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大家兔年好，新年第一天，送上我的更新，祝大家新的一年大展鴻“兔”，前“兔”無量。 在學(xué)生的每日一題上看到下面這道題，查閱網(wǎng)站發(fā)現(xiàn)是海淀區(qū)的一道模擬題，題目很好，這個(gè)網(wǎng)站也是我非常佩服的一個(gè)網(wǎng)站，不過我覺得網(wǎng)站給出的解答值得商榷，權(quán)且記錄下來大家共同探討一下。   題目如下：  對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)A和點(diǎn)P，若將點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)Q，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”，圖1為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”Q的示意圖． （1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”為點(diǎn)Q； ①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ； ②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ； （2）如圖2，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D在直線y （3）如圖3，已知圖形G是端點(diǎn)為（1，0）和（0，﹣2）的線段，圖形H是以點(diǎn)O為中心，各邊分別與坐標(biāo)軸平行的邊長為6的正方形，點(diǎn)M為圖形G上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圖形H上的動(dòng)點(diǎn)，若存在點(diǎn)T（0，t），使得點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)T的“垂鏈點(diǎn)”恰為點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍． 網(wǎng)站給出的解答如下： 【解答】 解：（1）A的坐標(biāo)為（0，0），即點(diǎn)A是原點(diǎn)， ①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），如圖：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：點(diǎn)Q（0，2）， 故答案為：（0，2）； ②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，1），如圖：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：點(diǎn)P（1，2）， 故答案為：（1，2）； （2）①當(dāng)點(diǎn)D在第一象限時(shí)，如圖：
∵點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的“垂鏈點(diǎn)”在x軸上， ∴點(diǎn)CD⊥x軸， 故點(diǎn)D（1， ②當(dāng)點(diǎn)D在C左側(cè)時(shí)，如下圖：
設(shè)點(diǎn)D（m， 點(diǎn)D的“垂鏈點(diǎn)”D′在y軸上， 過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H， ∵∠DCH+∠HDC＝90°，∠OCD′+∠DCH＝90°， ∴∠HDC＝∠OCD′， ∵∠DHC＝∠COD′＝90°，DC＝D′C， ∴△DHC≌△COD′（AAS）， 則DH＝OC，即： 故點(diǎn)D（0，1）， 綜上，點(diǎn)D（0，1）或（1， （3）圖形G所在直線的表達(dá)式為：y＝2x﹣2， 設(shè)點(diǎn)M（m，2m﹣2），其中0≤m≤1， （Ⅰ）當(dāng)N落在正方形的右邊的一條邊， ①當(dāng)T在x軸上方時(shí)，如下圖：
分別過點(diǎn)M、N作y軸的垂線交于點(diǎn)H′、G′， 同理可證△NG′T≌△TH′M（AAS） TH′＝G′N，即t﹣（2m﹣2）＝3， t＝2m+1，而0≤m≤1，且yN≤3， 則1≤t ②當(dāng)t在x軸下方時(shí)， 當(dāng)t＝﹣3時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)T的“垂鏈點(diǎn)”恰為點(diǎn)N在正方形的邊上， 故t＝﹣3； 當(dāng)點(diǎn)T在t＝﹣3下方時(shí)，且xN≥﹣3，如圖：
同理可得：m＝﹣3﹣t， 解得：t≤﹣3，且t＞0； （Ⅱ）當(dāng)N落在正方形的上面的一條邊時(shí)， 同理可得：t＝3﹣m，而0≤m≤1，yN≤3， 解得： 綜上，t的取值范圍為：1≤t 對(duì)于題目的答案我沒有意見，不過對(duì)于第三問和第四問的解答，我想談一下自己的一些看法。  先看第三問 第三問答案是給出了兩種不同的情況，這種做法學(xué)生能夠掌握，不過我覺得這樣做偏離了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。我的看法是應(yīng)該將直線y
我們通過選取的兩個(gè)特殊點(diǎn)E、F，得到這兩個(gè)點(diǎn)繞點(diǎn)C（1，0）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°之后的點(diǎn)E’、F’，可以求出原來的直線y
我們?cè)賮砜吹谒膯?/p> 同樣的問題，為什么這樣的位置就是臨界狀況？學(xué)生看這個(gè)解答會(huì)感到很困惑。我們應(yīng)該從一個(gè)動(dòng)態(tài)的角度去理解。我們首先在y軸上任取一個(gè)點(diǎn)T，畫出此時(shí)的垂鏈點(diǎn)，如下圖所示。
然后我們可以移動(dòng)點(diǎn)T，畫出此時(shí)點(diǎn)D’和E’的軌跡，從而可以發(fā)現(xiàn)在如下的藍(lán)色區(qū)域內(nèi)線段D’E’和正方形的邊是有交點(diǎn)的，如下圖。
由圖可知，我的看法是應(yīng)該給出和D’E’平行的直線解析式，通過直線過特殊點(diǎn)從而求出范圍，至于特殊點(diǎn)的坐標(biāo)我們可以利用點(diǎn)D’、E’的軌跡來求，也就是圖中兩條紅色的粗線解析式。 下面我就簡單地解答一下：
以上是我的解法，對(duì)于網(wǎng)站的解答，我覺得為什么選取那兩個(gè)臨界點(diǎn)的理由不充分，我個(gè)人覺得還是需要讓學(xué)生理解為好。以上是我對(duì)這道題解答的一些看法。不到之處還請(qǐng)大家批評(píng)指正。 |
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x+1上，若點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的“垂鏈點(diǎn)”在坐標(biāo)軸上，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
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