【題目】

（2022·北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點，連接BD，DC，延長DC到點E，使得CE＝DC．

（1）如圖1，延長BC到點F，使得CF＝BC，連接AF，EF．若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；

（2）連接AE，交BD的延長線于點H，連接CH，依題意補(bǔ)全圖2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【分析】

（1）本題比較簡單，題目已經(jīng)給出了圖形，只需根據(jù)條件證明結(jié)論即可。

根據(jù)已知條件，可以得到△BDC≌△FEC（SAS），進(jìn)而得到∠DBC=∠EFC，得到BD∥EF，又由于AF⊥EF，所以可以得到結(jié)論BD⊥AF。

（2）先根據(jù)題意補(bǔ)充圖形。

觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)CD=CH，而且∠DHE=90°，而且題目有一個條件“AB2＝AE2+BD2”，但是明顯沒有相關(guān)的直角三角形。

通過以上的條件，基本思路就出來了。先根據(jù)“AB2＝AE2+BD2”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到一個直角三角形，再得到∠DHE=90°，再利用斜邊中線的性質(zhì)得到DC=CH即可。

有了（1）的提示，且DC=CE，那么可以考慮補(bǔ)全倍長中線的模型。

倍長BC至F，使得CF=BC，連接AF與EF，那么就可以得到（1）中的三角形了。

如上圖，可以得到△BDC≌△FEC（SAS），進(jìn)而得到∠DBC=∠EFC，得到BD∥EF。

根據(jù)“AB2＝AE2+BD2”，可以得到△AEF為直角三角形，即∠AEF=90°。那么就可以得到∠DHE=∠AEF=90°，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可得到結(jié)論。

【總結(jié)】

本題主要考查倍長中線的方法，但是本題比較簡單，第（1）問把方法和圖形做了鋪墊，只是稍微修改了一下條件而已。相比2020年北京的幾何壓軸題，難度小很多了。

中考數(shù)學(xué)壓軸題分析：倍長中線

2020年北京中考幾何壓軸再探

《中考數(shù)學(xué)壓軸題全解析·解答題》P109頁有相關(guān)內(nèi)容介紹。