diǎn)個(gè)數(shù)n，即
就是n個(gè)迭代點(diǎn)中落到區(qū)間[1/4，3/5]的點(diǎn)的相對(duì)頻度。我們的目的是求出整個(gè)無(wú)窮迭代點(diǎn)列中進(jìn)入[1/4，3/5]的那些點(diǎn)的頻度，很自然就必須取n趨于無(wú)窮大時(shí)上述相對(duì)頻度的極限了。假如極限
存在，則這個(gè)極限值就是迭代點(diǎn)列{Tn(x0)}落到子區(qū)間[1/4，3/5]之中的頻度或頻率。它的更加專業(yè)的術(shù)語(yǔ)是T從初始點(diǎn)x0出發(fā)的迭代點(diǎn)列落到子區(qū)間[1/4，3/5]內(nèi)的時(shí)間平均。早在上世紀(jì)的30年代初，美國(guó)數(shù)學(xué)家伯克霍夫（George Birkhoff，1884-1944）發(fā)表了遍歷理論中的第一個(gè)遍歷定理，現(xiàn)被稱為“伯克霍夫逐點(diǎn)遍歷定理”，有別于比它更早幾個(gè)月用泛函分析方法證明出的“馮·諾伊曼平均遍歷定理”。逐點(diǎn)遍歷定理斷言，如果一個(gè)關(guān)于某個(gè)概率測(cè)度的保測(cè)變換像帳篷映射T和邏輯斯蒂映射S4那樣也是“遍歷”的，即該變換具有某種意義上的“不可分解性”，則上述的頻率或時(shí)間平均對(duì)幾乎所有的初始點(diǎn)都存在，并且恰好等于所考慮子區(qū)間通過(guò)不變概率測(cè)度而算出來(lái)的概率測(cè)度值，稱之為空間平均。由于區(qū)間[0，1]上的勒貝格測(cè)度是帳篷映射的不變概率測(cè)度，而[1/4，3/5]的勒貝格測(cè)度值就是其長(zhǎng)度7/20，因此對(duì)幾乎所有的初始點(diǎn)x0，有換言之，帳篷映射從幾乎所有初始點(diǎn)x0出發(fā)的迭代點(diǎn)列{Tn(x0)}進(jìn)入子區(qū)間[1/4，3/5]的頻率，恰好等于同一個(gè)數(shù)——區(qū)間[1/4，3/5]的長(zhǎng)度7/20！這里有必要對(duì)伯克霍夫介紹兩句。在他之前，美國(guó)名望最高的那幾個(gè)數(shù)學(xué)家都是在歐洲幾大科學(xué)圣地鍛造成鋼的，如他在芝加哥大學(xué)的博士論文導(dǎo)師穆?tīng)?/span>（Eliakim Hastings Moore，1862-1932）。伯克霍夫雖然是美國(guó)的“土博士”，日后卻成了世界著名的數(shù)學(xué)家，而且一生執(zhí)教于哈佛大學(xué)，并帶動(dòng)它的數(shù)學(xué)系脫胎換骨，成為美國(guó)乃至全球的數(shù)學(xué)研究重鎮(zhèn)。他出道后的第一項(xiàng)大貢獻(xiàn)是證明了龐加萊“最后的定理”，成為美國(guó)動(dòng)力系統(tǒng)這一廣泛領(lǐng)域的祖師爺。他的兒子長(zhǎng)大后也出任哈佛的數(shù)學(xué)教授。伯克霍夫逐點(diǎn)遍歷定理關(guān)于帳篷映射的更一般結(jié)論是：任給定義域區(qū)間[0，1]的任一個(gè)勒貝格可測(cè)子集A，對(duì)于[0，1]中幾乎所有的初始點(diǎn)x0，都有的勒貝格測(cè)度。這說(shuō)明，盡管在確定性意義上帳篷映射是混沌的，具有對(duì)初始點(diǎn)的敏感依賴性，即初始點(diǎn)的微小變化導(dǎo)致迭代點(diǎn)列的可觀變化，但在統(tǒng)計(jì)的意義上，對(duì)幾乎所有的初始點(diǎn)，迭代點(diǎn)列進(jìn)入定義域區(qū)間的任一“可測(cè)子集”的頻率卻是與初始點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)的一個(gè)固定數(shù)，這個(gè)常數(shù)恰好等于所取子集的勒貝格測(cè)度。由此推出，對(duì)幾乎所有的初始點(diǎn)，其迭代點(diǎn)列在[0，1]上是一致分布的。如上結(jié)論表明，在確定性意義上的混沌，在統(tǒng)計(jì)的意義上卻可以失去“混沌”，而變得極有規(guī)律可循，這個(gè)規(guī)律數(shù)學(xué)上歸功于伯克霍夫逐點(diǎn)遍歷定理的發(fā)現(xiàn)。