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2023北京中考落下帷幕，網(wǎng)上沸沸揚揚，同學(xué)們反饋題目比較難，這可能是前幾年北京中考數(shù)學(xué)比較簡單的緣故。接下來咱們一起看下幾何中考題目： （2023北京）如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于點D，P是CD上一點，F(xiàn)是BD上一點，E是△ACD內(nèi)部一點，且PC=PF，PD=PE，∠EPF=2∠B，求證AE⊥EF。 ①延長 PE 與 AC 相交于點G，根據(jù)二倍角可以得到△GPC為等腰三角形；②由PF=PC=PG，可以得到△GFC為直角三角形；
③∠AGF=∠ADF=90°（弦AF），所以A、G、D、F四點共圓。④PD=PE，PF=PG，根據(jù)平行線分線段成比例，可以得到DE∥FG，且四邊形DEGF為等腰梯形，所以D、E、G、F四點共圓；⑤結(jié)合③可知A、G、E、D、F五點共圓，所以∠AEF=∠ADF=90°，所以AE⊥EF。①延FE至點G，使得EG=EF，連接CG、AF、AG
又因為D為BC中點，所以BF=BD-DF=CD-DF=x+x+y-y=2x連接AF，取AF的中點G，則PG為△AFC的中位線；從而得到3個α角相等；
因為PD=PE，α角=α角，所以一邊一角證全等，從而連接GD、GE，得到△GPD≌△GPE；所以GD=DE在Rt△ADF中，G為AF中點，所以DG=GF=GA
①倍長中線，得到△EPF≌△GPC，EP=GP，EF∥CG；
②二倍角構(gòu)造等腰三角形，得到∠PDG=∠PGD=α同時可以得到△EDG為直角三角形，∠EDG=90°∠ACD=∠EGD=α，∠ADC=∠EDG=90°∠ADC=∠EDG=90°，所以∠ADE=∠CDG=α
由①知，EF∥CG，要證∠AEF=90°，就是證∠EHC=90°；
由④知，△ADE∽△CDG（SAS），所以∠DAQ=∠DCG=β在△AQD和△CQH中，∠DAQ=∠DCG=β，∠DQA=∠CQH總結(jié)：四種方法，四種思路，始終圍繞著中點、二倍角進行構(gòu)造。
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