在物理上有類似的觀察：就微觀而言，單個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)軌跡是紊亂無(wú)序的，但是在宏觀的尺度上，大量分子的運(yùn)動(dòng)是有統(tǒng)計(jì)規(guī)律可循的，這就導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)物理這門(mén)重要學(xué)科的誕生。事實(shí)上，馮·諾伊曼（John von Neumann，1903-1957）和伯克霍夫等人所證明的第一代遍歷定理，最初的動(dòng)因就是來(lái)自于從數(shù)學(xué)上探討統(tǒng)計(jì)物理中“玻爾茲曼遍歷假設(shè)”是否具有合理性。我們?cè)倏纯戳硪粋€(gè)有名的混沌映射——邏輯斯蒂映射S4(x) = 4x(1-x)的情形?，F(xiàn)在定義域區(qū)間[0，1] 中的子區(qū)間I的長(zhǎng)度不再等于它在S4下的逆像(S4)-1(I)（也是兩個(gè)子區(qū)間的并集）的長(zhǎng)度，換言之，勒貝格測(cè)度不再是S4的不變測(cè)度了。但是，如果我們定義一個(gè)新的“測(cè)度”，它將區(qū)間[a，b]的測(cè)度或“廣義長(zhǎng)度”定義為一個(gè)在(0，1)上處處為正的函數(shù)在[a，b]上的積分值，記為μf*([a，b])。函數(shù)f*表達(dá)式分母中有π是為了保證它在[0，1]上的積分等于1，使得它成為一個(gè)密度函數(shù)。由于上述概率測(cè)度μf*是由密度函數(shù)f*所定義的，我們說(shuō)它是絕對(duì)連續(xù)的。動(dòng)一下手算一下積分，就可以簡(jiǎn)單地證明邏輯斯蒂映射保持這個(gè)概率測(cè)度不變，即μf*( (S4)-1( [a，b])) = μf*([a，b])對(duì)[0，1]的所有子區(qū)間[a，b]都成立。這樣，伯克霍夫逐點(diǎn)遍歷定理告訴我們，邏輯斯蒂映射從幾乎所有初始點(diǎn)x0出發(fā)的迭代點(diǎn)列{ (S4)n(x0)}進(jìn)入子區(qū)間[a，b]的頻率，等于[a，b]的新測(cè)度值：
由于上面這個(gè)密度函數(shù)的圖像是像對(duì)稱懸鏈線那樣“向上彎曲”的，其結(jié)果是如果[0，1]中的兩個(gè)小區(qū)間具有一樣的通常長(zhǎng)度，但它們中的一個(gè)靠近[0，1]的某個(gè)端點(diǎn)，另一個(gè)卻靠近中間，則位于靠近邊緣的那個(gè)子區(qū)間上方、被函數(shù)1/[π√(x-x2)]的圖像壓住的曲邊矩形有大一點(diǎn)的面積，也就是說(shuō)它有較大一點(diǎn)的μf*測(cè)度值，如下圖所示：
因而迭代點(diǎn)列落到這個(gè)子區(qū)間的頻率比落到另一個(gè)子區(qū)間的頻率要大。這實(shí)際上表明迭代點(diǎn)的序列在[0，1] 上不是一致分布的。由此可見(jiàn)，帳篷映射T與邏輯斯蒂映射S4在確定性意義上雖然都是混沌的，但它們各自的迭代點(diǎn)分布方式卻是不一樣的。它們分別按照某一個(gè)“概率密度函數(shù)”而在[0，1]上分布，前者以常數(shù)函數(shù)1的方式均勻分布，而后者則由無(wú)界的密度函數(shù)1/[π√(x-x2)]確定其迭代點(diǎn)列在定義域上的分布。決定邏輯斯蒂映射迭代點(diǎn)列分布規(guī)律的這個(gè)特別的密度函數(shù)f*，早在1947年就被美國(guó)“氫彈之父”烏拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984）和“電子計(jì)算機(jī)之父”馮·諾伊曼發(fā)現(xiàn)了。現(xiàn)在的問(wèn)題是，任意給出一個(gè)將[0，1]映到自身的混沌映射S，我們?cè)鯓尤ふ乙粋€(gè)在S下不變并且是絕對(duì)連續(xù)的概率測(cè)度呢？換言之，怎樣找到一個(gè)密度函數(shù)f*，它所定義的絕對(duì)連續(xù)概率測(cè)度μf*([a，b]) = ∫[a，b] f*(x) dx，是S的不變概率測(cè)度？如果找到了它，這個(gè)混沌映射的迭代點(diǎn)序列{Sn(x0)}在定義域區(qū)間上的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律就會(huì)借助于伯克霍夫逐點(diǎn)遍歷定理而得到。對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答，需要一個(gè)以兩個(gè)德國(guó)人名字命名的算子：弗羅貝尼烏斯-佩隆算子。其實(shí)弗羅貝尼烏斯（Georg Frobenius，1849-1917）和佩隆（Osar Perron，1880-1975）這兩人與該算子并無(wú)多大的關(guān)系，完全是因?yàn)樗麄兊拿麣馓?，以至于后人給他們?cè)偬砻麣猓拖窠夥蔷€性方程組著名的“牛頓法”名字也是“張冠李戴”所致。但是這個(gè)算子被如此命名還是有些道理的，因?yàn)樵谝话俣嗄昵埃仁怯赡贻p的佩隆 (1907年) 然后由資深的弗羅貝尼烏斯 (1912年) 分別對(duì)正矩陣和更廣的不可約非負(fù)矩陣證明了他們的譜定理，主要內(nèi)容之一為譜半徑是特征值。這一套理論現(xiàn)以“非負(fù)矩陣的佩隆-弗羅貝尼烏斯理論”冠名，而這里提及的無(wú)窮維線性正算子和非負(fù)矩陣共享不少良好的性質(zhì)，這就給予烏拉姆足夠的理由在他的不朽著作《數(shù)學(xué)問(wèn)題集》(A Collection of Mathematical Problems) 中慷慨地借用了他們倆的大名。弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的正式定義需要測(cè)度論知識(shí)，但我們可以用一個(gè)人人都懂的簡(jiǎn)單例子來(lái)描繪這個(gè)算子的基本思想。假設(shè)兩個(gè)物理系的教授張三和李四及數(shù)學(xué)系的一位教授王五申請(qǐng)某項(xiàng)研究基金，他們各自成功的概率分別為1/2，1/3和1/6。試問(wèn)物理系和數(shù)學(xué)系獲得該基金的概率為多少？這個(gè)問(wèn)題連小學(xué)生都能解答，但是我們?yōu)榱苏f(shuō)明問(wèn)題，故意用“高射炮打蚊子”的方式來(lái)求解。定義一個(gè)映射S，它把張教授和李教授映到物理系，把王教授映到數(shù)學(xué)系。在映射S的定義域{張教授，李教授，王教授}上已經(jīng)給出了一個(gè)概率分布{1/2，1/3，1/6}，而通過(guò)S可將其定義域上的如上概率分布很自然地轉(zhuǎn)移到其值域{物理系，數(shù)學(xué)系}上，即子集{物理系}的概率是它在S下的逆像{張教授，李教授}的概率1/2+1/3= 5/6，而子集{數(shù)學(xué)系}的概率是它在S下的逆像{王教授}的概率1/6。將定義域上的概率分布通過(guò)映射S轉(zhuǎn)移到值域上的概率分布的這一依從關(guān)系，被稱之為S所對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子，記為PS。我們把上面轉(zhuǎn)移概率分布的思想用于一個(gè)混沌映射任給定義域上的一個(gè)概率測(cè)度μ，對(duì)于[0，1]中的每一個(gè)子區(qū)間I，我們將它在S下的逆像S-1(I)的概率測(cè)度值μ(S-1(I))轉(zhuǎn)移到它身上來(lái)，即I的新的概率測(cè)度值等于S-1(I)的舊的概率測(cè)度值。這種將概率分布μ 變?yōu)榘薛膛c逆像運(yùn)算S-1復(fù)合而成的概率分布的變換，稱為對(duì)應(yīng)于映射S的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子PS。當(dāng)概率分布μ由密度函數(shù)f所定義，即I的測(cè)度值μ(I) = ∫I f(x) dx時(shí)，在所論映射是“非奇異”的假設(shè)下，μ與逆像運(yùn)算S-1復(fù)合而成的測(cè)度由一個(gè)記為PSf的密度函數(shù)確定，這個(gè)密度函數(shù)滿足下面的等式∫I PSf(x) dx = ∫I* f(x) dx，其中I* = S-1(I)。由于上式對(duì)所有的子區(qū)間I都應(yīng)該成立，我們可以取I = [0，x]，故有∫[0，x] PSf(t) dt = ∫I* f(t) dt，其中I* = S-1([0，x])。兩邊對(duì)變量x 求導(dǎo)數(shù)，再利用微積分基本定理，就得到弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的顯式表達(dá)式PSf(x) = Dx ∫I* f(t) dt，I* = S-1([0，x])，其中Dx表示對(duì)自變量x求導(dǎo)運(yùn)算。我們算一算當(dāng)S是邏輯斯蒂映射4x(1-x)時(shí)，其對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的表達(dá)式是什么樣子的。通過(guò)下圖
的演示，可以知道[0，x]在S下的逆像 S-1([0，x])是兩個(gè)區(qū)間[0，(1-√(1-x))/2] 和[(1+√(1-x))/2，1]的并集，故由上述的公式得PSf(x) = [(1-x)-1/2/4]{f((1-√1-x)/2) + f((1+√1-x)/2)}。不難驗(yàn)證，密度函數(shù)f*(x) = 1/[π√(x-x2)]是上述算子的不動(dòng)點(diǎn)，即PSf*(x) ≡ f*(x)。因?yàn)閒*是PS的不動(dòng)點(diǎn)，我們也把它稱為PS的一個(gè)不變密度函數(shù)。它所定義的概率測(cè)度決定了混沌映射迭代點(diǎn)列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。至于帳篷映射T，因?yàn)閇0，x]在T下的逆像 T-1([0，x])是兩個(gè)區(qū)間[0，x/2] 和[1-x/2，1]的并集，其對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子有簡(jiǎn)單的表達(dá)式PTf(x) = (1/2){f(x/2) + f(1-x/2)}。顯然，常數(shù)函數(shù)f*(x) ≡ 1是它的不變密度函數(shù)。這就解釋了為何帳篷映射對(duì)幾乎所有的初始點(diǎn)，其迭代點(diǎn)序列在[0，1]上是一致分布的。一般來(lái)說(shuō)，確定性意義上的混沌映射，在統(tǒng)計(jì)的意義下常常具有正規(guī)的性態(tài)，它所對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子的不變密度函數(shù)給出了混沌迭代點(diǎn)列的最終統(tǒng)計(jì)分布。從上世紀(jì)70年代初起，數(shù)學(xué)家們對(duì)不同類型的混沌映射所對(duì)應(yīng)的弗羅貝尼烏斯-佩隆算子研究了不變密度函數(shù)的存在性，而另一方面，應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域所需要的對(duì)數(shù)值求解這些不變密度函數(shù)的算法設(shè)計(jì)與收斂性分析，導(dǎo)致“計(jì)算遍歷理論”這一當(dāng)代學(xué)科的蓬勃發(fā)展。如今，物理科學(xué)、工程科學(xué)和生命科學(xué)中的許多現(xiàn)象，都可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)進(jìn)行研究而洞察其真相。這個(gè)觀點(diǎn)不僅在統(tǒng)計(jì)物理這門(mén)重要學(xué)科中被發(fā)揚(yáng)光大，而且導(dǎo)致了與人類福祉密切相關(guān)的幾大新興學(xué)科的興起和發(fā)展，比方說(shuō)無(wú)線通訊、搜索引擎、計(jì)算分子動(dòng)力學(xué)及藥物設(shè)計(jì)等。這就是我們從統(tǒng)計(jì)的角度來(lái)察看混沌而觀察到的一小片美景。
|
